第二章求下列函数的拉氏变换 数学练习题

第二章2.1求下列函数的拉氏变换（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） 2.2 （1）由终值定理： （2） 由拉斯反变换： 所以 2.3（1） (2) , 2.4解：2.5求下列函数的拉氏反变换（1） （2）（3） （4）（5） （6）2.6（1） （2）2.7（1） （2）2.8 解 水的流量Q1由调节控制阀的开度控制，流出量Q2则根据需要可通过负载阀来改变，被调量H反映了。水的流入与流出之间的平衡关系。 设为输入水流量的稳态值，为其增量;输出水流量的稳态值，为其增量;A为水槽底面积；为负载阀的阻力(即液阻)。在正常运行时处于平衡状态，即，。当调节控制阀的开度时，使液位随之变化。在流出端负载阀开度不变的情况下，液位的变化将是流出量改变流出量与液位高度的关系。 ， (2-1) ， (2-2)将式(2-1)代入式(2-2)，得 ， (2-3)所以 。其中，.由式(2-1)也可得 , 。水流量(式子中，v为水的体积；H为水位高度；A为容器底面积)由上式有 H(t)= 对上式进行拉氏变换并整理得2.9（a）( b)2.10 解，系统框图如图所示：传递函数为2.11 当只有R(s)作用，且N(s)=0时 当只有N(s)作用，且R(s)=0时2.12 (1)以R(s)为输入，当N(s)=0时，当以C(s)为输出时，有当以Y(s)为输出时，有当以B(s)为输出时，有当以E(s)为输出时，有(2)以N(s)为输入，当R(s)=0时当以C(s)为输出时，有当以Y(s)为输出时，有当以B(s)为输出时，有当以E(s)为输出时，有2.13 2.14 2.15 2.16 （a）,(b),4个单独回路：,4对回路互不接触：;一对三个互不接触回路：，G(s)=2.17解:由于在单位阶跃输入时,有 所以第三章3.1略3.2略3.3略3.4解：该系统的微分方程为：，。传递函数为（1）单位阶跃响应，（2）单位脉冲响应：（3）单位斜坡响应：3.5由拉斯变换得: 单位脉冲响应为：单位阶跃响应为：比较c(t)和h(t)可得，3.6 解：闭环传递函数函数为：得，3.7解：，当时，则，当时，则，将代入验算，得，3.8 解(1)由二阶系统的极点,可以得到 。由上述公式，可得到 ,因而有 ，。 系统闭环传递函数可写为 。(2)上述系统对应的动态响应指标为 ， ， ， ， 3.9解 (1)对系统输出作拉普拉斯变换，可得到系统输出为 。系统输入为单位阶跃输入，则 因而，系统闭环传递函数表达式为。(2)二阶系统标准形式为 ,特征多项式为。因而 . 系统阻尼比和无阻尼自然振荡频率分别为 3.10 则， 又， 所以， 而， 所以 3.11 解：系统闭环传递函数为：令 1 2 3 k k由于系统处于稳定状态，则有：，得0k63.12 由系统特征方程可排出劳斯表如下：s 1 8 20 16s 2 12 16 s 1 6 8 辅助方程：s+6s+8=0，s 0 0 求导：4s+12s=0 4 12s 3 8s 4/3 s 8由劳斯表可知，第一列元素不变号，所以无右半s平面的根。但劳斯表有一行全部为， 因此存在对称根。解辅助方程是，得 ，。系统有两对虚根，处于临界稳定。3.13 解 (1)由系统特征方程可排出劳斯表如下：s 1 10 Ks 22 2 s 9.9 Ks 2-2.2K s K由劳斯表可知，要满足系统稳定性条件，必须第一列元素全部大于零，因而有解上述不等式方程，可以得到系统闭环稳定的条件为。(2)由系统特征方程可排出劳斯表如下：s 0.1 1s 1 Ks 1 - 0.1Ks K由劳斯表可知，要使系统稳定，必须第一列元素全部大于零，因而有解上述不等式方程，可以得到系统闭环稳定的条件为。3.14 解(1)系统的闭环特征方程为 由此可排出劳斯表如下： s 2 -3 S 1 10 s -23 s 10 由劳斯表可见，第一列元素变号两次，有两个根在右半s平面上，系统闭环不稳定。 (2)系统的闭环特征方程为: 注：闭环特征方程求解过程如下： 其分母为零既是特征方程 由此可排出劳斯表如下： s 1 -2 s 1 0 s -2 由劳斯表可见，第一列元素变号一次，有一个根在右半s平面上，系统闭环不稳定。 (3)系统的闭环特征方程为 s+4s+3s+12=0。 由此可排出劳斯表如下： s 1 3 s 4 12 s s 12由劳斯表可知，第一列元素不变号，所以无右半s平面的根。但是劳斯表有一行为0，因而存在对称根。解辅助方程4s+12=0，得 s=j。系统有一对虚根，处于临界稳定。3.15 解：由于是单位反馈系统，且该系统为型系统，归一化有， 其增益为 K/5;在斜坡函数输入时， K=5003.16 解：先求当R(s)=0, ,即N(s)单独用下的稳态误差。