《流体力学》典型例题

例题力学典型例题例题1：如图所示，质量为m = 5 kg、底面积为S=40 cmX60 cm的矩形平板，以U=1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角0 = 30的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度 5 =1 mm,假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力尸卩du=卩U dy 5又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：乞F = ma = 0，即:mgsin0 -t - S = 0mgsin0 - 5 uU - S=5 X 98 X sin30 x1x10-3 . 0.10216 sm2） lx 40 x 60 x 10-4例题2：如图所示，转轴的直径d= m、轴承的长度l=1 m，轴与轴承的缝隙宽度5 = mm， 缝隙中充满动力粘性系数卩=0.73Pa - s的油，若轴的转速n = 200rpm。求克服油的粘性阻力所 消耗的功率。4忙 怜1I解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力du（n兀 d 60 ）u = udy粘性阻力（摩擦力）：F =T.S =Td1克服油的粘性阻力所消耗的功率：P = Me = F d m=TK dl x d x 巴(K d 1 闷2 302 306025(3.14 x 0.360.73 x 2002 xlx6020.23 xlO-3=50938.83(W)例题3：如图所示，直径为d的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为卩，若下d解：根据牛顿黏性定律dF =卩dA =卩2 兀 rdr55dT = dF r = p 罟 2 兀 r 2drT = i : dTdr =犁? r40252 兀pad 4=3250兀pad 4 5 =32T#例题4：如图所示的双U型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度P水解：根据等压面的性质，采用相对压强可得：p g(h h )pg(h h )=p g(h h )水 1 2 3 2 水 4 3h 一 h + h 一 hp = t 234 ph - h水例题5:如图所示，U型管中水银面的高差h= m,其他流体为水。容器A和容器B中心 的位置高差z=1 m。求A、B两容器中心处的压强差（取管中水的重度丫 t =9810 N/m3,水水银的重度 丫=133416 N/m3）o水银解：根据等压面的性质可得：p = p +y hB 2 水 2p = p +y h , p = p +yh ,A 1 水 112 水银p -p =y h-y (h -h )A B 水银 水 21= y h - y (h + z )水银 水=133416 x 0.32 - 9810 x(0.32 +1)= 29743.92(Pa),例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H=，长L = 3m，静止时盛水深度h=。 现水箱以a = 0.98m s2的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度p = 1000kg /m3，水箱 中自由水面的压强p =98000Pa。试求：0（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度a 。解：(1)如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点， z 轴 垂直向上， x 轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度 分量分别为X 二a,Y = 0 ,Z 二g代入非惯性坐标系中的压力全微分公式dp = p (Xdx + Ydy + Zdz)= pdW，得 dp = -p (adx + gdz)积分得p = -p(ax + gz)+ cl利用边界条件确定积分常数c :在坐标原点O ( x = z = 0 )处，p = p，得c = pl0l 0 由式可得水箱内的压强分布p= p p (ax+gz)=98000l000(0.98x+9.8z)=98000980x9800z0对于水箱中的等压面，有dp = 0，所以由式可得等压面的微分方程adx = gdz积分得az = - x + cg 2上式给出了一簇斜率为-ag的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等 压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数c二0。