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第一章第一章 直角三角形的边角关系1.1 从梯子的倾斜程度谈起从梯子的倾斜程度谈起 梯子地面与墙之间就形成一个直角三角形，梯梯子地面与墙之间就形成一个直角三角形，梯子的铅直高及梯子的水平距离可以看做是它的直子的铅直高及梯子的水平距离可以看做是它的直角边，梯子可以看做是斜边。角边，梯子可以看做是斜边。铅直高铅直高水平距离水平距离研究直角三角形的边与角的关系，研究直角三角形的边与角的关系，让我们就让我们就梯子与地梯子与地面的夹角面的夹角（倾斜角）（倾斜角）水平宽度水平宽度铅直高度铅直高度倾斜角倾斜角在实践中探索新知在实践中探索新知变陡了吗？变陡了吗？在实践中探索新知变陡了吗？变陡了吗？在实践中探索新知变陡了吗？变陡了吗？在实践中探索新知变陡了吗？变陡了吗？梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，哪些量过程中，哪些量发生了变化变化？发生了变化变化？铅直高度铅直高度 水平宽度水平宽度倾斜角越大倾斜角越大梯子梯子陡陡 可以用梯子与地面的夹角可以用梯子与地面的夹角（倾斜角）的大小来判断两架（倾斜角）的大小来判断两架梯子哪个更陡些。梯子哪个更陡些。实例1:1:如图，梯子如图，梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？哪个更陡？你是怎样判断的？你是怎样判断的？还可以用梯子的顶端放在墙上还可以用梯子的顶端放在墙上位置的高低及梯子的底端离墙位置的高低及梯子的底端离墙的远近来判断。的远近来判断。3m3m2m4m 实例实例2:2:如图，梯子如图，梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？哪个更陡？你是怎样判断的？你是怎样判断的？梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，铅直过程中，铅直高度与水平宽度的高度与水平宽度的比比发生了什发生了什么变化？么变化？水平宽度水平宽度铅直高度铅直高度倾斜角倾斜角在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，铅直过程中，铅直高度与水平宽度的高度与水平宽度的比比发生了什发生了什么变化？么变化？在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，铅直过程中，铅直高度与水平宽度的高度与水平宽度的比比发生了什发生了什么变化？么变化？在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，铅直过程中，铅直高度与水平宽度的高度与水平宽度的比比发生了什发生了什么变化？么变化？在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，铅直过程中，铅直高度与水平宽度的高度与水平宽度的比比发生了什发生了什么变化？么变化？在实践中探索新知 3m3m2m4m 实例实例2:2:如图，梯子如图，梯子ABAB和和EFEF哪个更陡？哪个更陡？你是怎样判断的？你是怎样判断的？梯子的铅直高与其水平距离梯子的铅直高与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡的比相同时，梯子就一样陡。比值大的梯子陡。比值大的梯子陡。若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离的距离B B1 1 C C1 1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？怎么办？你有什么锦囊妙计？A AC C1 1C C2 2B B2 2B1 1驶向胜利的彼岸 AB1 C1 C2B2 如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?由感性到理性A=A AC1B1=AC2B2RtAC1B1RtAC2B2 B1C1AC1,B2C2 AC1 AC1B1=AC2B2222111ACCBACCB AB1 C1 C2B2由感性到理性A=A AC1B1=AC2B2RtAC1B1RtAC2B2 B1C1AC1,B2C2 AC1 AC1B1=AC2B2 如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?222111ACCBACCB AB1 C1 C2B2A=A AC1B1=AC2B2RtAC1B1RtAC2B2 B1C1AC1,B2C2 AC1 AC1B1=AC2B2222111ACCBACCB由感性到理性 如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?AB1 C1 C2B2A=A AC1B1=AC2B2RtAC1B1RtAC2B2 B1C1AC1,B2C2 AC1 AC1B1=AC2B2222111ACCBACCB由感性到理性 如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?AB1 C1 C2B2A=A AC1B1=AC2B2RtAC1B1RtAC2B2 B1C1AC1,B2C2 AC1 AC1B1=AC2B2222111ACCBACCB由感性到理性 如果改变如果改变B2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论?w任意任意改变改变B B2 2在梯子上的位置，则：在梯子上的位置，则：A的大小确定的大小确定,AA的对边与的对边与邻边的比值不变。邻边的比值不变。w如果如果改变改变AA 的大小的大小,AA的对边与邻边的比值会的对边与邻边的比值会随之改变吗随之改变吗?C2AB1C1B2w由此你得出什么结论由此你得出什么结论?A的大小改变的大小改变,AA的对边与邻边的比值随之改变。