计量经济学非线性模型课件

计量经济学计量经济学非线性模型1第四章 非线性模型计量经济学计量经济学非线性模型2eKALY 在实际分析过程中经常研究两类非线性模型; 1.被解释变量与解释变量之间非线性，而被解释变量和参数仍为线性关系； 如iiiXbbY102.被解释变量和解释变量之间非线性，而被解释变量和参数之间也是非线性关系如柯布道格拉斯生产函数计量经济学计量经济学非线性模型3 对非线性回归模型，可以用一定的方法把它们转化为线性模型，然后利用线性回归的理论和方法来进一步研究模型的性质。对非线性回归模型进行线性化处理主要有三种方法：直接代换法、间接代换法和泰勒级数法。前两种方法主要针对可以线性化的模型，而泰勒级数法主要针对不能线性化的模型。我们主要介绍直接代换法和间接代换法。计量经济学计量经济学非线性模型44.1 直接代换法 适用范围：被解释变量和解释变量非线性，被解释变量与参数线性的非线性模型。下面介绍在研究现实经济问题中常见的这类非线性模型：多项式模型、双曲线模型和对数模型。计量经济学计量经济学非线性模型52012kikiYbb Xb Xb X), 2 , 1(kiXZii令4.1.1 多项式模型多项式模型的一般形式：转换过程：01122ikkiYbb Zb Zb Z则原多项式模型转换为我们就可以用多元线性回归的方法来分析转换后的线性模型。计量经济学计量经济学非线性模型6例4.1 产品总成本模型已知某行业中10家企业的总产量X和总成本的有关资料：总成本Y(万元)总产量X(万吨)19.31022.620243024.44025.750266027.47029.780359042100绘制总成本和总产量的散点图，可以看出它们呈现曲线变化趋势计量经济学计量经济学非线性模型7 根据经济学中的边际成本的U曲线理论，用产量X的三次多项式来近似表示总成本函数230123iiYbb Xb Xb X) 3 , 2 , 1( iXZii令则原模型转换为0112233iiYbbZb Zb Z 利用已知的数据，对上面的三元线性回归模型进行估计，可得到下面的结果计量经济学计量经济学非线性模型832100009. 00130. 06348. 01767.14ZZZYi或3200009. 00130. 06348. 01767.14XXXYit(13.2837)(-13.1501)(15.8968)9984. 02R计量经济学计量经济学非线性模型94.1.2 双曲线模型iiiXbbY10iiXZ1令一般形式：转换：iiiZbbY10则模型转换为一元线性回归模型计量经济学计量经济学非线性模型10双曲线模型的特点：双曲线模型的特点：随着自变量增大，因变量逐渐接近其渐近线0, 01,bYXXiii0bYi即:,10型有下面三种形状符号的变化，双曲线模随着bb计量经济学计量经济学非线性模型110, 0. 110bb0, 01,bYXXiii因变量逐渐减小，向下接近其渐近线0bYiXY0bYi计量经济学计量经济学非线性模型12例4.2 销售额与流通费用率的关系 已知某地区百货公司销售额X与流通费用率Y之间的数据销售额X(万元)流通费用率Y(%)1.574.54.87.53.610.23.115.52.716.52.519.52.422.52.325.52.2计量经济学计量经济学非线性模型13 观察商品流通费用率和销售额的散点图，明显发现它们呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型，利用表中数据进行回归，有下面结果：iiXY6040. 72361. 2t(10.1313)9362. 02R计量经济学计量经济学非线性模型140, 0. 210bb0, 01,bYXXiii因变量逐渐增大，向上接近其渐近线0bYiXY0bYi01bbX计量经济学计量经济学非线性模型15 已知某病毒感染率和时间变化相关的数据如下ty10.1220.0730.1640.1150.2160.2170.2580.390.39100.33110.3120.34130.49140.35150.56160.62170.54180.58190.57T20100Y.7.6.5.4.3.2.10.0计量经济学计量经济学非线性模型16 观察病毒感染率和时间变化的散点图，明显发现它们呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型，利用表中数据进行回归，有下面结果：iiXY4971. 0435. 0t(-3.475)415. 02R计量经济学计量经济学非线性模型170, 0. 310bb0, 01,bYXXiii因变量逐渐减小，向下接近其渐近线0bYiXY0bYi01bbX曲线与横坐标有交点01bbX交点左侧曲线斜率系数大于交点右侧曲线的斜率系数计量经济学计量经济学非线性模型18年份通货膨胀率Y(%)失业率X(%)19860.62.819870.12.819880.72.519892.32.319903.12.119913.32.119921.62.219931.32.519940.72.91995-0.13.2例4.4 菲利普斯曲线已知某地区通货膨胀率和失业率的数据计量经济学计量经济学非线性模型19 使用双曲线函数，利用已知数据进行回归，有下面结果iiXY1338.193190. 