因此自由水面方程为2z = -x = 098 x = O.lxg9.8(2) 假设水箱以加速度a运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h， max则根据加速前后水的体积不变的性质可得(h + H) - LL - h =2又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系a H 一 hmax=gL和式联立求解，得：2(H - h)2 x(1.2-0.9) 9 8 196 ( / )a =g =x 9.8 = 1.96Vm.s2 丿maxL例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D=1 m，高H=2 m，静止时水深为h= m。求:(1) 为使水不从筒边溢出，旋转角速度应控制在多大(2)当=6 rad/s时，筒底G、C点处的相对压强(相对于自由水面)分别为多少解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为r二0,z二化, 则由：卩Y =叫,Z 一g，可推出自由水面（为一等压面）的方程：z =弩匚+ H|dp 二 p（Xdx + Ydy + Zdz）2g根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：dr W 2 r 21i D 2 2k r - H +0 2g丿由此可求得： H = h0学，带入自由表面方程得:16g(W 2z = h + r 2 2g ID 2、兀若使w达到某一最大值而水不溢出,则有r = D 2时，z = H，带入上式，得W=2g (H - h 丿(D12 D 22 x 9.8 x(2.0 1.5)=8.854(rad s)2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为( W2r2P =Pg -7+ H zI 2g 0将 G 点条件： r = 0, z = 0 带入得：(=Pg hW2D2 116g丿pgW2D216g(62 x12 1=1000 x 9.8 x 1.5 = 12450Pa.16 x 9.8 丿同理，将C点条件：r = D 2, z = 0带入得:仙2 D 2T 2 D 2 )(62 X12 )+ h =1000x9.8x1.5 +8G16G J(16 x 9.8 丿(二16950Pa例题8如图所示为一圆柱形容器，直径为d二300mm，高H = 500mm，容器内装水，水深 为件=300mm，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速n十 解：以自由液面的最低处为坐标原点，自由液面方程为旋转后无水的体积为：dd2 r 22兀d 4 兀V = J 2 z x 2兀 rdr = 2x 2兀 rdr = d 2IH h 丿oo 2 g64 g41m 4Jg(H - h ) = 18.7 (rad s)d1n n = 30 = 178.3 (r/min)1 兀例9已知平面直角坐标系中的二维速度场u = （x + t）i + （y + t）j。试求:？（1）迹线方程；dx = dy =竺=dt uuuxyz2）流线方程；dxdydzuuxy3） t =0时刻，通过（1， 1）点的流体微团运动的加速度；4）涡量，并判断流动是否有旋。dyx dt解：(1)将u = x +1,u = y +1代入迹线方程竺=u ,= u得:xydtx dt ydxdy=x +1,= y +1dtdt解这个微分方程得迹线的参数方程：x = aet -1 -1, y = bet -1 -1其中，a,b是积分常数(拉格朗日变数)。消掉时间t,并给定a,b即可得到以x,y表示的流体质点(a, b )的迹线方程。例如：已知欧拉法表示的速度场u = 2xi -2yj，求流体质点的迹线方程,并说明迹线形状。将u = 2x,u = 2y代入迹线微分方程：= u ,= u，得:x yd txdty竺=2 x, Dy = 2 y dtdtln x = 2t + c ln y = -2t + c2分离变量并积分，得：从上两式中消去时间t得迹线方程：即:可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。xy = c + c12xy = c(2)将u = x +1,u = y +1代入流线微分方程竺得:x yu uxydx = dyx +1 y +1将t看成常数，积分上式得流线方程：In(x +1) = In(y +1)+ Inc(x +1)= c (y +1)(3)由质点导数的定义可得流动在x和y方向的加速度分量分别为:DuQu= x = x + uDtQtxQuQux + u :Qxy Qy=1 + (x +1 )x 1 + (y +1 )x 0 = x +1 +1DuQu= a = y + uDtQtQuQuy + uQxy=1 + (x +1 )x 0 + (y +1 )x1 = y +1 +1 Qy所以，t = 0时刻，通过(1, 1)点的流体微团运动的加速度为:a = a i + a j = (x +1 + 1)i + (y +1 + 1)j= 2i+2jDtx x4)由涡量的定义，对于题中所给的平面流动有：(du Qu - Q= Vx u = O k = yx k = 0z( dx dy 丿所以流动无旋。例10已知二维速度场为u = x - 4y , u = - y - 4 x。 (教材 P68) xy(1) 证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动；(2) 求该二维流场的流函数；(3) 证明该流动为势流；(4) 求速度势函数。