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第7讲函数的奇偶性与周期性1(经典真题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(C)Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)为偶函数f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|为奇函数|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|为偶函数2. (2018佛山一模)已知f(x)2x为奇函数，g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则f(ab)(D)A. B.C D 根据题意，f(x)为奇函数，则有f(x)f(x)0，特别f(0)0，可得a1，又g(x)为偶函数，则g(x)g(x)，即bxlog2(4x1)b(x)log2(4x1)，解得b1，则ab1，f(ab)f(1)21.3(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为(C)Aabc BcbaCbac Dbca 依题意ag(log25.1)(log25.1)f(log25.1)log25.1f(log25.1)g(log25.1)因为f(x)在R上是增函数，可设0x1x2，则f(x1)f(x2)从而x1f(x1)x2f(x2)，即g(x1)g(x2)所以g(x)在(0，)上亦为增函数又log25.10,20.80,30，且log25.1log283,20.8213，而20.821log24log25.1，所以3log25.120.80，所以cab.4(2018山东青鸟月考)已知函数yf(x2)的图象关于直线x2对称，且当x(0，)时，f(x)|log2x|，若af(3)，bf()，cf(2)，则a，b，c的大小关系是(B)Aabc BbacCcab Dacb 由函数yf(x2)的图象关于直线x2对称，知函数f(x)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，所以af(3)f(3)log23，bf()|log2|log24，clog22，因为log22log23log24，所以ca0，则实数m的取值范围为，). 由f(m1)f(2m1)0f(m1)f(2m1)，因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(m1)f(12m)，又f(x)在10,10上是减函数，所以解得m|x|x0，所以g(x)的定义域为R，因为g(x)ln(x)lng(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(a)g(a)14，所以g(a)3，所以f(a)g(a)1g(a)1312.(方法2)因为f(x)f(x)ln(x)1ln(x)1ln(1x2x2)22，所以f(a)f(a)2，所以f(a)2.7(2018陕西汉中第二次月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x2)f(x)，当x0，2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2，4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2019)的值 (1)证明：因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)所以f(x)是周期为4的周期函数(2)因为x2，4，所以x4，2，所以4x0，2，所以f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(x)是周期为4的奇函数，所以f(4x)f(x)f(x)，所以f(x)f(4x)，所以f(x)x26x8，x2，4(3)因为f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2016)f(2017)f(2018)f(2019)0，所以f(0)f(1)f(2)f(2019)0.8(2018马鞍山质检)已知函数f(x) 则关于m的不等式f()0时，x0，f(x)ln xxf(x)，同理，x0时，由f()ln2，得f()2，解得0m.根据偶函数的性质知当m0时，得m0.9(2016江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1)上，f(x)其中aR.若f()f()，则f(5a)的值是. 因为函数f(x)的周期为2，结合在1,1)上f(x)的解析式，得f()f(2)f()a，f()f(4)f()|.由f()f()，得a，解得a.所以f(5a)f(3)f(41)f(1)1.10(2018长沙一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2ax.(1)若a2，求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，求a的取值范围；若对任意实数m，f(m1)f(m2t)0恒成立，求实数t的取值范围 (1)当x0，又因为f(x)为奇函数，且a2，所以当x0，在(0，)上f(x)0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，不合题意所以函数f(x)为单调减函数时，a的取值范围为a0.因为f(m1)f(m2t)0，所以f(m1)f(m2t)，又因为f(x)是奇函数，所以f(m1)tm2恒成立，所以tm2m1(m)2对任意实数m恒成立，所以t.即t的取值范围为(，)6
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