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第1章 导数及其运用11 导数的概念一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议导数的概念了解借助于导数概念形成的物理背景(瞬时速度)及几何背景(曲线切线的斜率)来理解如何从平均变化率过渡到瞬时变化率，从而抽象出导数的概念导数的几何意义掌握理解导数的几何意义二、预习指导1预习目标(1)本节主要通过对大量实例的分析，理解平均变化率的实际意义和数学意义，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义2预习提纲(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式(2)阅读教材，回答下列问题1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率?2)瞬时变化率的几何背景：曲线上一点处的切线的斜率关于割线的斜率：设曲线C上一点P(x，f(x)，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率是多少?关于点P(x，f(x)处的切线：设曲线C上一点P(x，f(x)，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(xx，f(xx) 用运动的观点来看，在点P处的切线可以认为是过点P处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置，那么你能计算出切线的斜率吗?说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0，f(x0)处的切线斜率的基本步骤3) 瞬时变化率的物理背景：瞬时速度与瞬时加速度回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义给出位移时间方程，如何求物体在时刻的瞬时速度?给出速度位移方程，如何求物体在时刻的瞬时加速度?4)导数：从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念请表述出函数在某一点处的导数的概念请表述出导函数的概念，并表述导函数的具体的对应法则求导数的步骤是什么?导数的几何意义是什么?说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(3)阅读课本例题，思考下列问题 第7页上例4给我们的启示：一次函数f(x)=kxb在区间m，n上的平均变化率等于多少? 对比第6页上例3与第9页上例1，给你怎样的启示? 第13页上例3是求函数在一点处的导数，要注意表述格式的规范化3典型例题例1 物体做直线运动的方程为s(t)=3t25t(位移单位是m，时间单位是s)，求物体在2s到4s的平均速度以及2s到3s的平均速度分析： 利用公式解： 2s到4s的平均速度 ；2s到3s的平均速度例2 已知函数f(x)=2x21，图象上P(1，3)及邻近上点Q(1，3)，求分析： 应用公式=解： = 例3 已知函数f(x)=x3，证明：函数f(x)在任意区间上的平均变化率都是正数分析： 应用公式=求出平均变化率，再进行配方解：=恒为正数例4 已知曲线C：，求(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?解：(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1， 切点P(1，1)设Q(1，)， =，时，3，过P点的切线方程为y1=3(x1)，即3xy2=0(2)由，可得，得从而求得公共点为(1，1)或(2，8)点评：切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的点可见，直线与曲线相切不一定只有一个公共点例5 已知曲线上一点P(2，)，求(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程分析： 先求出切线的斜率，再由点斜式写出切线方程解：(1)设P(2，)，Q(2，)，则割线PQ的斜率=，当时，4，即点P处的切线的斜率为4(2)点P处的切线方程为，即点评： 本题若将“点P处”改为“过点P”，应该如何解答呢?例6 自由落体运动方程为，(位移单位：m，时间单位：s)，(1)计算t从3秒到31秒、301秒、3001秒各时间段内的平均速度；(2)求t=3秒时的瞬时速度分析： 要求平均速度，就是要求的值，为此需要求出、当的值无限趋向于0时，其平均速度就接近于一个定值解：(1)设在3，31内的平均速度为，则 =313=01s =s(31)s(3)= =0305gm 所以 同理 (2)当无限趋近于0时，无限趋近于常数3g(m/s)例7 求函数在处的导数分析： 根据导数的定义，应先计算函数的增量，再计算，最后求时，的值解： 当时， 20，例8 某化工厂每日产品的总成本C(单位：元)是日产量x(单位：吨)的函数：求当日产量为100吨时的边际成本(边际成本就是一段时间的总成本对该段时间产量的导数)分析： 根据边际成本的定义，本题只要求出当无限趋向于0时的值即可解：成本的增量为= =200当时，即的极限为225故当日产量为100吨时的边际成本为225元/吨点评：本题计算过程中注意分子有理化的技巧4自我检测(1)若函数f(x)=2x21的图象上一点(1，1)及邻近一点(1x，1y)，则等于 (2)函数在区间2，4上的平均变化率为 (3)若函数，则 (4)已知函数，由定义求，并求(5)如果函数在点处的导数分别为： 试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角三、课后巩固练习A组1函数f(x)=3x1在区间0，2上的平均变化率为 2设函数y=f(x)，当自变量由x0变到x0 x 时，函数的改变量y为 