2022年三角函数的积化和差与和差化积

精品资料欢迎下载三角函数的积化和差与和差化积一、教学目的：1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。2.掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。二、重点、难点：掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。三、新课讲解：（一）三角函数的积化和差与和差化积公式 1、公式的推导)(sincoscossinsinS，sinsincoscossin()，Scoscoscossinsin()，Ccoscoscossinsin()，CSSSS，CCCC，得sinsinsincossinsincos sincoscoscoscoscoscossinsin2222即 sincossinsin121cos sinsinsin122cos coscoscos123sinsincoscos124公式 叫做积化和差公式。其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角、，等式右边为它们的和差角。在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为了用名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 1 页，共 4 页 -精品资料欢迎下载起 来 方 便，在 积 化 和 差 的 公 式 中，如 果 令，则22，。把这些值代入积化和差的公式中，就有sincossinsinsinsinsinsinsincos22122222122225同样可得，sinsincossincoscoscoscoscoscossinsin222622272228公式 叫做和差化积公式。其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角与，等式右边为2与2的形式。牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用之。2、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。3、典例分析例 1.把下列各式化为和差的形式。（1）sincos12512（2）23555cossinoo（3）coscosxyxy分析：利用积化和差公式。名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 2 页，共 4 页 -精品资料欢迎下载点评：（1）牢记积化和差公式，才能正确使用。（2）如求 sinsin838的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式即可求值，即sinsinsincossin8388812424例 2.把下列各式化成积的形式。（1）cosx12（2）sincosxx分析：只要将以上两题稍作变形，如将（1）中12换成 cos3，（2）中 cosx看作 sin 90ox 即可直接应用公式进行化积。点评：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（1）中12化为 cos3，（2）中cosx化为 sin 90ox。（2）对于型如 axbxsincos，可化为abx22sin也能达到和差化积的形式之目的。名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 3 页，共 4 页 -精品资料欢迎下载例 3.求值：（1）sincossincossinsin71587158oooooo（2）sincossincos22208032080oooo分析：（1）中注意 7与 15和 8的关系；（2）中最常见的想法是降幂扩角及积化和差的应用，但对偶式的应用可能使问题变得更简单。点评：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（1）对这一点展现地淋漓尽致；（2）中法 1 属常规方法，只要有扎实的基本功就可以正确完成，而法2 很巧妙的运用了对偶式使解答变得简单且浪漫。这种方法也可以求型如 coscoscos204080ooo的求值题，试一下是不是很巧妙？名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 4 页，共 4 页 -