6t(6.8799)8554. 02R计量经济学计量经济学非线性模型204.1.3 对数模型1.线性对数模型iiiXbbYln10转换：iiXXln令iiiXbbY10则XXYXdXdYXddYb/ln1注意斜率系数斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的绝对变化计量经济学计量经济学非线性模型21 在研究宏观经济问题时，经济学家对货币供给与国民生产总值的关系非常感兴趣，他们经常使用线性对数模型来研究货币供给和国民生产总值的关系年份国民生产总值Y货币供给X19881359.386119891472.8908.519901598.41023.219911782.81163.719921990.51286.719932249.7138919942508.21500.2199527231633.119963052.61795.519973166195419983405.72185.219993772.22363.620004014.92562.620014240.32807.720024526.72901计量经济学计量经济学非线性模型22 利用表中数据，使用线性对数模型，得到下面回归结果iiXYln785.258421.16329t(27.4856)9831. 02R785.25841b表明货币供给增加一个百分点，国民生产总值平均增加2584.785亿元计量经济学计量经济学非线性模型23 2.对数线性模型iiiXbbY10ln转换：iiYYln令iiiXbbY10XYYdXYdYdXYdb/ln1则斜率系数此时斜率系数表明了自变量X的绝对变化引起因变量的相对变化计量经济学计量经济学非线性模型24 在宏观经济问题中，经济学家也经常关注国民生产总值诸如此类的经济变量随时间变化增长的问题，他们经常使用对数线性模型年份国民生产总值Y19881359.319891472.819901598.419911782.819921990.519932249.719942508.21995272319963052.61997316619983405.719993772.220004014.920014240.320024526.7计量经济学计量经济学非线性模型25 利用表中数据，使用对数线性模型，得到下面回归结果iiXY0888. 01527. 7lnt（35.6223）9299. 02R0888. 01b表明时间每增加一年，国民生产总值平均增加0.0888个百分点，也就是说国民生产总值的年平均增长率为0.0888%计量经济学计量经济学非线性模型26 3.双对数模型iiiXbbYlnln10转换iiiiXXYYln,ln令iiiXbbY10 xxyyxdxydyxdydb/lnln1此时斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的相对变化计量经济学计量经济学非线性模型27 在研究产品的价格弹性和需求弹性时经常使用双对数模型咖啡消费量Y(每日每人杯数)咖啡价格X(每磅美元)2.570.772.50.742.350.722.30.732.250.762.20.752.111.081.941.811.971.392.061.22.021.17计量经济学计量经济学非线性模型28 利用表中数据，使用双对数线性模型，得到下面回归结果iiXYln2530. 07774. 0lnt(-5.1251)7448. 02R2530. 01b表明自变量即咖啡价格增加1%,因变量咖啡需求量平均减少约0.25，也即咖啡的价格弹性为0.25%计量经济学计量经济学非线性模型294.2 间接代换法 以柯布道格拉斯生产函数为例eKALY 函数两端取对数，有KLAYlnlnlnlnKKLLAAYYln,ln,ln,ln设KLAY则转换为二元线性方程LLYYLLYY/KKYYKKYY/计量经济学计量经济学非线性模型30ykllny lnklnl3289.1800 2225.7000 3139.0000 8.0984 7.7078 8.0517 3581.2600 2376.3400 3208.0000 8.1835 7.7733 8.0734 3782.1700 2522.8100 3334.0000 8.2381 7.8331 8.1119 3877.8600 2700.9000 3488.0000 8.2630 7.9013 8.1571 4151.2500 2902.1900 3582.0000 8.3312 7.9732 8.1837 4541.0500 3141.7600 3632.0000 8.4209 8.0525 8.1975 4946.1100 3350.9500 3669.0000 8.5064 8.1170 8.2077 5586.1400 3835.7900 3815.0000 8.6280 8.2521 8.2467 5931.3600 4302.2500 3955.0000 