资源描述
证明：1)若A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在t-8时趋近于零，给出例子；2 )若A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，给出正反两个例子；3 )若A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根的重数大于1时，系统的零输入响应可能会趋近于零， 给出正反两个例子；(C # 0)4 )讨论上述各种情况与系统传递函数的零极点对消的关系，针对所举的例子作说明。系统的状态空间描述为：fX = AX + BUly 二 CX + DI当系统的的输入为零时，则状态空间描述可写为:fX二匐ty = ex那么该系统的输出为(t0 ):1 : C(0)1-3而口 J L 7(SI - A) T将式1-4代入1-3中有：|y = CL !(S1 - A)，/(0)1-11-21-41-5设其拉氏变换为：DD1-6N (S - a L)(s - 2)(S - a d - j)(S - nR其中N(s)的阶次大于D(s)的阶次。那么式1-6可化为:P(S) 61B 23 3P n - 13, + - + + * * * + + N (S -口 1) (S - a j) (S - a 3)(5 - ci n-i) 6 -1-71)由于A矩阵的特征根均有负实部，即口人代4 口3n-l、汽n均在复平面的左边，那么对上式进行拉式反变换有：，当时，/ J。，则有当trB时，1y三|例1：设有一状态空间模型为：5, 62300T = 0 0, 625 0. 62。X141805787.02的系统。其特征根分别为i=-3 ,A2=-5 A3 =-6I1取初始状态为X(0)=，其零输入响应如图表1所示:r 1图表2可以看到在tf5时有，其零输入响应趋近于 0。2)若A矩阵有正实部特征根时，由式 1-7,我们可以取口上有正实部(Mk为 u卜u 2、u 3a n - 1、A中的某一个数),那么广三的拉式反变换为口 k有正实部 .BkRJ,在Lf co时发散。即该系统的零输入响应在非零状态下且fK时趋近于8若式1-6可化为D(S)D (S)(S - a J丽 二(s - a L)(S - iij- (S - fl J-(S -. 1)(S -则:2-1Dtf (S)N (S - a 1)(S - 口(S - G n - 1)(S - u nJ可以看到极点口 I与零点口*抵消了，由式2-1与式1-6类似例2：设有一状态空间模型为:5-022340 一5k OOIro+X3 o a取初始状态为X(0)二的系统。其特征根分别为 4=-2, 3=3,入二=-4其零输入响应如图表 2所示:图表2可以看到在时有，其零输入响应趋近于8。loo+X3oa5- 022340例3:设有一状态空间模型为:U的系统。其特征根分别为 入产-2, A2=3, X =-4 1y = 0 0.25- 0.375懂1,取初始状态为X(0)=；，其零输入响应如图表 3所示： . “图表3 可以看到在tf酬时有，其零输入响应趋近于 0。例2,例3系统的特征根相同，但是他们同状态下的响应却不同， 前者在t-g时其零输入响应趋近于8,而后者在t-g时其零输入响应趋近于0。由于例3系统的传递函数为 卜二(一班:二藐7,显然s-3项上下抵消，所以该系统等效的传递函数为y =.，山 7,此时特征根3并不影响系统的输出。3)若A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，且纯虚根的重 数大于1。我们以纯虚根的重数等于2为例，ui；为正实数，那么式1-6可写 为：3-1|D(S)D(S) （S - a 1）（8 - Q。仔 口 k）”G - a n - L）（S -口 n）我们抽出重根项：谆R +二二万一(7TT7 匹。则，2二小iwt8-口/(213-23-33-454000 00. 875 - 0,625oool OOOOO I51.7a oooo O52 0000 0I的系统。其特征其中a, b, 3均为常数，a、u /0。当i g时，at-8 ,所以有y可能趋近于g (在土 * 处震荡)。而当式3-1能化为：D(S)(S)(S2 + 口 J?(s 北 J(S i /( + 口 k)1YS 口 ri - i)(S 一 口 J可以看出重根项可以被消除，则式3-3可写为：D D (S)N(S - 口 1)(5 - 口。(S - G n - 1)(S - u J 由1)可得：当1-3时，|不门一0,则有当时，0 例4:设有一状态空间模型为：y = 0 0 0 0 0. 125 0.125X取初始状态为X(0)二1 1 II1根分别为*，=-2, *、=-3,其零输入响应如图表4所示:图表4可以看到在ta时有，其零输入响应趋近于00 (在 土处震荡)。例5:设有一状态空间模型为:二X5之 O 2 o o O 5 -rn二5 V -4000 05X oool O -52-00100.吃 o o o O 0*X-o o o o O52.0000 1ir的系统。其特征根分别为520.=-2 , = 2=-3 , k=&1,44=柩，85=-国， 5111其零输入响应如图表5所示:取初始状态为X(0)=；1图表5可以看到在tf *时有，其零输入响应趋近于 0。例4,例5系统的特征根相同，但是他们同状态下的响应却不同， 前者在1一&，时其零输入响应趋近于 1 8,而后者在8时其零输 入响应趋近于0。ts + iUg2 + 以由于例5系统的传递函数为Y二-77-.5-_:,显然S-3项上下抵消，所以该系统等效 (s 1 2)(s3 1 2He + 3)的传递函数为y =；(；,此时重虚根并不影响系统的输出。4)。当A矩阵的所有特征根均有负实部，响应系统的零输入响应在t一 8时趋近 于零，系统稳定；如例1所示。当A矩阵有正实部特征根时，系统的零输入响应可能趋近于零，此时系统 部分状态不稳定。由于系统结构，可能存在系统的输出与这部分不稳定的状 态无关，即存在零极点对消的情况，把正实部特征根抵消了。那么系统输出 稳定。如例2、例3所示.。当A矩阵有实部为零的特征根，而其他特征根的实部均为负，则当纯虚根 的重数大于1时，系统的零输入响应可能会趋近于零。1.当它的重数为1时, 其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态临界稳定，系统 输出临界稳定。2.当存在零极点对消，把纯虚根抵消了，此时系统的输出与 该特征根无关，系统状态临界稳定，系统输出稳定。3.当它的重数为2时,其它特征根均有负实部，且没有被零点抵消，此时系统状态不稳定，输出也不稳定。 4. 当存在零极点对消，把纯虚根抵消了 1 重，此时系统状态临界稳定，系统输出临界稳定。 5. 当存在零极点对消，把纯虚根完全抵消了，此时系统的输出与该特征根无关，系统状态不稳定，但是系统输出稳定。如例 4、例 5 所示 .
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