北师大新版八年级上册《第1章勾股定理》单元测试卷2含答案解析

北师大新版八年级上册第 1章 勾股定理单元测试卷一、填空：（每空4分，共计28分）1.已知一个Rt邢J两边长分别为3和4,则第三边长的平方为2.求如图中直角三角形中未知的长度：b=，c=3 .如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形 A, B, C, D的面积之和为 cm2.4 .小明把一根 70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中,他能放进去吗？答： （填能、或不能”）5 .已知直角三角形两直角边的长分别为3cm, 4cm,第三边上的高为 .6 .如图，四边形 ABCD 中，CDAB , AD DC , DC=5 , CB=15 , AB=17 ,则四边形 ABCD 的面积为.7.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为个台阶上两个相对的端点，点 A处有一只蚂蚁，想到点20dm、3dm、2dm. A 和 B 是这B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为dm.二、选择题（每题 4分，共28分）8 . RtMBC两直角边的长分别为 6cm和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为（A. 10cmB. 3cm C. 4cm D. 5cm9 .观察下列几组数据：(1) 8,15,17; (2) 7,12,15;(3)12,15, 20;(4)7, 24, 25.中能作为直角三角形三边长的有 ()组.A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.如图，正方形 ABCD的边长为1 ,则正方形 ACEF的面积为（A. 2 B, 3 C, 4 D, 511 .如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A. 12 米 B. 13 米 C. 14 米 D. 15 米12.满足下列条件的 ABC中，不是直角三角形的是（）A. a： b: c=3: 4: 5 B. ZA:2：工=1 : 2: 3C. a2: b2: c2=1 ： 2： 3 D, a2: b2: c2=3： 4： 513 .若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为（A . 12 cm B . 10 cm C. 8 cm D. 6 cm14 .如图，正方形网格中的 必BC,若小方格边长为1,则BC的形状为（） 三、解答题：（每题11分，共计44分）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对15 .一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部 12米处，求树折断之前的高度?（自己画图并解答）16 .小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？17 .如图所示，四边形 ABCD 中，AB=3cm , AD=4cm , BC=13cm , CD=12cm , =90 ;(1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积.18 .如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm , BC=8cm ,现将直角边 BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？四、附加题19 .如图所示的一块地，AD=12m , CD=9m ,必DC=90 , AB=39m , BC=36m ,求这块地的D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC20.如图，必BC是直角三角形， 出AC=90 边上的点，且DE组F.(1)如图 1,试说明 BE2+CF2=EF2;(2)如图 2,若 AB=AC , BE=12 , CF=5 ,求绡EF 的面积.北师大新版八年级上册第 1旗 勾股定理单元测试卷一、填空：（每空4分，共计28分）1 .已知一个Rt邢J两边长分别为3和4,则第三边长的平方为 7或25.【考点】勾股定理.【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答.【解答】 解：分两种情况：当3、4都为直角边时，第三边长的平方 =32+42=25;当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方 =42 - 32=7.故答案为：7或25.【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.【考点】勾股定理.【分析】根据勾股定理进行计算即可.【解答】解：b=Jl好一 52=12；c=j6%2=10,故答案为：12; 10.【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.3 .如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形 A, B, C, D的面积之和为49cm2.【考点】勾股定理.【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积.【解答】 解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A, B, C, D的面积之和二49cm2.故答案为：49cm2.【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换.4 .小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：能填能”、或不能”)【考点】勾股定理的应用.【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可.【解答】解：能，理由如下：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ,根据题意，得 x2=50 2+402+30 2=5000,702=4900,因为 4900V 5000,所以能放进去.故答案为能.【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度.5 .已知直角三角形两直角边的长分别为3cm, 4cm,第三边上的高为 2.4cm .【考点】勾股定理.【专题】计算题.【分析】根据勾股定理可求出斜边.然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答.【解答】 解：/直角三角形的两条直角边分别为3cm, 4cm,硼边为 - ： - - 1=5cm,设斜边上的高为h,则直角三角形的面积为-iX4=ix5h, h=2.4cm ,-M这个直角三角形斜边上的高为2.4cm.故答案为：2.4cm.【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目, 需同学们认真掌握.6.如图，四边形 ABCD 中，CDAB , AD DC , DC=5 , CB=15 , AB=17 ,则四边形 ABCD 的面积为99.