在干扰作用下的输出为 由干扰产生的误差为 所以 所以该误差的稳态值为 再求当, N(s)=0时，即R(s)单独作用下的稳态误差。输入作用下的传递函数为 输入作用下的误差 则误差的稳态值为 根据线性系统叠加原理 3.17解:开环增益，K=100，,系统为型=0+0.04+=因为该系统为单位反馈系统，所以3.18 由于是单位反馈系统，所以（1） k=10, r(t)=1时，= r(t)=t时， r(t)=时，（2）k=, r(t)=1时，=0 r(t)=t时， r(t)=时, (3) k=8, r(t)=1时，=0 r(t)=t时， r(t)=时, 第四章4.2解：（1）幅频：相频：（2）幅频：相频：4.3 解：(1)当N=1时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-3(a)所示。当N=2时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-3(b)所示。 幅相频率特性 对数频率特性 一个积分环节 幅相频率特性 对数频率特性（a） 两个积分环节图 4-3 幅频相频特性图(2)转折频率。当时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-4(a)所示。当时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-4所示。 幅相频率特性 对数频率特性 (a)惯性环节(b)不稳定的惯性环节 图 4-4 幅频相频特性图(3) 201gK=20lg10=20dB当N=1时，G(s)=10s,对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-5(a)所示。当N=2时，G(s)=10，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-5(b)所示。 幅相频率特性 对数频率特性 (a)一个微分环节 幅相频率特性 对数频率特性 (b)两个微分环节 图4-5 幅频相频特性图 (4)转折频率当对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-6(a)所示。当对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-6 (b)所示。 幅相频率特性 对数频率特性(a)一阶比例微分环节 幅相频率特性 对数频率特性 (b)不稳定的一阶比例微分环节 图4-6 幅频相频特性图(5)转折频率对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-7所示。 幅相频率特性 对数频率特性图 4-7 I 型二阶系统(6)转折频率对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-8所示。 幅相频率特性 对数频率特性 图4-8 二阶系统幅频相频特性曲线图(7)转折频率。对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-9所示。 幅相频率特性 对数频率特性 图4-9 具有零点的一阶系统 (8)转折频率。对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-10所示。对数频率特性 幅相频率特性 图4-10 具有零点的二阶系统(9)当时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-11(a)所示。当时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图4-11(b)所示。 幅相频率特性 对数频率特性 (a)二阶振荡环节幅相频率特性 对数频率特性(b)二阶振荡环节 图 4-11二阶系统幅频相频特性曲线图(10)转折频率 注：当由，变化趋势由对应的幅相频率特征和对数频率特征如图4-12所示。 幅相频率特性 对数频率特性 图 4-12 具有零点的二阶系统4.4 解: (1) ;这是一个I型3阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为 幅频特性为 注： 相频特性为 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 当时，有 即，。图 4-13 系统奈氏曲线图当时，。 因为,所以开环幅相频率特性从第四到第三象限变化。开环幅相频率特性与负实轴无焦点。开环幅相频率特性如图5.20所示，由到的增补特性如图中虚线所示。 