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第一、填空题组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件。1. 函数fx-!,x2=xjx22-4浓25在XQ=2点处的梯度为12，海赛矩阵40目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，同时必须是设计变量的。2. 建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。3. 约束条件的尺度变换常称规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。最速下降法以_负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较慢。4. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是ifXo=0必要条件是该点处的海赛矩阵正定拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无约束优化问题，这种方法又被称为升维法。10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，另外应当尽量减少。.目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。14.数学规划法的迭代公式是XkXk*kdl，其核心是建立搜索方向,和计算最佳步长15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。1 二、名词解释凸规划对于约束优化问题minfXstgj(X)兰0(j=1,2,3,m)若fX、gjX(j=1,2,3,m)都为凸函数，贝U称此问题为凸规划。可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。设计空间：n个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合可靠度收敛性是指某种迭代程序产生的序列x*(k=0,1，卩收敛于kiX=X*非劣解：是指若有m个目标fXi=1,2,m，当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个X,使得另一个目标函数值fiX比fiX”，则将此X”为非劣解。黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。5. 可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。维修度略三、简答题什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？1)内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，1 它是由小到大，且趋近于：的数列。惩罚因子按下式递增rk=crk(k=1,2,)，式中c为惩罚因子的递增系数，通常取c=510共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。.对于二次函数，fXXtGXbTXc,从Xk点出发，沿G的某一共轭方2向dk作一维搜索，到达xk1点，则xk1点处的搜索方向dj应满足dj丁gk.i-gkl=o，即终点xk1与始点xk的梯度之差g-i-gk与dk的共轭方向dj正交。2 为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。略5算法的收敛准则由哪些？试简单说明。略6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。略7.简述随机方向法的基本思路答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。计算题1试用牛顿法求fX=8x15X22的最优解，设X0=10101T初始点为X0=1010T，则初始点处的函数值和梯度分别为沿梯度方向进行一维搜索，有fX0=1700ifX0二16x14X2_200，4x110x2|(140XX0=_10-：020010-200：140*01480一：0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件fX1二minfX0YfX01a-min810-200：。2410-200：。10-140：。510-140：0耳a二minxaf河=1060000：0-59600=0，59600从而算出一维搜索最佳步长:二二0.05622641060000则第一次迭代设计点位置和函数值X1严280=1.245283010-14g0_2.1283019一fX1=24.4528302，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。202、试用黄金分割法求函数f-20的极小点和极小值，设搜索区间aa,-0.2,11（迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间！a,bl-0.2,11,首先插入两点r和2，由式：=b-（ba-1o.618=10.20.5056：2二a，(ba0.20.-61810.20.6944计算相应插入点的函数值f-=40.0626,f：2=29.4962。因为f冷.f：-2o所以消去区间la-i1,得到新的搜索区间!：-i,bl,即l：-i,-a,bl-0.5056,11。第一次迭代：插入点冷=0.6944,：2=0.50560.618（仁0.5056）=0.8111相应插入点的函数值f：,=29.4962,f：2=25.4690,由于ff：2，故消去所以消去区间a,，得到新的搜索区间l,b1,则形成新的搜索区间、1,bl-a,bl-0.6944,1】。至此完成第一次迭代,继续重复迭代过程，最终可得到极小点。3.用牛顿法求目标函数fX=16人225x；+5的极小点，设X-122。解：由X0-122T，则IfX0=-2l2fX0二-2X1-2；：2f-X-X2?2f32032I50因此可得：x1=x.x132X164”50x2I100一逆矩阵为10132y0150一100一P2f(x)1可(x)=0T,fX=520fm:二亠一的极小值的计算过程，请完成CtfX11=5，从而经过一次迭代即求得极小点X”-04.下表是用黄金分割法求目标函数迭代序号aa1a2by1比较y200.211迭代序号a12by1比较y200.20.50560.6944140.062629.496210.50560.69440.8111129.496225.46905、求二元函数f(Xi,X2)=Xi2+X22-4Xi-2X2+5在xo=00T处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模lhf(Xo)ll。求f(Xl,X2)在X0点处的梯度方向和数值，计算如下:Vf(Xo)=2X12X2-4_一-4_2一Xo_2-irf(Xo)ii=22=.(一4)(-2)=2.54丨W(Xo)_-2_罷|7f(Xo)l2亦|_Xl.亦在为-x2平面上画出函数等值线和Xo(0,0)点处的梯度方向P,如图2-1所示。从图中可以看出，在Xo点函数变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。6、用共轭梯度法求二次函数解：取初始点x0=1iTg。、f(x0)2xi-2x24-414x2-2xi2.取沿d0方向进行一维搜索，得/I!-2一1-2叽d0=1:o其中的,0为最佳步长可通过f(X1)=minWiCo)=O求得则X1为建立第二个共轭方向1二；2：2112d1,需计算x1点处的梯度及系数-0值，得g1=f（x1）.4X2-2X1一x1厂2一ag0220从而求得第二个共轭方向再沿d1进行一维搜索，得_21_211+13.2一1一2一21x=x+-：d1=冷122：其中的:1为最佳步长，通过求得f(X2)=min：2(：),2(冷)=0Ct二1=1则X2=计算X2点处的梯度一2_211+a1312.22宀J222g2=If(X)2x12x244X2-2x,*说明X2点满足极值必要条件，再根据X2点的海赛矩阵G(x2)=-2-214是正定的，可知X2满足极值充分必要条件。故X2为极小点，即而函数极小值为f(x*)=-8。7、求约束优化问题22Minf(x)=(x1-2)+(X2-1)s.t.h(x)=xi+2x2-2=0的最优解？解：该问题的约束最优解为x*=1.60.2T,f(x*)=0.8。*由图4-1a可知，约束最优点x为目标函数等值线与等式约束函数(直线)的切点。用间接解法求解时，可取丄2=0.8，转换后的新目标函数为(x,W(X1-2)2(X2-1)20.8(X12x2-2)可以用解析法求min(xl2)，即令=0，得到方程组2(捲-2)0.8=0x1C*丄2(x2-1)1.6=0:x2解此方程组，求得的无约束最优解为：X*二1.60.2T(x*,2)=0.8其结果和原约束最优解相同。图4-1b表示出最优点x为新目标函数等值线族的中心。图4-1a）目标函数等值线和约束函数关系b）新目标函数等值线
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