北师大新版八年级上册《第1章勾股定理》单元测试卷3含答案解析

北师大新版八年级数学上册第 1章 勾股定理单元测试卷2一、选择题（每小题 3分，共30分）1.如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（A. 2 B. 3 C. 4 D. 51,则正方形ACEF的面积为（3 .三角形的三边长为 a, b, c,且满足（a+b） 2=c2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形3： 4,则较短直角边的长为（4 .已知直角三角形的斜边长为10,两直角边的比为A. 3 B. 6 C. 8 D. 55. BC中，加，出，工的对边分别记为 a, b, c,由下列条件不能判定 小BC为直角三 角形的是（）A. a+BZCB. A 出 1： 2： 3C. a2=c2 - b2 d . a： b： c=3: 4： 66 .若直角三角形的三边长为6, 8, m,则m2的值为（）A. 10 B. 100 c. 28 D. 100 或 287 .在RtABC中，ZC=90, AC=9 , BC=12 ,则点C到斜边 AB的距离是（）3&门2A.B- -T C- 9D. 65b8 .如图，在 RtABC中，ZB=90 ,以AC为直径的圆恰好过点 B, AB=8 , BC=6 ,则阴影 部分的面积是（）C. 25 l 24 D. 25 l 48A. IOOtt- 24B. IOOtt 489 .如图所示为一种 羊头”形图案，其作法是：从正方形 开始，以它的一边为斜边，向外 作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和，依此类推,若正方形的面积为64,则正方形的面积为（）A. 2 B, 4 C, 8 D. 1610 .勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书周髀算经中就有 若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， 也AC=90 , AB=3 , AC=4，点D, E, F, G, H, I者B在矩形KLMJ的边上，则矩形 KLMJ的面积为（）A. 90 B. 100 C. 110 D. 121二、填空题（每小题 4分，共20分）11 .如图字母B所代表的正方形的面积是:12 .等腰 ABC的腰长AB为10cm,底边BC为16cm,则底边上的高为 13 .一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以 30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km.14 .如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是15 .如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm.三、解答题（共50分）16.如图所示， 出=8AF=90 ,BO=3cm , AB=4cm , AF=12cm ,求图中半圆的面积.17 .如图，在 RtBC 中，&=90,AC=8,在必BE 中，DE 是 AB 边上的高，DE=12 , SXbe=60 , 求BC的长.18 .如图所示的一块地，AD=12m , CD=9m,必DC=90 , AB=39m , BC=36m ,求这块地的19 .如图，一艘货轮在 B处向正东方向航行，船速为 25n mile/h,此时，一艘快艇在 B的正 南方向120n mile的A处，以65n mile/h的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要 多少时间？20 .如图，将长方形 ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E.(1)试判断ZBDE的形状，并说明理由；(2)若 AB=4, AD=8 ,求 ZBDE 的面积.21 .如图，必BC是直角三角形， 出AC=90。，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且DE组F.(1)如图 1,试说明 BE2+CF2=EF2;2 ）如图2，若AB=AC ，BE=12 ， CF=5 ，求 DEF 的面积北师大新版八年级数学上册第 1旗 勾股定理单元测试卷、选择题（每小题 3分，共30分）1.如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（）A. 5cm2 B. 3cm2 C. 4cm2 D. 6cm2【考点】几何体的表面积；勾股定理.【分析】根据勾股定理先求出斜边的长度,再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积.【解答】解：Qi率2=5厘米,/带阴影的矢I形面积=5M=5平方厘米.故选A .【点评】本题考查了勾股定理和长方形的面积公式.2.如图，正方形 ABCD的边长为1,则正方形 ACEF的面积为（A. 2 B, 3 C. 4 D, 5【考点】算术平方根.【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案.AC= AB4-BcM12+12=V2，【解答】解：由勾股定理，得乘方，得（血）2=2, 故选：A.【点评】 本题考查了算术平方根，先求出 AC的长，再求出正方形的面积.3.三角形的三边长为 a, b, c,且满足（a+b） 2=c2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理.