的对边与邻边的比值随之改变。当直角三角形的锐角当直角三角形的锐角确定确定后，它的对边与邻边的比后，它的对边与邻边的比值也随之值也随之唯一确定唯一确定；比值和三角形的大小无关，只；比值和三角形的大小无关，只和倾斜角的大小有关。和倾斜角的大小有关。B3 AB CAA的的对边对边AA的的邻边邻边AA的的对边对边AA的的邻边邻边tanAAA的正切的正切在在RtABC中中,如果如果锐角锐角A确定确定,那么那么A的对边与邻边的比的对边与邻边的比随之确定随之确定,这个比叫做这个比叫做A的正切的正切.记作记作:tanA读？读？思考思考 前面我们讨论了梯子前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程的倾斜程度，梯子的倾斜程度与度与tanA有关系吗有关系吗？tanA的值越大的值越大,梯子越陡梯子越陡.一，思考：一，思考：1.判断对错判断对错:如图，如图，tanA=ACBC2 2、如图、如图 (2)tanA=（）(3)tanA=（）(4)tanA=0.7m（）(5)tanB=（）BCACABBC7103、在、在RtABC中，锐角中，锐角A的对边和邻边同时的对边和邻边同时扩大扩大100倍，倍，tanA的值（的值（）A、扩大、扩大100倍倍 B、缩小、缩小100倍倍 C、不变、不变 D、不能确定、不能确定二.填空:1.tan =tan =2.如图,ACB=90CDAB.tanACD=tanB=ACBDABCBCACBCCDADBAACBDCDBCAC摩摩 拳拳 擦擦 掌掌tanAtanB=_1CDAD定义的几点说明：定义的几点说明：1）初中阶段，初中阶段，正切正切是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，A是一个是一个锐角锐角.2）tanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A A的正切，的正切，记号里习惯省去角的符号记号里习惯省去角的符号“”。但。但BAC的正切的正切表示为表示为:tanBAC,1的正切表示为的正切表示为:tan1.3）tanA0 且且没有单位，它表示一个比值，即直没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角角三角形中锐角A的对边与邻边的比（的对边与邻边的比（注意顺注意顺序：序：）.4）tanA不表示不表示“tan”乘以乘以“A”.5）tanA的大小只与的大小只与A的大小有关的大小有关，而与而与直角三直角三角形的边长角形的边长无关无关邻对定义的几点说明：定义的几点说明：1）初中阶段，初中阶段，正切正切是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，A是一个是一个锐角锐角.2）tanA不表示不表示“tan”tan”乘以乘以“A”A”.它它是一个完整是一个完整的符号，它表示的符号，它表示A A的正切，记号里习惯省去角的的正切，记号里习惯省去角的符号符号“”。但。但BAC的正切表示的正切表示为为:tanBAC.1的正切表示为的正切表示为:tan1.3）tanA0 且且没有单位，它表示一个比值，即直没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角角三角形中锐角A的对边与邻边的比（的对边与邻边的比（注意注意顺序：顺序：）.4）tanA的大小只与的大小只与A的大小有关，而与的大小有关，而与直角三直角三角形的边长角形的边长无关无关.邻对行家看“门道”w例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?例题欣赏例题欣赏w解:甲梯中,驶向胜利的彼岸6m乙乙8m5m甲甲13mw乙梯中,.1255135tan22.4386tanwtantan,w乙梯更陡.w老师提示:生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.用数学去解释生活w如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tan)就是:w老师提示:坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.驶向胜利的彼岸.5310060tani100m60mi例例2 如图，拦水坝的坡度如图，拦水坝的坡度i：，若坝高：，若坝高 BC=米，求坝面的长。米，求坝面的长。ACB320解解:在在RtRtABCABC中中,BC=20,BC=20米米 坡度坡度i：则则AC=米米.又又AB2=BC2+AC2 AB=202+()2=40米米331ACBC3203驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸 不管你是否愿意不管你是否愿意,数学将无处不在。数学将无处不在。数学数学,就如一条伶俐的小狗，你若喜欢就如一条伶俐的小狗，你若喜欢它，它就向你摇头摆尾，忠心相随；可是它，它就向你摇头摆尾，忠心相随；可是你若嫌弃它，疏远它，它就会向你狂吠，你若嫌弃它，疏远它，它就会向你狂吠，冷不防咬你一口！冷不防咬你一口！望你乘上数学之舟，科学之箭，闯荡望你乘上数学之舟，科学之箭，闯荡未来的人生。未来的人生。挑战自己挑战自己：（：（选做题）选做题）(2008(2008泰安泰安)直角三角形纸片的两直角边长直角三角形纸片的两直角边长分别为分别为6 6，8 8，现将，现将ABCABC如图那样折叠，使如图那样折叠，使点点A A与点与点B B重合，折痕为重合，折痕为DE,DE,则则tanCBEtanCBE的值的值是多少？是多少？CBA68CBAED
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