凸几何分析简介

2020/6/18,1,凸体几何中的极值问题,冷岗松上海大学数学系2006.04.07,2020/6/18,2,最主要的，我要跟大家说的是立体几何在数学中是很重要而困难的部分。即使平面几何也可能很难。到了立体时，则更为复杂。近年来对碳60(C60)的研究显示了几何在化学中的应用。多面体图形的几何性质对固态物理也有重大的作用。球装不过是立体几何的一个问题。立体几何是大有前途的。,陈省身,在庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成立10周年之际，以中国的数学为题发表的讲演.,2020/6/18,3,一.学科介绍:,凸体的Brunn-Minkowski理论.Lutwak的对偶Brunn-Minkowski理论.Lp-Brunn-Minkowski理论.几何断层学(GeometricTomography).,2020/6/18,4,凸体的Brunn-Minkowski理论,凸体：中有非空内点的紧致凸集.凸体的支撑函数：设K是中的一个凸体那么它的支撑函数定义为凸体的Minkowski和：设K，L是中的凸体,2020/6/18,5,混合体积(Mixedvolume),Minkowski定理：设为中的凸体，设K，L是中的凸体，那么,2020/6/18,6,Steiner对称,亮度函数(brightnessfunction),Steiner对称与亮度函数,2020/6/18,7,投影体(ProjectionBodies),2020/6/18,8,Aleksandrov投影定理,对于原点对称的两个凸体K和L,2020/6/18,9,Shephard问题,Shephard(1964)问:对于原点对称的凸体K和L,是否有Petty和Schneider(1967)分别给出了否定的回答，并证明了当L为投影体或时结论成立.,2020/6/18,10,Shephard问题的一个反例,Petty和Schneider(1967)给出的一个反例.,反例,2020/6/18,11,Lutwak的对偶Brunn-Minkowski理论,Funk截面定理:对于原点对称的星形体K和L,截面函数,2020/6/18,12,截面体(IntersectionBodies),2020/6/18,13,Lp-Brunn-Minkowski理论,设K，L是中的两个凸体，分别表示它们的支撑函数，则K与L的Lp-Minkowski组和定义为,P-混合体积定义为,2020/6/18,14,Lp面积测度(E.Lutwak，1993),设K，L是中的两个凸体，则上存在测度使得K与L的p-混合体积可表示为,p-Minkowski问题：在上给定一个Borel测度，给出所需要满足的充分必要条件使得存在一个包含原点为内点的凸体且,2020/6/18,15,平行X射线与点X射线(X-rays),如果已知一个平面凸体在四个方向上的平行X射线，那么这个凸体可以被唯一确定.(Gardner.andMcMullen,1980),如果已知一个平面凸体关于四个点(这四个点中的任意三点不共线)的点X射线，那么这个凸体可以被唯一确定.(Voli,1986),2020/6/18,16,由亮度函数重构凸体,Gardner和PeymanMilanfar给出的由亮度函数重构凸体的一个例子.,2020/6/18,17,医学上的应用,2020/6/18,18,二.我们近几年的主要结果,Schneider投影问题的一个修正形式.关于体积差的BrunnMinkowski不等式.一个单形中锐二面角个数的最小值.迷向体与Bourgain问题.Aleksandrov定理的一种推广形式.Loomis-Whitney不等式的推广.对偶Lp-John椭球.,2020/6/18,19,1.R.Schneider投影问题,Schneider猜测(1982)：设K是一个原点对称的凸体，则比值,当K为超平行体时达到最大.,Schneider猜测是凸几何中的一个著名未解决问题,引发了大量的研究.,2020/6/18,20,N.S.Brannen(Mathematika,1996)举出反例，证明Schneider猜测不成立；E.Lutwak,D.Yang和G.Zhang(Trans.Amer.Math.Soc.,2001)引进了新的仿射不变量，从而给出了修正形式的Schneider投影猜测.,2020/6/18,21,新的仿射不变量U(P),如果P是中一个包含原点为其内点的凸多胞形，