2022年最新2019年中考数学复习-第二单元-方程与不等式-第6讲-一元二次方程习题

1 第 6 讲一元二次方程重难点 1一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2018随州 ) 已知关于x 的一元二次方程x2(2k 3)x k20 有两个不相等的实数根x1，x2. (1) 求 k 的取值范围；(2) 假设1x11x2 1，求 k 的值【思路点拨】(1) 根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围；(2) 根据根与系数的关系可得出x1 x2 2k3，x1x2k2，结合1x11x2 1 即可得出关于k 的分式方程， 解之经检验即可得出结论【自主解答】解：(1) 关于x 的一元二次方程x2(2k 3)x k20 有两个不相等的实数根，(2k 3)24k20. 解得 k34. (2) x1，x2是方程 x2(2k 3)x k20 的实数根，x1x2 2k3，x1x2k2. 1x11x2x1x2x1x2 2k3k2 1. 解得 k13，k2 1. 经检验， k13，k2 1 都是原分式方程的根又k34，k 3. 方法指导1判断一元二次方程根的情况，要明确a，b，c 的值，然后比较b24ac 与 0 的大小2利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有x1x2与 x1x2的式子易错提示解答关于二次项系数中含有未知数的一元二次方程时，容易无视一元二次方程的前提条件是：二次项系数 a0. 因此，在解答过程中，要首先列出前提条件，即：在满足二次项系数a0的条件下求解【变式训练1】( 易错易混 ) 假设关于x 的一元二次方程(k 1)x2 4x1 0 有实数根，则k 的取值范围是k5且 k1【变式训练2】(2018南充 )已知关于x 的一元二次方程x2(2m2)x (m22m)0. (1) 求证：方程有两个不相等的实数根；(2) 如果方程的两实数根为x1，x2，且 x21 x2210，求 m的值解： (1) 由题意可知， (2m2)2 4(m22m)40，方程有两个不相等的实数根(2) x1x2 2m 2， x1x2 m2 2m ，x21x22(x1x2)22x1x210. (2m 2)22(m22m)10. m22m 30. m 1 或 m 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 ( 山西中考， 7 分) 解方程： 2(x 3)2x2 9. 解： 2(x 3)2(x 3)(x 3). 1分2(x 3)2(x 3)(x 3) 0. 2分(x 3)(2x 6x3) 0. 3分(x 3)(x 9) 0. 4分x 30 或 x90. 5分x13，x2 9. 7分重难点 2一元二次方程的应用某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2016 年单价为 200 元， 2018 年单价为 162 元(1) 求 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2) 选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【思路点拨】(1) 设 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据 2016 年及 2018 年该品牌足球的单价，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其小于1 的值即可得出结论；(2) 根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100 个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论【自主解答】解： (1) 设 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意，得200(1 x)2162. 解得 x0.1 10% 或 x1.9( 舍去 ) 答： 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%. (2) 在 A商城需要的费用为16290 (10099) 14 742( 元) ，在 B商城需要的费用为16210091014 580( 元 ) 14 74214 580. 答：去 B商场购买足球更优惠【变式训练3】(2017兰州 ) 王叔叔从市场上买一块长80 cm，宽 70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为(C) A(80 x)(70 x) 3 000 B8070 4x23 000 C(80 2x)(70 2x) 3 000 D8070 4x2(70 80)x 3 000 【变式训练4】某商品的进价为每件40 元当售价为每件60 元时，每星期可卖出300 件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1 元，每星期可多卖出20 件现在要使利润为6 120元，每件商品应降价(A) A3 元B2.5 元C2 元D5 元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 【变式训练5】(2018通辽 ) 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场) 现计划安排21 场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为12x(x 1) 21方法指导列一元二次方程解应用题的常见关系：(1) 平均变化率问题：假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 a(1x)2b；(2) 利润问题：利润售价成本；利润率利润成本100% ；(3) 矩形面积问题镶边矩形：如图，镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S(a 2x)(b 2x) ；内嵌十字架型矩形：如图，图 1 中阴影区域可以通过平移的方法变成图2 中的样子， 此时易得图1 矩形 ABCD 中空白区域的面积为S(a x) (b x) 易错提示要检验方程的解是否符合实际意义考点 1一元二次方程及其解法1(2018临沂 ) 一元二次方程y2y340 配方后可化为(B) A(y 12)21 B(y 12)2 1 C(y 12)234D(y 12)2342(2018宁夏 ) 假设 23是方程 x24xc0 的一个根，则c 的值是 (A) A1 B33 C13 D23 3(2018铜仁 ) 一元二次方程x24x 30 的解为 (C) Ax1 1，x23 Bx11， x2 3 Cx11，x23 Dx1 1，x2 3 4(2018柳州 ) 一元二次方程x290 的解是 x13，x2 35(2018淮安 ) 一元二次方程x2x0 的根是 x10，x216( 整体思想 )(2018 扬州) 假设 m是方程 2x2 3x1 0的一个根，则6m29m 2 015 的值为 2_018精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 7(2018荆门 ) 已知 x2 是关于 x 的一元二次方程kx2(k22)x 2k40 的一个根，则k 的值为 38(2018黄冈 ) 一个三角形的两边长分别为3 和 6，第三边长是方程x210 x210 的根， 则三角形的周长为169选择适当的方法解以下方程：(1)x25x10；解： x25x 1. x25x(52)2 1(52)2. (x 52)2214. x52212. 