【分析】对等式进行整理，再判断其形状.【解答】解：化简（a+b） 2=c2+2ab,得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故选：C.本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定4已知直角三角形的斜边长为10 ，两直角边的比为3： 4，则较短直角边的长为 ()A 3 B 6 C 8 D 5【考点】勾股定理【分析】根据两边的比值设出未知数列出方程组解之即可【解答】解：设两直角边分别为3x ， 4x由勾股定理得( 3x) 2+ (4x) 2=100解得 x=2 ,则 3x=3 2=6, 4x=4 2=8 . 直角三角形的两直角边的长分别为6 ， 8较短直角边的长为 6故选： B【点评】 本题考查了勾股定理的应用 勾股定理： 在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方5. zABC中，zA,加，ZC的对边分别记为a, b, c,由下列条件不能判定 第BC为直角三角形的是 ()A,必+也=3B.旭：&=1： 2： 3C. a2=c2 - b2 D. a： b： c=3： 4： 6【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可【解答】 解：A、必+ZB=ZC,又ZA+ZB+ZC=180,则3=90 ,是直角三角形；B、必：ZB： ZC=1： 2： 3,又 A+ZB+H=180,则&=90,是直角三角形；C、由a2=c2- b2,得a2+b2=c2,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42帮2,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.故选 D 【点评】 本题考查了直角三角形的判定， 注意在应用勾股定理的逆定理时， 应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断6若直角三角形的三边长为6， 8， m ，则m2 的值为()A 10 B 100 C 28 D 100或 28【考点】勾股定理【专题】分类讨论【分析】 分情况考虑：当8是直角边时，根据勾股定理求得m2=62+82;当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得m2=82- 62.【解答】 解： 当边长为 8 的边是直角边时，m2=62+82=100；当边长为8的边是斜边时，m2=82- 62=28；综上所述，则m2 的值为100或 28故选： D 【点评】 本题利用了勾股定理求解， 解答本题的关键是注意要分边长为 8 的边是否为斜边来讨论7.在 RtABC 中，ZC=90, AC=9 ,BC=12 ，则点 C 到斜边 AB 的距离是 (A.3&【考点】【分析】B. C, 9 D. 65勾股定理.设点C到斜边AB的距离是h,根据勾股定理求出 AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论.【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h,* RtABC 中，3=90, AC=9 , BC=12,9B=於十铲二15,Zh=12乂工3&15 =两条直角边长的平方之和【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中,定等于斜边长的平方是解答此题的关键.8.如图，在RtMBC中，ZB=90 ,以AC为直径的圆恰好过点 B, AB=8 , BC=6 ,则阴影 部分的面积是（）A. 1OOTT- 24B. 1OO 兀48 C. 25 兀24 D. 25 兀48【考点】勾股定理.【专题】计算题.【分析】先根据勾股定理求出 AC的长，进而可得出以 AC为直径的圆的面积，再根据 S阴 影=S圆-S&BC即可得出结论.【解答】 解： 于tZABC中旭=90, AB=8 , BC=6,MC=虫上二=；.-=10,必C为直径的圆的半径为 5,secCLS 阴影=S 圆Szabc=25 兀一弓 6 8=25 兀24.故选C.【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.9 .如图所示为一种 羊头”形图案，其作法是：从正方形 开始，以它的一边为斜边，向外 作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和，依此类推,若正方形的面积为64,则正方形的面积为（）A. 2 B. 4C. 8 D. 16【考点】勾股定理.【专题】规律型.【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64,则第二个正方形的面积是 32,，进而可找出规律得出第 n个正方形的面积，即可得出结果.【解答】解：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是 32;第三个正方形的面积是 16；54第n个正方形的面积是 严1,公正方形的面积是4.故选：B.【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理.解题的关键是找出 第n个正方形的面积.10 .勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书周髀算经中就有 若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系 验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， 也AC=90 , AB=3 , AC=4，点D, E, F, G, H, I者B在矩形KLMJ的边上，则矩形 KLMJ的面积为（）A. 90 B, 100 C, 110 D. 121【考点】勾股定理的证明.