解 (1 )平面流动判定不可压缩流体平面流动的连续方程为dudux + 一由已知条件可求營忌( -4y)=1，詈=Q(-y-4x)=-1，可见速度分布满足连续方程。故可以表示不可压缩流体的平面运动。(2)流函数屮(x, y)的确定d屮dy按流函数定义和已知条件有(1)(2)积分式(1)得屮=1dy + f (x) = xy 2 y2 + f (x)(3)为确定函数/(x)，将式(3)对x求偏导，并按流函数定义令其等于-u，即yd屮=y + f (x) = -u = y + 4xdxy由式可以判定f(x) = 4x，积分求f (x)得(5)f ( x ) =f f，( x)dx = f 4 xdx = 2 x 2 + c其中c为积分常数。将式(5)代入式，得：屮=2x2 + xy 一 2y2 + c(3)有势流动判定判定流动是否为有势流有两种方法。方法一：是直接利用速度场求旋度看其是否为零1 ( du _ y_2 ( dx|峯二 2(-y -4x)- dL (%- 4y)二 2(-4 + 4)二 0dy 丿 2 dxdyI 2由此可以判定流动为有势流。方法二：看流函数是否满足拉普拉斯方程(因为平面不可压缩势流同时存在流函数和势函数)：d却d却dddd+=(-u ) + (u ) = (y + 4x) +(x - 4 y) = 0dx2dy 2dxy dyx dxdy流函数满足拉普拉斯方程，流动为势流。(4)势函数申(x, y)方法一：按势函数定义和已知条件有u = x - 4 y(6)xdxu = y + 4 x(7)yd y积分式(6)得dx + f (x) = x2 -4xy + f (y)dx2为确定函数/(y)，将式对y求偏导，并按势函数定义式令其等于uy，即T_ = _4x + f，(y)二 u 二-y - 4 x dyy(9)由式(9)可以判定f(y) = -y，积分求f(y)得f (y)八y )d yydy 二-2y 2+c(10)其中c为积分常数。将式(10)代入式(8)，得：方法二：因已证明流动为有势流，则必然存在势函数，且u和u已知，可利用势函数的 xy全微分：d=四dx +四dy = u dx + u dy，作不定积分求申(x, y):dx+u dy)xydxdyx yp = f d =竺 dx + 竺 dy dy 丿= j(x - 4y)dx + (-y - 4x) dyx2 y 2=T 二-4 xy+c(例11：证明：屮=x + 2x2 -2y2所表示的流动是势流，并求出该流动的速度势函数。解：1)判断流动是否为势流方法一-丸=-(1 + 4 x )=-dxy鈴=-4 y = Uxdudu=A - -x = -4 - (-4) = 0对于x,y平面内的流动，Q= 0 说明流动无旋，所以是势流。 z方法二d = 1 + 4 x，空=4dxdx 2纽= -4y，空=-4dydy 2V 2屮且+凹=0dx2dy 2流函数屮满足Laplace方程，所以流动是势流。2)因为d*=d=-4 ydxdy所以 =-4 xy + f (y )又因为d= 4 x + f，(y )= dV = 1 4 x dydx所以广(y) = -1，f (y) = -y + c于是教材习题：Q = 4 xy + f (y ) = 一4 xy y + c三维不可压缩流场中u二x2 + z2 + 5 , u = y2 + z2 -3，且已知z = 0处u = 0，试求流场中的uxyzz表达式,并检验是否无旋解：由连续方程dudududududu积分得：u = 2( x + y) z + c z+由 z = 0 处 u =0 得：c=0z？所以流场中的u表达式为u = 2(x + y)zzz由于w =丄(竺-竺)=-2z，w =丄(此丝)=2z，w =丄(竺-竺)=0x 2 dy dzy 2 dz dxz 2 dx dyz可见，当z = 0时，该流体运动是无旋的；当z H 0时，该流体运动是有旋的。已知二元流场的速度势为申=x 2 y 21)2)试求u和u，并检验是否满足连续条件和无旋条件。 xy求流函数。解 (1 )u 亠 2x,xd xu =空=2y y dydu+ 一=2 2 = 0，满足连续方程；由于w =-(1学-冬)=0，流动无旋。 z 2 dx dy2)由流函数的定义：u =亚=2 xxdyu =-乜=-2y y dx积分式得心胄dy+f (x)=2 卩+f (x)将式对X求偏导，并令其等于u，即业=2 y + f(x) = 2 y，可得f(x) = 0，f (x) = c yd y不可压缩流场的流函数为屮二5xy（1）证明流动有势（2）并求速度势函数。（3）求（1，1）点的速度。解（1）因为u =飢=5x, u 二空=5yx dyydx所以，W =丄（A- x） = 0，即流动无旋，也即有势。 z 2 dx dy(2)因为u =空=5x，u = = -5yxd xydy所以，d =竺dx + 空dy = u dx + u dy = 5xdx-5ydydxdyxy对上式作不定积分得速度势函数： J dJ (竺 dx + 竺 dy) = J (u dx + u dy)=凸-空 + cdxdyx y22(3) 由 u = d. = 5x， u = = 5y，得，(1, 1)点的速度为:x d xy dy即：ux x=1=5 ， uy y=1u (1,1)= 5i - 5j已知u = x2y + y2， u = x2 y2x，试求此流场中在x = 1， y = 2点处的线变率、角变率和角 xy速度。