【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理.【分析】 作CEAB于E,则四边形 AECD是矩形， 出EC=90,得出AE=CD=5 , BE=AB-AE=12,由勾股定理求出 CE,即可求出四边形 ABCD的面积.【解答】 解：作CEAB于E,如图所示：则四边形AECD是矩形，也EC=90。，ME=CD=5 ,z2BE=AB - AE=17 - 5=12,由勾股定理得： CE=Jbc2_ BE_ 22=9，ZCDAB ,小边形 ABCD 的面积=弓(AB+CD ) XCE=J (17+5) 9=99；故答案为：99.【点评】本题考查了梯形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握梯形的性质，由 勾股定理求出梯形的高是解决问题的关键.7.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm. A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点 B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为25dm.【考点】平面展开-最短路径问题.【专题】 计算题；压轴题.【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答. 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20dm,宽为(2+3) Mdm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程为xdm , 由勾股定理得：x2=202+ (2+3) 32=252, 解得x=25 .故答案为25.【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题, 出长方形的长和宽即可解答.用到台阶的平面展开图， 只要根据题意判断二、选择题（每题 4分，共28分）8. RtMBC两直角边的长分别为 6cm和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为（）A. 10cmB. 3cm C. 4cm D. 5cm【考点】勾股定理；三角形中位线定理.【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边 的一半解答.【解答】解：于t9BC两直角边的长分别为 6cm和8cm,瀚边=jN + gZ=10cm,国/连接这两条直角边中点的线段长为 5M0=5cm .-U故选D.【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键.9.观察下列几组数据：（1） 8, 15, 17; （2） 7, 12, 15； （3） 12, 15, 20； （4） 7, 24, 25.其 中能作为直角三角形三边长的有 （）组.A. 1 B, 2 C, 3 D, 4【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理的逆定理： 如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系，这个就是直角三角形.【解答】 解：82+152=172,根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；72+122月52,根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；122+152发02,根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；72+242=252,根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确.故选B.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.10.如图，正方形 ABCD的边长为1,则正方形 ACEF的面积为（）CA. 2 B. 3C. 4 D. 5【考点】算术平方根.【分析】根据勾股定理，可得 AC的长，再根据乘方运算，可得答案.【解答】 解：由勾股定理，得 AC=,乘方，得（IV2）2=2,故选：A.【点评】 本题考查了算术平方根，先求出 AC的长，再求出正方形的面积.11 .如果梯子的底端离建筑物 5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A. 12 米 B. 13 米 C. 14 米 D. 15 米【考点】勾股定理的应用.【专题】应用题.【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可.【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理 AC=AB2 - BC2=/132 - 5 =12 米.故选A .【点评】 此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单.12 .满足下列条件的 ABC中，不是直角三角形的是（）A. a： b： c=3： 4： 5 B. ZA ：2：工=1 ： 2： 3C. a2： b2： c2=1 : 2： 3 D. a2: b2: c2=3: 4： 5【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理.【分析】由勾股定理的逆定理得出 A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角 和定理得出B是直角三角形；即可得出结果.【解答】 解：&：b: c=3: 4: 5, 32+42=52,/这个三角形是直角三角形，A是直角三角形; A： B ZC=1： 2： 3, C=90, B是直角三角形；号：b2: c2=1 ： 2： 3,&2+b2=c2,/三角形是直角三角形， C是直角三角形；号：b2： c2=3： 4： 5,Za2+b2/2,/三角形不是直角三角形；故选：D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理； 熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键.13.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为（A . 12 cm B . 10 cmC. 8 cm D. 6 cm【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD,然后在RTAABD中，可根据勾股定理进行求解.【解答】解：如图:由题意得：AB=AC=10cm , BC=16cm ,作AD旭C于点D ,则有DB=-BC=8cm在 RtABD 中，AD= 曲-BM=6cm .故选D.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识, 高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长.关键是掌握等腰三角形底边上的14.如图，正方形网格中的 必BC,若小方格边长为1,则BC的形状为（A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.