所以 x15212，x25212. (2)(x 3)(x 1)3；解：方程化为x24x0. x(x 4)0. 所以 x10，x24. (3)2x222x5 0；解： ( 22)242( 5) 48. x224822224342232. 所以 x12232，x22232. (4)(y 2)2(3y 1)2. 解： (y 2)2(3y 1)2 0. (y 23y1)(y 23y1) 0. (4y 1)( 2y3) 0. 4y10 或 2y30. 所以 y114，y232. 考点 2一元二次方程根的判别式10(2018上海 ) 以下对一元二次方程x2x30 根的情况的判断，正确的选项是(A) A有两个不相等实数根B有两个相等实数根C有且只有一个实数根D没有实数根11(2018山西 ) 以下一元二次方程中，没有实数根的是(C) Ax22x0 Bx24x10 C.2x24x30 D3x25x2 12(2018 吉林 ) 假设关于x 的一元二次方程x22xm 0 有两个相等的实数根，则m的值为 1考点 3一元二次方程根与系数的关系13(2018眉山 ) 假设 ， 是一元二次方程3x22x90 的两根 ，则的值是 (C) A.427B427C5827D.582714(2018长沙 ) 已知关于 x 的方程 x23xa0 有一个根为1，则方程的另一个根为 215(2018德州 ) 假设 x1，x2是一元二次方程x2 x20 的两个实数根，则x1x2x1x2 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 考点 4 一元二次方程的应用16(2018大连 ) 如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽 6 cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒假设纸盒的底面( 图中阴影部分 ) 面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为(B) A10646x 32 B(10 2x)(6 2x) 32 C(10 x)(6 x) 32 D106 4x232 17(2018绵阳 ) 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55 次，则参加酒会的人数为(C) A9 人B10 人C11 人D12 人18(2018沈阳 ) 某公司今年1 月份的生产成本是400 万元，由于改良技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361 万元假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同(1) 求每个月生产成本的下降率；(2) 请你预测4 月份该 公司的生产成本解： (1) 设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1 x)2361，解得 x10.05 5% ，x2 1.95( 不合题意，舍去) 答：每个月生产成本的下降率为5%. (2)361 (1 5%)342.95( 万元 )答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元19(2018盐城 ) 一商店销售某种商品，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1 元，平均每天可多售出 2 件(1) 假设降价3 元，则平均每天销售数量为26 件；(2) 当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200 元？解：设每件商品降价x 元时，该商店每天销售利润为1 200 元根据题意，得 (40 x)(20 2x) 1 200. 整理，得x2110，x220. 要求每件盈利不少于25 元，x220 应舍去， x 10. 答：当每件商品降价10 元时，该商店每天销售利润为1 200 元20(2018咸宁 ) 已知一元二次方程2x22x10 的两个根为x1， x2，且 x1x2，以下结论正确的选项是(D) Ax1x21 Bx1x2 1 C|x1| |x2| Dx21x11221(2018潍坊 ) 已知关于 x 的一元二次方程mx2(m 2)x m40 有两个不相等的实数根x1，x2. 假设1x11x2 4m ，则 m的值是 (A) A2 B 1 C2 或 1 D不存在22(2018泰州 ) 已知 x1，x2是关于 x 的方程 x2 ax2 0 的两根，以下结论一定正确的选项是(A) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 Ax1x2Bx1x20 Cx1x20 Dx10，x20 23(2018包头 ) 已知关于x 的一元二次方程x22xm 2 0 有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为 (B) A6 B5 C4 D3 24(2018 孝感 ) 已知关于 x 的一元二次方程(x 3)(x 2)p(p 1) (1) 试证明：无论p 取何值，此方程总有两个实数根；(2) 假设原方程的两根x1，x2，满足 x21x22 x1x23p21，求 p 的值解： (1) 证明：原方程可变形为x2 5x6 p2p0. ( 5)24(6 p2p) 25244p24p4p24p1(2p 1)20，无论 p 取何值，此方程总有两个实数根(2) 原方程的两根为x1，x2，x1x25， x1x2 6p2p. 又x21x22x1x23p2 1，(x1x2)23x1x23p21. 523(6 p2p) 3p2 1. 25 183p23p3p21. 3p 6. p 2. 25(2018嘉兴 ) 欧几里得的原本记载，形如x2axb2的方程的图解法是：画RtABC ，使 ACB 90， BCa2，AC b，再在斜边AB上截取 BD a2. 则该方程的一个正根是(B) AAC的长BAD 的长C BC的长DCD的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页