3函数f(x)=x22在区间1，a的平均变化率为3，则a的值为 4在曲线y=x2x2上取点P(1，2)及邻近上点Q(1x，2y)，则= 51995年中国人口约为12亿，2005年中国人口约为13亿，则从1995年到2005年这10年中中国人口的平均变化率是 ；1995年到2005年的人口增长率是 6已知函数y=ax2bx，则= 7某工厂8年来总产量c(万件)与时间t(年)的函数关系如图，则第一年内总产量c的平均变化率是 ，第三年到第八年总产量的平均变化率是 8函数f(x)=x2在点(1，1)处的切线的斜率为 9一物体运动方程是s=200，(g=98m/s2)，则t=3时物体的瞬时速度为 10若作直线运动的物体的速度(单位：m/s)与时间(单位：s)的关系为v(t)=t2，则在前3s内的平均加速度是 ，在t=3时的瞬时加速度是 11在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)，与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系式：h(t)=49t265t10试分别计算及时间内的平均速度12已知函数f(x)=，分别计算函数f(x)在区间1，3，1，2，1，11，1，101上的平均变化率13将半径为R的球加热，若球的半径增加，求球体积的平均变化率 14已知某质点按规律s=(2t32t)(米)作直线运动求：(1)该质点在运动前3秒内的平均速度；(2)质点在2秒到3秒的平均速度；(3)质点在3秒时的瞬时速度15用割线逼近切线的方法，求曲线y= x24x在点A(4，0)和B(2，4)处的切线的斜率及切线方程B组16(1)若温度T在上升过程中关于时间t的函数关系是T=f(t) ，则的实际意义是 (2)若污染源扩散过程中污染面积S关于时间t的函数关系是S=f(t) ，则的实际意义是 (3)若一水库在泄洪过程中水面的高度关于时间t的函数关系是h=f(t) ，则的实际意义是 17曲线在点P处切线的斜率为k，当k=3时，P点坐标为 18已知曲线过点，则此曲线在该点的切线方程是 19已知函数的图象在点处的切线方程是，则 20已知函数f(x)=kx2d，且，则k的值为 21已知函数，则= 22一个圆形铝盘加热时，随着温度的升高而膨胀设该圆盘在温度t时，半径为r=r0(1at)(a为常数)，求t时，铝盘面积对温度t的变化率 23已知抛物线上三点P，Q，R的横坐标分别为1、3和2(1)求割线PQ、PR的斜率；(2)当Q、R分别沿抛物线向点P移动，割线PQ、PR的斜率如何变化?24求曲线y=在点M(3，3)处的切线的斜率及倾斜角25用割线逼近切线的方法，求在处的切线的斜率 26 用割线逼近切线的方法，求在处的切线的斜率27设质点的运动方程是，计算从t=2到t=2之间的平均速度，并计算当=01时的平均速度，再计算t=2时的瞬时速度28生产某种产品q个单位时成本函数为，求(1)生产90个单位该产品时的平均成本；(2)生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；(3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少?C组29已知存在，则当h无限趋近于0时，下列式子各趋近于何值? (1) ；(2) ；(3) ；(4) 30已知函数，记(1)求在区间上的平均变化率；(2)在数轴上画出数列对应的点，并观察当不断增大时，有什么变化趋势?知识点题号注意点导数的概念17，12，13，16，18，2022注意平均变化率与瞬时变化率概念的区别导数的几何意义8，15，17,19，2326求曲线在某点处切线方程的基本步骤导数在物理中的应用911，14瞬时速度与瞬时加速度导数的其它应用28，30边际成本问题四、学习心得五、拓展视野很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径有如何变化?从数学角度如何解释这种现象?解 气球的半径增加得越来越慢我们知道，气球的体积V(单位：L)与半径(单位：dm)之间的函数关系是，如果将半径r表示为体积V的函数，那么当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了，气球的平均膨胀率为 类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了，气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的膨胀率逐渐变小了11 导数的概念检测反馈：1 4+2x；2 ；3 0；4 解：，当时，所以5 （1）；（1）；（1）；（1）巩固练习：A组1-3 ； 2； 32； 4；501，83%； 6； 7 3万件/年，0万件/年； 8-2； 9196m/s ； 10 ；11当时，平均速度；当时，平均速度 ；12； 13； 14（1）20米/秒；（2）40米/秒；（3）56米/秒； 15； B组16(1)温度上升的瞬时速度；(2)污染源扩散的瞬时速度；(3)水面高度下降的瞬时速度； 17（-1，1）或（1，1）； 18； 193； 20-2； 21-822解：圆盘面积 23(1),(2)PQ逐步增大，PR逐步减小； 24k= -1,倾斜角=1350；25令，则，当时，从而曲线在处切线斜率为 26令，则，当时，故切线的斜率为 27略28（1）；（2）；（3）C组29（1），当 h无限趋近于0时，- h也无限趋近于0，无限趋近于；（2），当h无限趋近于0时，2h也无限趋近于0，无限趋近于，无限趋近于2；（3），当h无限趋近于0时，无限趋近于，无限趋近于，无限趋近于2； （4）=当h都无限趋近于0时，-3h也无限地趋近于0， 无限趋近于30（1）； （2）当不断增大时，无限趋向于4（当无限增大时，区间长度无限趋近于0，此时的平均变化率趋近于函数在时的导数）；10
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