可以看出，当由到时，开环幅相频率特性不包围点，所以，闭环系统是稳定的。 这也是一个I型阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为 幅频特性为 注： 相频特性为 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。当时，,。当时，。开环幅相频率特性与负实轴的交点。开环幅相频率特性与负实轴的交点满足，即 或 两边取正切 图4-14 系统的开环特性图其中 则有 解得 代入幅频特性，得 开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为(0.134，j0)。 开环幅相频率特性如图4-14所示，由0到的增补特性如图中虚线所示。可以看出，当由0到时，开环幅相频率特性不包括(-1，j0)点，所以，闭环系统是稳定的。(3)因为分母有(s-1)项，所以这是一个非常最小相位系统，开环右极点数目P=1,开环频率特性为 幅频特性为 相频特性为 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。图4-15 开环幅相频率特征当时，。 当时，。 开环幅相频率特性与负实轴的交点。开环幅相频率特性与负轴的交点满足即或 两边取正切 有 解得 代入幅频特性，得,开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为(-0.5，j0)开环幅相频率特性如图4-23所示，由0到的增补特性如图中虚线所示。由图看出，当由0到时，开环幅相频率特性不包围(-1，j0)点，所以，闭环系统是不稳定的。下接（4）4.5解： 4.6 （1）奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定 （2）奈奎斯特曲线为：奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定（3）奈奎斯特曲线不包围（-1，j0）点，所以系统稳定4.7解：(1)系统开环频率特性为 幅频特性为 相频特性为 首先绘制开环对数频率特性。 对数幅频特性 其中 20lg25=28dB,转折频率。对数频率特性如图5.23。 求相位裕量令 相位。 图4-16 对数频率特性 相位裕量。 求增益裕量令 两边取正切 有 解之，得。代入幅频特性，得 则增益裕量 。判断闭环系统的稳定性因为相位裕量 ，增益裕量 ，故闭环系统不稳定。(2)系统开环频率特征为 幅频特性为 相频特性为 首先绘制开环对数频率特性。对数幅频特性其中，转折频率，图4-17 对数频率特性 。对数频率特性如图4-17所示。求相位裕量令 相位 相位裕量 求增益裕量 令 两边取正切 有 注： 代入幅频特性，得 则增益裕量。判断闭环系统的稳定性因为相位裕量，增益裕量，故闭环系统稳定，(3)系统开环频率特性为 幅频特性为 相频特性为 首先绘制开环对数频率特性 对数幅频特性图4-18 系统的开环特性图其中，转折频率对数频率特性如图4-18所示。 求相位裕量令相位相位裕量 求增益裕量令两边取正切 有 解之 得 带入幅频特性，得则增益裕量 判断闭环系统的稳定性 因为相位裕量，增益裕量，故闭环系统稳定4.8 幅频特性： 相频特性： 令，计算得 令 则；故 该系统是稳定的。 4.9解：系统开环传递函数为：令 ，则 ，令 ，则 ，因为 ， 所以系统稳定4.10 解：；令，则， ， 有公式可得 =1.84该系统可近似为二阶系统， 则第五章5.3解：（1）令，则， ， 令，则， ， (2)令，则， ， 令，则， ， 超前系统的稳定性得到明显改善，同时r增大，增大。5.4解：由于该系统为型，所以=，；未校正系统的开环频率特性为：, 则根据相位裕度的要求校正网络的相位超前角：相位超前校正环节在处的幅值为：为校正后的系统的剪切频率，校正后系统开环对数幅值比为0dB,T=0.36s校正环节的传递函数为：为了补偿相位超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须增加附加放大器，使其放大倍数为3.71，那么校正后的传递函数为：5.5 解：未校正时， 不符合题意。根据相位裕度要求重新选择，使得在处原系统的相位滞后量为：又校正网络零点转角频率 因远低于已校正的剪切频率，应选取T=67.19s所以校正环节传递函数为校正后的系统的传递函数为：5.6解：未校正时， 令 ， 不小于10dB符合题意。只要串联超前校正环节即可。相位超前校正环节在处的幅值为：为校正后的系统的剪切频率，校正后系统开环对数幅值比为0dB,T=0.215s校正环节的传递函数为：那么校正后的传递函数为：5.7解：其频率特性为：5.8解：