【专题】 常规题型；压轴题.【分析】延长AB交KF于点O,延长AC交GM于点P,可得四边形 AOLP是正方形，然 后求出正方形的边长，再求出矩形 KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即 可得解.【解答】 解：如图，延长 AB交KF于点O,延长AC交GM于点P, 所以四边形AOLP是正方形，边长 AO=AB+AC=3+4=7 ,所以 KL=3+7=10 , LM=4+7=11 , 因此矩形 KLMJ的面积为10 M1=110.故选：C.【点评】 本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键.二、填空题（每小题 4分，共20分）11 .如图字母B所代表的正方形的面积是：144.【分析】在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答.【解答】 解：如图，根据勾股定理我们可以得出：a2+b2=c2a2=25, c2=169b2=169 - 25=144因此B的面积是144.【点评】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用.只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了.12 .等腰 ABC的腰长AB为10cm,底边BC为16cm,则底边上的高为 Bcm.【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.【专题】计算题.【分析】根据题意画出图形，利用三线合一得到BD的长，在直角三角形 ABD中，利用勾股定理即可求出 AD的长.【解答】 解：如图所示，AAB=AC=10cmAD nBCz2BD=CD=在RtZABD中，根据勾股定理得:=6cm.故答案为：6cm熟练掌握勾股定理是解本题的关键.【点评】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质,13 .一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距17 km.【考点】勾股定理的应用.【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90。，根据题目中给出的半小时后和速度可以计算 AC, BC的长度，在直角 BC中，已知AC, BC可以求得AB的长.【解答】 解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90。，所以ZABC为直角三角形.在 Rt至BC 中，AC=16 0.5km=8km ,BC=30 0.5km=15km .则 AB= . , , km=17km故答案为17.【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定BC为直角三角形，并且根据勾股定理计算 AB是解题的关键.14.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是12QW3.【考点】勾股定理的应用.【分析】如图，当吸管底部在 O点时吸管在罐内部分 a最短，此时a就是圆柱形的高；当 吸管底部在A点时吸管在罐内部分 a最长，此时a可以利用勾股定理在 RtBO中即可求 出.【解答】解：如图，当吸管底部在 O点时吸管在罐内部分 a最短，此时a就是圆柱形的高，即 a=12;当吸管底部在 A点时吸管在罐内部分 a最长，即线段AB的长，在Rt9BO中，AB=E诟常=.二二13,MBa=13,所以12Q得3.故答案为：12Q司3.【点评】 本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键.15.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从 P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13cm.【考点】平面展开-最短路径问题.【专题】 几何图形问题；压轴题.【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开， 然后利用两点之间线段最短解答.【解答】解：ZPA=2X (4+2) =12, QA=5ZPQ=13.故答案为：13.,以及如何把立体图形转化成平面图形.三、解答题（共50分）,BO=3cm , AB=4cm , AF=12cm ,求图中半圆的面积.16.如图所示， 出=8AF=90【考点】勾股定理.【分析】 首先，在直角9BO中，利用勾股定理求得 AO=5cm；然后在直角 AFO中，由勾 股定理求得斜边 FO的长度；最后根据圆形的面积公式进行解答.【解答】 解：如图，至直角 ABO中，出=90 , BO=3cm , AB=4cm , &O= VB02+AB2=5cm -/图中半圆的面积x(1769=169 九C cm2).答：图中半圆的面积是1697T则在直角 AFO中，由勾股定理得到：FO=7A02MF2=13cm,【点评】 本题考查了勾股定理和圆的面积的计算.注意，勾股定理应用于直角三角形中.17.如图，在 RtABC 中，&=90,AC=8 ,在必BE 中，DE 是 AB 边上的高，DE=12 , S&be=60 , 求BC的长.【考点】勾股定理；三角形的面积.