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课下层级训练(四十二)直线的交点坐标与距离公式A级基础强化训练1命题p：“a2”是命题q：“直线ax3y10与直线6x4y30垂直”成立的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件A直线ax3y10与直线6x4y30垂直的充要条件是6a120，即a2.2(2019湖南衡阳月考)三条直线l1：xy0，l2：xy20，l3：5xky150围成一个三角形，则k的取值范围为()Ak|k5且k1Bk|k5且k10Ck|k1且k0Dk|k5B三条直线围成一个三角形，则三条直线互不平行，且不过同一点，k50，且51k150，k5且k10. 3(2019山东临沂联考)数学家欧拉1765年在其所著的三角形几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为xy20，则顶点C的坐标是()A(4,0)B(0，4)C(4,0)D(4,0)或(4,0)A当顶点C的坐标是(4,0)时，三角形重心坐标为，在欧拉线上，对于其他选项，三角形重心都不在欧拉线上4从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40B2xy10Cx6y160D6xy80A由直线与向量a(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2，3)与(0,2)，由两点式知A正确5直线l1过点(2,0)且倾斜角为30，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为_(1，)直线l1：x3y20，直线l2：xy20，联立方程组可求得x1，y.6已知两点A(m,0)和B(2m,0)(m0)，若在直线l：xy90上存在点P，使得PAPB，则实数m的取值范围是_m3设P(x，y)，则kPA，kPB，由已知可得消去x得4y216y63m22m0，由题意得解得m3.7已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4k，直线l2的横截距为2k22，如图，所以四边形的面积S2k22(4k4)24k2k8，故面积最小时，k.8已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)l1l2，a(a1)b0又直线l1过点(3，1)，3ab40故a2，b2(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b故a2，b2或a，b29已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程(1)证明直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得所以直线l恒过定点(2,3)(2)解由(1)知直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又直线PA的斜率kPA，所以直线l的斜率kl5故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70B级能力提升训练10若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4，2)B直线l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)11已知动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则的最小值为()A B C1D9B因为动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以abmc20，又因为Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，所以3，解得m0.所以ac2，则(ac)，当且仅当c2a时取等号12(2018吉林延边模拟)P点在直线3xy50上，且P点到直线xy10的距离为，则P点坐标为_(1, 2)或(2, 1)设P点坐标为(x,53x)，则P点到直线xy10的距离d，所以|2x3|1，所以x1或x2. 所以P点坐标为(1, 2)或(2，1)13已知M(x，y)为曲线C：1上任意一点，且A(3,0)，B(3,0)，则|MA|MB|的最大值是_8原曲线方程可化为1，作图如下：由上图可得要使|MA|MB|取得最大值，则M必须在菱形的顶点处，不妨取M(0，)，或M(4,0)，均可求得|MA|MB|8，故|MA|MB|的最大值为8.14已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，解得2或l的方程为x2或4x3y50(2)由解得交点P(2,1)如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|15一条光线经过点P(2,3)射在直线lxy10上，反射后经过点Q(1,1)，求：(1)入射光线所在直线的方程；(2)这条光线从P到Q所经路线的长度解(1)设点Q(x，y)为Q关于直线l的对称点，QQ交l于M点，kl1，kQQ1，QQ所在直线的方程为y11(x1)，即xy0由解得交点M，解得Q(2，2)设入射光线与l交于点N，则P，N，Q三点共线，又P(2,3)，Q(2，2)，故入射光线所在直线的方程为，即5x4y20(2)|PN|NQ|PN|NQ|PQ|，即这条光线从P到Q所经路线的长度为6
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