解：由 u = x 2 y + y 2， u = x2 y2 x， x = 1， y = 2，得y线变率为：=此=2 xy = 4，9 =竺=2 xy = 4 dxydy角变率为：=2(譽 + 寮)=2(2 x y 2 + x 2 + 2 y) = 2(2 4 +1 + 4) = |2 dx d y222角速度为：=丄(竺一竺)=丄(2 x y 2 x 2 2 y)=丄(2 4 1 4)=-2 dx dy222例题12：如图所示，有一水平放置的喷管水射流装置，由直管段和收缩形喷管组成，喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。水流从喷嘴喷出，冲击到一块垂直平板上。已知：喷管上游直管段的截面积A二50cm2，水的压强p二46080Pa （表压，即相对于大气压的值），喷管出口截 11面积A二30cm2。若将射流视为不可压缩流体的稳态流动，且不计粘性和重力的影响。试求:2（1，喷管与直管段接头处所受的拉力；（2，平板所受的水流的冲击力。解：建立如图所示的坐标系，取 x 轴所在的水平面为基准面；选取控制体，确定控制面；分析控制体受力：假定喷管壁面对水的作用力在水平方向的分量为R，沿x轴的负方向;x垂直平板对射流的作用力为F，沿x轴的负方向。xz = z = 0，12对1-1和2-2截面列伯努利方程:gzi+牛=gZ2 +令+与，将已知条件p = 46080Pa， p = 012相对压强，代入伯努利方程，得：A，又由质量守恒方程pu A=pu A，可得:1 1 2 2uAf 二 iuA22B，联立求解（A）和（B）可得：-二7.2mfs,u = 12m Js， Q = Q = Q = 0.036 m s。（1）针对1-1和2 2截面间的控制体，列x方向的动量方程:pQ u pQu = R + p A2 2 1 1 x 1 1可求得喷管壁面对水流的作用力：R = pA +pQ(u u )= 46080x50x10-4 +1000x0.036(7.212) = 57.6N x 1 1 1 2R 为正值，说明喷管壁面对水流的作用力方向与初始假定的方向相同，水流对喷管壁面沿水 x平方向的作用力R为R的反作用力，故有R=-R =-57.6N ,即喷管与直管段接头处所受 的拉力为。（2）针对22、34和44 截面间的控制体（该控制体周围的压强均为大气压强，故不考虑压强引起的作用力），列 x 方向的动量方程：0 p Qu = F22x可求得垂直平板对射流的作用力：F =p Q v = 1000 x 0.036 x12 = 432Nx 2 2F 为正值，说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同，射流对垂直平板的作用力F为F的反作用力，故有F = -F =-432N。XX%例题 13：如图所示，将一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的轴线，该平板截去射流的一部分Q，并引起射流其余部分偏转角度0。已知u二u二u二24m-s，Q二42L.s （升/秒），1 1 2Q二16Ls。求射流对平板的作用力R及射流的偏转角0 （不计摩擦力及水的重量的影响，取水的密度 p = 1000kg m3 ）。解：建立坐标系，选取控制体，确定控制面。分析受力（假定力的方向）：由于不计摩擦力的影响，平板对射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力 R 平板方向的切向摩擦力R二0。y于是可列出 x 和 y 方向的动量方程：p（Q u cos0 - Qu） = -R22p（Qu -Q u sin0）= 01 1 2 2假设其方向向左），而沿平行于根据已知条件和连续性方程：Q二Q-Q二2.6x 10-2 m s2 1 将其他已知条件带入，可以求得：16、瓦射流对平板的作用力R二-R =-516.15N，方向向右。x0 = sin-i二 37.98，R 二 516.15NxO例题14：如图所示连续管系中的90。渐缩弯管放在水平面上，管径d二15cm , d12入口处平均流速u = 2.5m/s，静压p = 6.86x 104Pa （计示压强）。如不计能量损失,11弯管在其位置所需的水平力7.5cm ，试求支撑解：由u A = u1 1 2由厶+竺厶+僚，得:P g 2 g p g 2 g匕=耳号 0 巴)=686 x104+罟x(2-52 -102 )= 21725 (Pa)pA -F = pQ (0-u )1 1 x11 2320，吸水管内的流动为湍流; v1.007 x 10-6吸水段上的总损失（包括沿程损失和局部损失）：L u 2u2ahx小d石捷勺石=003 x 昙x 翥+(8+0294 x 2+006)x 鸚=0.1627 +1.1723 = 1.335m于是式可以写为：H二旦工AHx P g 2 gx当泵进口处达到最大允许的真空度工程大气压时，相应的吸水咼度也为允许的最大值，于是由（2）式，得：x p g怛-AH 二2 gx0.7 x 98100103 x 9.81為-0-1354 - 68646 缶）