8.6880 8.3669 8.2827 6601.6000 4786.0500 4086.0000 8.7951 8.4735 8.3153 7434.0600 5251.9000 4229.0000 8.9138 8.5663 8.3497 7721.0100 5808.7100 4273.0000 8.9517 8.6671 8.3601 7949.5500 6365.7900 4364.0000 8.9809 8.7587 8.3811 8634.8000 7071.3500 4472.0000 9.0636 8.8638 8.4056 9705.5200 7757.2500 4521.0000 9.1805 8.9564 8.4165 10261.6500 8628.7700 4498.0000 9.2362 9.0629 8.4114 10928.6600 9374.3400 4545.0000 9.2991 9.1457 8.4218 计量经济学计量经济学非线性模型31 利用课本P37页数据，采用柯布道格拉斯生产函数，得到下面回归结果KLYiln6737. 0ln6045. 09513. 1lnt(2.2166)(9.3101)9958. 02R计量经济学计量经济学非线性模型32迭代法进行非线性模型估计 有些非线性模型没有办法通过直接变换或者间接转换法转化为线性模型 ，此时可以采用高斯牛顿迭代法来进行参数估计。iiiXfY,对于模型为随机误差项的未知参数向量，为为实值函数，其中iikXf1,方和最小化的值估计量是使得残差的平的非线性最小二乘)(NLS 21;niiinnXfYQQ（1）计量经济学计量经济学非线性模型33 在一般情况下，NLS估计量是一致的，并渐近服从正态分布，但是一般不能从上面的公式中显性求出参数估计值，只能从参数的某一初始值 开始，经过反复迭代，得到一个估计序列 ，此序列讲收敛与NLS估计量 。 高斯牛顿迭代公式为： 1 j 11111111jjjjiiniiiniijjfYfff 处的值在为次迭代解，为第其中，jijijXffj; 时的偏导数向量在为jiiiifXfXffjj;（2）计量经济学计量经济学非线性模型34 线性近似得到处进行泰勒展开，再取在式通过对1)2(if 111jijiijfff（3） 式求极小值，就可以得到关于式，对式带入把)2() 1 ()3(nG .1小于某个预定标准为止直到高斯牛顿法反复迭代jj 如果初始估计值是一致的，进一步的迭代不会提高其渐近有效性，但在有限样本情况下，将反复迭代直到其收敛为止。欧式距离。表示某种距离测度，如其中计量经济学计量经济学非线性模型35销售额与广告收入的模型 已知某公司销售额和广告投入之间的数据，绘制它们的散点图，可以发现它们之间呈现非线性变化趋势。假设它们之间的函数可以用下式表达iXbiebbY210计量经济学计量经济学非线性模型36xy4.6912.236.4111.845.4712.253.4311.14.3910.972.158.751.547.752.6710.51.246.711.777.64.4612.461.838.475.1512.275.2512.571.728.873.0411.154.9211.864.8511.073.1310.382.298.714.912.075.7512.743.619.824.6211.51计量经济学计量经济学非线性模型3733. 1, 6,13210bbb设定待估参数的初始值在Eviews命令输入区域依次输入：Genr c(1)=13Genr c(2)=-6Genr c(3)=-1.33在 Equation Estimation对话框中的Specification文本框中键入：y=c(1)+c(2)*exp(c(3)*x)，点击确定按钮，输出迭代法估计的非线性模型结果：计量经济学计量经济学非线性模型38从而可以写出方程表达式：iXieY4928. 02380.119161.12计量经济学计量经济学非线性模型39本章练习题将下列模型进行适当变换,转化为标准线性回归模型: 221011)1(XbXbbYXbbeY10)2(XbbeY1011)3( XebbY101)4(eKLrAYt)1 ()5(0计量经济学计量经济学非线性模型40221011) 1 (XbXbbY22111XZ,XZ令,ZbZbbY22110则原模型已线性化计量经济学计量经济学非线性模型41两边取对数得：XbbYln10YlnY*令XbbY*10则原模型已线性化两边取倒数得：XbbeY1011XbbeY1011移项得：XbbeY10)2(XbbeY1011)3(计量经济学计量经济学非线性模型42)Yln(Y*11令XbbY*10则原模型已线性化两边取倒数得：XebbY101*X*Xe ,YY1令*XbbY10则原模型已线性化两边取对数得：Xbb)Yln(1011 XebbY101)4(计量经济学计量经济学非线性模型43两边取对数得：KlnLln)rln(tAlnYln10KlnK,LlnL),rln(r ,AlnA,YlnY*100令*KLrtAY0原模型已线性化eKLrAYt)1 ()5(0