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第12讲 抛物线新课标要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。2.了解抛物线的简单应用。知识梳理1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22pyFyx22py(p0)Fy3.抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象性质范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴y轴顶点(0,0)焦点准线xxyy离心率e14.直线与抛物线y22px的位置关系及判定位置关系公共点判定方法相交1个或2个公共点k0或联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为相切一个公共点0相离无公共点0名师导学知识点1 求抛物线的标准方程【例1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)准线方程为x1；(2)焦点为直线3x2y60与坐标轴的交点；(3)经过点(3，1)【变式训练1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)准线方程为y2；(2)焦点在x轴上，焦点到准线的距离等于5；(3)过点(1，2)知识点2 根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程【例2-1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程(1)y24x；(2)y4x2；(3)3x22y0；(4)y2ax(a0)【变式训练2-1】(1)已知抛物线x2ay的准线方程是y，则a_.(2)(全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8知识点3 抛物线定义的应用【例3-1】(1)若动点P到定点F(1,1)的距离与它到定直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D直线(2)已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.eq B1 C.eq C.eq D(3)(晋中市期末)已知直线l1：3x4y60，直线l2：y2，抛物线x24y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是()A2 B3C4 D【变式训练3-1】(1)已知动圆过定点F，且与直线x相切，其中p0，求动圆圆心的轨迹方程；(2)已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小知识点4 抛物线的简单几何性质【例4-1】设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A.eqB8C.eq D【变式训练4-1】设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率为，则PAF的面积为()A2 B4C8 D8【变式训练4-2】已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，求抛物线的标准方程知识点5 抛物线的焦点弦的性质及应用【例5-1】已知AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：(1)|AB|x1x2p；(2)若AB的倾斜角为，则|AB|；(3)x1x2，y1y2p2；(4)为定值.【变式训练5-1】设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程知识点6 直线与抛物线的位置关系的判断【例6-1】已知抛物线的方程为y22x，直线l的方程为ykx1(kR)当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【变式训练6-1】如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程知识点7 弦长、中点弦问题【例7-1】过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，且该弦恰被Q平分，求AB所在的直线方程及|AB|.【变式训练7-1】(台州市月考)过抛物线y2mx(m0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|m，则m()A6 B8C10 D12知识点8 抛物线中的定点、最值问题【例8-1】如图，已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且AOB90.(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求AOB面积的最小值【变式训练8-1】已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点P(2，n)(n0)在抛物线C上，|PF|3，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点(1)求抛物线C的方程及点P的坐标；(2)求的最大值名师导练3.3.1 抛物线及其标准方程A组-应知应会1到定点F(1，1)的距离与到直线3x2y50的距离相等的点P的轨迹是()A抛物线 B椭圆C双曲线的一支 D直线2已知抛物线y22px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为()Ax8 Bx8Cx4 Dx43(杭州模拟)已知抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A.eqC.eq C.eqD54若椭圆1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p为()A3BC.eqC.D65(牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是()Ay2x By22xC2x2y Dx24y6(运城期末)若在抛物线y24x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到点A(2,1)的距离之和最小，则点P的坐标为()A.eq BC(2，2) D(2,2)7在抛物线y22px(p0)中，p的几何意义是 _8若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的焦点，则p_.9(南阳市一中开学考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，以AB为直径的圆过点F，过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则的最大值为_10设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且与y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程11已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，试判断|FP1|，|FP2|，|FP3|是否成等差数列12(南阳一中检测)已知定点A(1,0)，定直线l：x2，动点P到点A的距离比点P到l的距离小1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M，N，若0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：PMN必为直角三角形；PMN不一定为直角三角形；直线PM与抛物线相切；直线PM不一定与抛物线相切其中正确的命题为()A BC D5(郑州模拟)过抛物线y24x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|()A10 B8C6 D46(马鞍山市阶段测试)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点，若4，则直线l的斜率为()A BC D7(凯里市期末)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，若ABD90，且ABF的面积为9，则此抛物线的方程为_8如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点F恰好是椭圆1(ab0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB过F，则椭圆的离心率是_9若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，则此抛物线的标准方程为_10抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程11已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离12在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(0，2)的距离比它到x轴的距离大2，记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)若直线y2xb与轨迹C恰有2个公共点，求实数b的取值范围B组-素养提升(全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.3.3.3 直线与抛物线的位置关系A组-应知应会1抛物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为()Ay28x By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y2在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax4y30 Bx4y30C4xy30 D4xy303已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点4(郑州市期中)已知F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，以为半径的圆，直线4x3y2p0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则()A16 B4C.eq D5已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx1 Dx26(绵阳模拟)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为()A(0，2) B(0,2)C(0，4) D(0,4)7直角ABC的三个顶点都在给定的抛物线y22x上，且斜边AB和y轴平行，则直角ABC斜边上的高的长度为_8直线yx1被抛物线y24x截得的弦的中点坐标为_9抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则双曲线的离心率为_10(平顶山调研)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A，B两点，若AMB90，求k的值11求过定点P(1,1)，且与抛物线y22x只有一个公共点的直线l的方程12设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.B组-素养提升(北京卷)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点
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