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第29讲 等差数列及其前n项和课时达标一、选择题1(2019湘潭三模)张丘建算经卷上第22题“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加()A.尺 B.尺C.尺 D.尺B解析 设该女子织布每天增加d尺，由题意知S30305d390，解得d.故该女子织布每天增加尺故选B.2等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则a9()A8 B12C16 D24C解析 由已知得a14d8,3a1d6，解得a10，d2.故a9a18d16.故选C.3(2019东北三省联考)现给出以下几个数列：2,4,6，8，2(n1)，2n；1,1,2,3，n；常数列a，a，a，a；在数列an中，已知a2a12，a3a22.其中一定是等差数列的个数为()A1 B2C3 D4B解析 由42642n2(n1)2得数列2,4,6，8，2(n1)，2n为等差数列；因为110211，所以数列1,1,2,3，n不是等差数列；常数列a，a，a，a为等差数列；当数列an仅有3项时，数列an是等差数列，当数列an的项数超过3项时，数列an不一定是等差数列，故等差数列的个数为2.4等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则()A. B.C. D.A解析 .5设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，且a10，若S5S9，则当Sn最大时，n()A6 B7C10 D9B解析 由题意可得S9S5a6a7a8a90，所以2(a7a8)0，即a7a80.又因为a10，所以该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数所以当Sn最大时，n7.6(2019北京海淀区期末)若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为()A6 B7C8 D9B解析 因为a119，an1an3，所以数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，所以an19(n1)(3)223n.设an的前k项和数值最大，则有 (kN*)，所以所以k，因为kN*，所以满足条件的n的值为7.二、填空题7设等差数列an的前n项和为Sn，若a13，ak1，Sk12，则正整数k_.解析 由Sk1Skak112得Sk1，解得k13.答案 138设等差数列an的前n项和为Sn，若1a31,0a63，则S9的取值范围是_解析 S99a136dx(a12d)y(a15d)，由待定系数法得x3，y6.因为33a33,06a618，两式相加即得3S921.答案 (3,21)9(2019西安一中月考)设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解析 因为an，bn为等差数列，所以.因为，所以.答案 三、解答题10在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解析 (1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33可得12d3，解得d2，从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以Sn2nn2.由Sk35可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.11已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解析 (1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.12设Sn是等差数列an的前n项和，a61，S1339.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在n(nN*)，使得Snan，若存在，求满足条件的的最大值；若不存在，请说明理由解析 (1)因为S1313a739，所以a73，因为a61，所以公差da7a6312，所以ana6(n6)d2n11.(2)由(1)得a19，则Sn9n2n210n，由Snann212n11(n11)(n1)0得1n11，因为nN*，所以n2,3,4，10.因为当n2,3,4，10时，Sn0，当n2,3,4,5时，an0，当n6,7,8,9,10时，an0，所以当n2或3或4或5时，有最大值因为当n2,3,4,5时，而|Sn|随n增大而增大，|an|随n增大而减小，所以的最大值为25.13选做题(2019银川一中月考)在等差数列an中，首项a10，公差d0，前n项和为Sn(nN*)，有以下命题：若S3S11，则必有S140；若S3S11，则必有S7是Sn中的最大项；若S7S8，则必有S8S9；若S7S8，则必有S6S9.其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4D解析 对于，若S11S34(a1a14)0，即a1a140，则S140，所以正确；对于，当S3S11时，易知a7a80，又a10，d0，所以a70a8，故S7是Sn中的最大项，所以正确；对于，若S7S8，则a80，那么d0，可知a90，此时S9S80，即S8S9，所以正确；对于，若S7S8，则a80，S9S6a7a8a93a80，即S6S9，所以正确故选D.4
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