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第2节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的判定与证明8,14等差数列的基本运算2,3,13等差数列的性质1,4,7,10等差数列的单调性、最值5,6,11等差数列的应用9,12,15基础巩固(建议用时:25分钟)1.若等差数列an的公差为d,则数列a2n-1是(B)(A)公差为d的等差数列(B)公差为2d的等差数列(C)公差为nd的等差数列(D)非等差数列解析:数列a2n-1其实就是a1,a3,a5,a7,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.故选B.2.已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d等于(C)(A)1 (B) (C)2 (D)3解析:由已知得S3=3a2=12,即a2=4,所以d=a3-a2=6-4=2.故选C.3.(2018广西三校联考)已知等差数列an满足:a3=13,a13=33,则a7等于(C)(A)19 (B)20 (C)21 (D)22解析:等差数列an中,d=2,则a7=a3+4d=13+8=21,故选C.4.设数列an,bn都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于(C)(A)0 (B)37 (C)100 (D)-37解析:设an,bn的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,所以an+bn为等差数列,又a1+b1=a2+b2=100,所以an+bn为常数列,所以a37+b37=100.5.设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-11,a5+a9=-2,则当Sn取最小值时,n等于(C)(A)9(B)8(C)7(D)6解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d,由得解得所以an=-15+2n.由an=-15+2n0,解得n.又n为正整数,所以当Sn取最小值时,n=7.故选C.6.已知在等差数列an中,|a3|=|a9|,公差dS6(B)S5S6(C)S6=0(D)S5=S6解析:因为d0,a90,a70.所以S5=S6.故选D.7.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为(A)(A)13 (B)12 (C)11 (D)10解析:因为a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146,所以a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180.又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2,所以3(a1+an)=180,从而a1+an=60.所以Sn=390,即n=13.故选A.8.正项数列an满足a1=1,a2=2,2=+(nN*,n2),则a7= .解析:由2=+(nN*,n2),可得数列是等差数列,公差d=-=3,首项=1,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,所以a7=.答案:9.(2018长春模拟)九章算术是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题:“今有金菙(chu),长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金菙重几何?”其意思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺,截得本端1尺,重4斤,截得末端1尺,重2斤.问金杖重多少?”答案是.解析:由题意可知等差数列中a1=4,a5=2,则S5=15,所以金杖重15斤.答案:15斤能力提升(建议用时:25分钟)10.若两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,已知=,则等于(D)(A)7(B)(C)(D)解析:因为a5=,b5=,所以=.故选D.11.设等差数列an的前n项和为Sn,Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,其中mN*且m2.则数列的前n项和的最大值为(D)(A) (B) (C) (D)解析:因为Sm-1=13,Sm=0,Sm+1=-15,所以am=Sm-Sm-1=0-13=-13,am+1=Sm+1-Sm=-15-0=-15,因为数列an为等差数列,所以公差d=am+1-am=-15-(-13)=-2,所以解得a1=13.所以an=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n,当an0时,n7.5,当an+1 0时,n6.5,所以数列的前6项为正数,所以=(-),所以数列的前n项和的最大值为(-+-+-+1-)=(1-)=.故选D.12.中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在梦溪笔谈卷十八技艺篇中首创隙积术.隙积术意即:将木桶一层层堆放成坛状,每一层长有a个,宽有b个,共计ab个木桶,每一层长宽各比一上层多一个,共堆放n层.假设最上层有长2宽1共2个木桶,每一层的长宽各比上一层多一个,共堆放15层,则最底层木桶的个数为.解析:最上层2个,第2层:(1+1)(2+1)=23(个);第3层:(2+1)(3+1)=34(个);第15层:1516=240(个).答案:24013.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-9.(2)由(1)得Sn=n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.14.(2018洛阳第一次统一考试)已知数列an的前n项和为Sn,an0,a1=1,且2anan+1=4Sn-3(nN*).(1)求a2的值并证明:an+2-an=2;(2)求数列an的通项公式.解:(1)令n=1得2a1a2=4S1-3,又a1=1,所以a2=.2anan+1=4Sn-3,2an+1an+2=4Sn+1-3-得,2an+1(an+2-an)=4an+1.因为an+10,所以an+2-an=2.(2)由(1)可知:数列a1,a3,a5,a2k-1,为等差数列,公差为2,首项为1,所以a2k-1=1+2(k-1)=2k-1,即n为奇数时,an=n.数列a2,a4,a6,为等差数列,公差为2,首项为,所以a2k=+2(k-1)=2k-,即n为偶数时,an=n-.综上所述,an=15.在数列an中,a1=-5,a2=-2,记A(n)=a1+a2+an,B(n)=a2+a3+an+1,C(n)=a3+a4+an+2(nN*),若对于任意nN*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列|an|的前n项和.解:(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列.所以A(n)+C(n)=2B(n),整理得an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3,所以数列an是首项为-5,公差为3的等差数列,所以an=-5+3(n-1)=3n-8.(2)|an|=记数列|an|的前n项和为Sn.当n2时,Sn=-+n;当n3时,Sn=7+=-n+14,综上,Sn=- 7 -
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