【分析】利用面积法求得斜边 AB的长度，然后在 Rt+BC中，利用勾股定理来求线段BC的长度.【解答】 解：如图， MBE中，DE是AB边上的高，DE=12, SXbe=60,?ED=60,即*AB M2=60,解得AB=10 .又冲 RtABC 中，ZC=90, AC=8 ,生C=MAB。_ he r 心二产=6 答：线段BC的长度是6.【点评】 本题考查了勾股定理、三角形的面积.注意，勾股定理应用于直角三角形中.18.如图所示的一块地，AD=12m , CD=9m,面积.必DC=90 , AB=39m , BC=36m ,求这块地的【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理.【专题】应用题.【分析】连接AC,运用勾股定理逆定理可证 ACD , BC为直角三角形，可求出两直角 三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差.【解答】 解：连接AC,则在RtADC中，AC2=CD 2+AD 2=122+92=225,必C=15,在丛BC 中，AB 2=1521 ,AC2+BC2=152+362=1521 ,必B2=AC2+BC2, ACB=90 ,D?CD=M5X36 -任ZABC SZACD=jAC?BC -12X9=270 54=216.答：这块地的面积是 216平方米.【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单.19.如图，一艘货轮在 B处向正东方向航行，船速为 25n mile/h,此时，一艘快艇在 B的正 南方向120n mile的A处，以65n mile/h的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要 多少时间？【考点】勾股定理的应用.【分析】先设快艇最快需要 x小时，根据勾股定理列出方程，求出方程的解即可.【解答】解：设快艇最快需要 X小时，由题意得，(25x) 2+1202= (65x) 2解得：x=2或x= - 2 (舍去).答：快艇最快需要 2小时.【点评】本题考查了一元二次方程及勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，根据勾股定理列出方程.20.如图，将长方形 ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E.(1)试判断ZBDE的形状，并说明理由；(2)若 AB=4, AD=8 ,求 ZBDE 的面积.【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】(1)由折叠可知，ZCBD=ZEBD,再由ADZBC,得到z2CBD= EDB ,即可得到在BD= ZEDB ,于是得到BE=DE,等腰三角形即可证明；(2)设DE=x,则BE=x, AE=8 - x,在Rt9BE中，由勾股定理求出 x的值，再由三角形 的面积公式求出面积的值.【解答】 解：(1) ZBDE是等腰三角形.由折叠可知，ZCBD= ZEBD ,MD ZBC, CBD=庄DB , EBD=正DB,z2BE=DE ,即出DE是等腰三角形；(2)设 DE=x,贝U BE=x, AE=8 x,在 RtABE 中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2 即 42+ (8-x) 2=x2,解得：x=5 ,所以 S/BDE=DE AB=-X54=10.2 工【点评】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大.21.如图，9BC是直角三角形， 加AC=90。，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且DE组F.(1)如图 1,试说明 BE2+CF2=EF2;(2)如图 2,若 AB=AC , BE=12 , CF=5 ,求绡EF 的面积.【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.【分析】(1)延长ED至点G,使得EG=DE ,连接FG, CG,易证EF=FG和也DECDG, 可得BE=CG, ZDCG=绡BE,即可求得zTCG=90 ,根据勾股定理即可解题；(2)连接AD,易证至DE=ZCDF,即可证明ADEACDF,可得AE=CF , BE=AF , S四边形AEDFhS/ABC ,再根据DEF的面积hS&BC S/AEF,即可解题.22【解答】(1)证明：延长 ED至点G,使得DG=DE,连接FG, CG,z2DE=DG , DFDE,z2DF垂直平分DE,z2EF=FG,ZD是BC中点，z2BD=CD ,在任DE和ZCDG中，CD，ZBDE=ZCDG, tDEDG BDEACDG (SAS), z2BE=CG , ZDCG= zDBE , ACB+ 垣BE=90 , ACB+ MG=90 ,即 z2FCG=90 ,222ZCG +CF =FG , ZBE2+CF2=EF2;(2)解：连接AD ,ZAB=AC , D 是 BC 中点， BAD= A45 , AD=BD=CD , ADE+ MDF=90 , ZADF+ ZCDF=90 , ADE= z2CDF, 在aDE和ZCDF中,NEAD = NCAD=CD , ZADE=ZCDF ADE A CDF (ASA ),zE=CF , BE=AF , AB=AC=17 ,国四边形AEDF =17sxBC ,&ef=X5M2=30,1-169 DEF 的面积=S/abc - S2Aef- 昌,i【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证ZBDEACDG DE AGDF是解题的关键.