是它(n-1)维面的外法向量，是原点到对应面的距离，是对应面的面积，则U(P)定义为,由U(P)的定义可知,2020/6/18,22,Schneider猜想的修正版本,Lutwak,Yang,L.Pook猜测对于任意给定的n维单形,其中至少有n个锐二面角.,2020/6/18,31,定理：任给一个n维单形，在其所有的二面角中一定存在至少n个锐二面角，并且存在这样的n维单形，其中恰有n个锐二面角.,上面的定理可等价的表述为,定理：任给一个n维单形，在其所有的二面角中一定存在至多n(n-1)/2个钝二面角，并且存在这样的n维单形，其中恰有n(n-1)/2个钝二面角.,2020/6/18,32,4.迷向体与Bourgain问题何斌吾，冷岗松，中国科学（A辑），35（4），2005，450-462.,如果K是中一个体积为1且质心在原点的凸体，那么存在唯一的线性变换使得对任意有,通常被称为凸体K的迷向常数.,问题：是否存在常数c(与维数n无关)使得对任意的凸体K,2020/6/18,33,J.Bourgain(1989-1990),Lutwak,Yang,Zhang(2000),2020/6/18,34,定理：设K是中一个质心在原点的体积为1的凸体，且,，则,左边的等号成立当且仅当K是一个质心在原点，体积为1的椭球；右边的等号成立当且仅当K是一个质心在原点，体积为1的超立方体或它的正交变换像.,2020/6/18,35,定理：设K是中一个质心在原点，且体积为1的凸体.如果至少存在一个单位向量使得则,等号成立当且仅当K是一个质心在原点体积为1的超立方体或它的正交变换像.,2020/6/18,36,5.Aleksandrov定理的一种推广形式冷岗松，张连生，中国科学（A辑），31（3），2001，204-212.,定理：设K是一个凸体，C是一个中心对称的凸体，且对任意的和任意给定的j成立,等号成立当且仅当K是C的一个平移.,则有,2020/6/18,37,在上面的定理中令j=0,即得Aleksandrov定理;令j=1,则我们有下面的推论,推论：设K是一个凸体，C是一个中心对称的凸体，且对任意的成立,则有,等号成立当且仅当K是C的一个平移.,2020/6/18,38,6.Loomis-Whitney不等式的推广冷岗松，张连生，中国科学（A辑），31（3），2001，204-212.,(LoomisandWhitney)设是中的一个标准正交基，K是中的一个凸体，那么,(K.Ball)设K是中的一个凸体，是中的一列单位向量，是一列正实数且满足,那么,2020/6/18,39,定理：设K是中的一个凸体，是中的一列单位向量，是一列正实数且满足,则对于任意,其中是n维单位球B的体积.,2020/6/18,40,推论：设K是中的一个凸体，是中的一列单位向量，是一列正实数且满足,那么,2020/6/18,41,定理：设是中的一个标准正交基，K是中的一个凸体，则当时,这里为j-1维单位球面的面积，当且仅当K为一个n维立方体时，等号成立.,推论：设是中的一个标准正交基，K是一个凸体，则,当且仅当K为一个n维立方体时，等号成立.,2020/6/18,42,Lp-John椭球(Lutwak,Yang,Zhang2005),John椭球：任意给定的凸体K中都包含一个体积最大的椭球-John椭球.Petty椭球：任意给定的凸体K，存在一个保体积的仿射变换T使得TK具有最小表面积，则即为关于K的Petty椭球，这里B指单位球.对偶Legendre椭球,2020/6/18,43,LpJohn椭球：设K是一个以原点为内点的凸体，在所有中心对称的椭球E中，满足下面的约束最优化问题：,的唯一椭球即为关于K的LpJohn椭球.注：,2020/6/18,44,关于K的单位化极Lp投影体定义为Lp型John椭球的包含关系：,2020/6/18,45,对偶Lp-John椭球(WuyangYu,GangsongLeng,),Lwner椭球：任意给定的凸体K都包含于一个体积最小的椭球-Lwner椭球.Legendre椭球：对偶Lp混合体积的定义为：,2020/6/18,46,对偶LpJohn椭球：设K是一个以原点为内点的凸体，在所有中心对称的椭球E中，满足下面的约束最优化问题：,的唯一椭球即为关于K的对偶LpJohn椭球.,注：即为K的Lwner椭球，即为K的Legendre椭球.,2020/6/18,47,关于K的Lp质心体定义为对偶Lp型John椭球的包含关系：,2020/6/18,48,谢谢！,