正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理一、三角形中的各种关系设的三边分别是，与之对应的三个角分别是.则有如下关系：1、三内角关系三角形中三内角之和为（三角形内角和定理），即，；2、边与边的关系三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边,即；3、边与角的关系（1）正弦定理三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即（这里，为外接圆的半径）.注1：（I）正弦定理的证明：在中，设,证明：（这里，为外接圆的半径）证：法一（平面几何法）：在中 ，作，垂足为则在中，；在中， 即同理可证： 于是有作的外接圆O，设其半径为连接并延长，则可得到O的直径，连接因为在圆中，直径所对的圆周角是直角所以于是在中，又因为在同一圆中，同弧所对的圆周角相等所以故（这里，为外接圆的半径） 法二（平面向量法）（）正弦定理的意义：正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系. （）正弦定理适用的范围：（i）已知三角形的两角及一边，解三角形； （ii）已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形； （iii）运用解决角之间的转换关系. 注2：正弦定理的一些变式：（i）；（ii）；（iii）.注3：已知三角形是确定的，则在运用正弦定理解该三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两条边和其中一条边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解是不确定的，此时可结合平面几何作图的方法、“大边对大角，大角对大边”定理及三角形内角和定理解决问题.例1. 中，分别为角的对边，若，则=.例2. 中，角的对边分别为，则.例3.在中，求和例4. 在中，已知,则.例5.已知中，角所对的边分别是，若,则一定是（）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形（2）余弦定理三角形中任意一条边的平方等于其他两条边平方的和减去这两条边与它们夹角的余弦的乘积的2倍，即，.注1：（I）余弦定理的证明：法一（平面几何法）在中 ，作，垂足为则在中，； 在中，由勾股定理有 于是有同理可证：，.法二（平面向量法）（）余弦定理的意义：余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当结合其它知识，则使用起来更为方便、灵活。（）余弦定理适用的范围：（）已知三角形的三条边，可求出其三个内角；（）已知三角形的两条边及它们之间的夹角，可求出其第三条边； （）已知三角形的两条边及其中一条边所对应的角，可求出其另两个角及第三条边.注2：余弦定理的变式：；;注3：常选用余弦定理判定三角形的形状；注4：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.例1. 在中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.例2.如下图所示，在四边形ABCD中，已知,，,求的长.例3. 在中，已知，则()A. B. C. D. （3）面积公式： （i）常规方法：；（ii）三角函数法：；（iii）海伦公式：.这里，为边的高线；为周长的一半，即；为内切圆的半径.例1. 在中，若已知三边为连续的正整数，且最大角为钝角.（1）求该最大角；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.（参考数据：）例2. 在中，内角对应的边分别是，已知.(1)若，且为钝角，求内角A与C的大小；（2）若，求面积的最大值.二、关于三角形内角的常用三角恒等式由三角形内角和定理：，有由此可得到：,；又，于是得到：，.三、三角形的度量问题：即所谓的求边、角、周长、面积、圆半径等问题（1）求角角边的适用定理是正弦定理；（2）求边边角的适用定理是正弦定理或余弦定理；（3）求边边边、边角边的适用定理是余弦定理.注：在解决“边边角” 类型的题目时，若利用正弦定理求角，则应判定三角形的个数：假定：，若，则有一解；若，则当时，有两解；当时，有一解；当时，无解；假定：，若，则有一解；，则无解.四、三角形形状的判定方法（1）角的判定；（2）边的判定；（3）综合判定；（4）余弦定理判定.注：余弦定理判定法：若是的最大边，则：是锐角三角形；是钝角三角形；是直角三角形.注：关于锐角三角形有以下等价结论：三角形是锐角三角形三内角都是锐角任意两角和都是钝角三内角的余弦值均为正值任意两条边的平方和都大于第三边的平方.五、高考真题整理1.设的三内角的对边分别为，若，则（）A. B. C. D. 2.如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值是（）A. B. C. D. 3.在中，角所对的边分别为，若，则_.4、在中，边上的高等于，则_.5、的内角，的对边分别为，. 若，则_. 6、已知的三边长分别为，则该三角形的外接圆半径等于_.7、在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.8、在中，内角对应的边分别为，已知.（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积.9、设函数（）.（1）求函数的单调区间；（2）在锐角中，角，所对应的边分别为，. 若，求面积的最大值. 10、已知向量，函数.（1）试求函数的单调递增区间；（2）若的三个内角，所对应的边分别为，内角满足，且，试求面积的最大值.11、在中，角，所对应的边分别为，且，.（1）求；（2）求的周长.12、设三个内角，所对的边分别为，. 已知，.（1） 求角的大小；NPDCBAM（2） 如图所示，在的外角内取一点，使得. 过点分别作直线、的垂线，垂足分别是、. 设，求的最大值及此时的取值.13、的内角的对边分别为. 已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长. 14、在中，.（1）求的大小；（2）求的最大值.15、的内角，所对的边分别为，. 已知向量与平行.（1）求；（2）若，求的面积.16、如图，已知扇形的圆心角，半径为，若点是上一动点（不与点，重合）（1）若弦，求的长；（2）求四边形面积的最大值【解析】（1）在中，由余弦定理，有于是的长为（2）设，则于是四边形的面积又故当，即时，四边形的面积最大，且最大值为17、在ABC中，若，求的最大值.【解析】（法一）由余弦定理，有又由三角形三边关系，有：，即故当，即时，最大，且（法二）于是由海伦公式，有：又由三角形三边关系，有：，即故当，即时，最大，且