【专题】网格型.【分析】根据勾股定理求得 BC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难 得到其形状.【解答】解：NE方形小方格边长为1,z2BC=V42+62=2V13,AC=d22 + 3 2=VHab=7TT7M/，在9BC中，旭C2+AC2=52+13=65 , AB 2=65 ,出C2+AC2=AB 2, ABC是直角三角形.故选：A.【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2,则三角形ABC是直角三角形.三、解答题：（每题11分，共计44分）15 .一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部 12米处，求树折断之前的高度？ （自己画图并解答）【考点】勾股定理的应用.【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前机勺高度是 15+9=24米.【解答】解：如图所示：因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得 bc私b%c2=15米，【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.16 .小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？【考点】勾股定理的应用.【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可.【解答】 解：由题意得，AC=6 i=3km , BC=8 i=4km ,必CB=90 ,则 AB= Qhd+BC km -【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键.17 .如图所示，四边形 ABCD 中，AB=3cm , AD=4cm , BC=13cm , CD=12cm , =90 ; (1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积.【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理.【分析】(1)在RtZABD中，利用勾股定理可求出 BD的长度；(2)利用勾股定理的逆定理判断出 出DC为直角三角形，根据 S四边形ABCD=S%BD+SZBDC, 即可得出答案.【解答】解：(1) A=90, ABD为直角三角形，则 BD2=AB2+AD 2=25,解得：BD=5 .(2)旭C=13cm, CD=12cm, BD=5cm , 出D2+CD2=BC2,z2BDCD,故S四边形AD+BD DC=6+30=36 .【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和.18.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm , BC=8cm ,现将直角边 BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？广 【考点】【专题】 【分析】角相等,c翻折变换(折叠问题) 应用题；操作型.由折叠的性质得到三角形再由两直线平行内错角相等,BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应等量代换及等角对等边得到FD=FB,设 FD=FB=,在直角三角形 AFB中，利用勾股定理列出关于 x的方程，求出方程的解得到 x的值，确定出FD的长，进而求出三角形 BDF面积.【解答】 解：由折叠可得：/2BDCABDE, CBD=在BD, BC=BE=8cm , ED=DC=AB=6cm , MD ZBC, ADB= ZDBC, ADB= ZEBD, z2FD=FB , 设 FD=FB=,在Rt9BF中，根据勾股定理得：x2= (8-x) 2+62,则 S/bdf=，FD?AB=解得：x=等，即FD=-cm,-7cm2-【点评】此题考查了翻折变换(折叠问题)，涉及的知识有：折叠的性质，全等三角形的性 质，平行线的性质，等腰三角形的判定， 以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关 键.四、附加题19.如图所示的一块地，AD=12m , CD=9m,面积.必DC=90 , AB=39m , BC=36m ,求这块地的【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理.【专题】应用题.【分析】连接AC,运用勾股定理逆定理可证 ACD , BC为直角三角形，可求出两直角 三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差.【解答】 解：连接AC,则在RtADC中，AC2=CD 2+AD 2=122+92=225,必C=15,在丛BC 中，AB 2=1521 ,AC2+BC2=152+362=1521 ,必B2=AC2+BC2, ACB=90 ,任ZABC SZACDM5X36 12x9=270 54=216.答：这块地的面积是 216平方米.【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单.20.如图，9BC是直角三角形， 加AC=90。，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且DE组F.(1)如图 1,试说明 BE2+CF2=EF2;(2)如图 2,若 AB=AC , BE=12 , CF=5 ,求绡EF 的面积.【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.【分析】(1)延长ED至点G,使得EG=DE ,连接FG, CG,易证EF=FG和也DECDG, 可得BE=CG, ZDCG= DBE ,即可求得zTCG=90 ,根据勾股定理即可解题；(2)连接AD ,易证ZADE=ZCDF,即可证明ADEACDF,可得 AE=CF , BE=AF , S四边形AEDF=7；SzABC ,再根据 DEF 的面积=jS&BC - S/AEF,即可解题.【解答】(1)证明：延长 ED至点G,使得DG=DE,连接FG, CG,z2DE=DG , DFDE,z2DF垂直平分DE,z2EF=FG,ZD是BC中点，z2BD=CD ,在任DE和ZCDG中,BD=CDZBDE=ZCDG，DXDG BDEACDG (SAS), z2BE=CG , ZDCG= zDBE , ACB+ 垣BE=90 , ACB+ MG=90 ,即 z2FCG=90 , zcg2+cf2=fg2,加e2+cf2=ef2；(2)解：连接AD ,MB=AC , D 是 BC 中点， BAD= C45, AD=BD=CD , ADE+ MDF=90 , ADF+ &DF=90 , ADE= z2CDF, 在必DE和HDF中，ZBAD=ZCAD 二 CD,/ADE =/CDF ADE ACDF (ASA ),ME=CF, BE=AF , AB=AC=17 ,1S 四边形 aedf=7；Szabc ,1-21 I5M2=30,1 DEF 的面积=-S；zabc 一SEF=.【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证/2BDEACDG和 DE4CDF是解题的关键.