二次函数几种解析式的求法

二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1已知一个二次函数图象经过(-1, 10)、(2, 7)和(1, 4)三点，那么这个函数的解析式是。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x2-3x+5.这种方法是将坐标代入 y=ax2+bx+c后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数a, b , c,进而获得解析式 y=ax2 +bx+c.二、交点型例2已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A,若二次函数y=ax 2 +bx+c的图像经过 A点，且与x轴交于B (0, 0)、C (3, 0)两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设 y=ax(x-3),再求也y=-2x 2 +8x-9的顶点1A (2, -1)。将A点的坐标代入 y=ax(x-3)，得至ij a= 211 23_x xy= 2 x(x-3)，即y= 22 .三、顶点型例3 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2戌其解析式。分析此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将1点(1,2)代入求得a=- 21(x 1)2 4,1. y=- 21 27x x 即 y=- 22.由于题中只有一个待定的系数a,将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型例4 二次函数 y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移 3个单位得二次函数 y x2 2x 1，则b与c分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点(1, 0)先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。 22 八y=x bx c (x 3)3=x2 6x 6.b=-6,c=6.因此选(B)五、弦比型例5已知二次函y=ax2 +bx+c为x=2时有最大值2,其图象在 X轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。b分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式 d= la 就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A (1, 0), B (3, 0)。再应用交点式或顶点式求得解析式为 y=-2x 2 +8x-6.六、识图型1 21 2-x2 (b 2)x c-x2 (b 2)x d例6如图1,抛物线y= 2与y=2其中一条的顶点为 P,另一条与X轴交于M、N两点。(1)试判定哪条抛物线与 X轴交于M、N点. (2)求两条抛物线的解析式。1 2x2 (b 2)x c解(1)抛物线y= 2与x轴交于M, N两点(过程从略)；1 2的顶点坐标为（0, 1）,x (b 2)x d因y= 2b-2=0,d=1,b=2.-x2 1. Y= 21 x?将点N的坐标与b=2分别代入y= 2+(b+2)x+c 得 c=6.1 x21. y= 2+4x+6七、面积型2例7已知抛物线y=x bx c的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q （0,-3）,与x轴的交点为A、B,顶点为P, APAB的面积为8。求其解析式。解将（0, -3）代入 y= x2 bx C 得 c=-3.由弦长公式，得AB vb2 1212 b2点P的纵坐标为 4由面积公式，得 解得b 2.因对称轴在y轴的右侧，b=-2.2所以解析式为y= x 2x 3八、几何型一. 一 2例 8已知二次函数y= x -mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解由弦比公式，得AB-m2 4（2m 4） m 4（m 4）2顶点C的纵坐标为-4AABC为等边三角形（m 4）21 厂 -73m442i解得m=4 2 J3,故所求解析式为y=x2 （4 2 3）x 4 4.3,或y=x2 （4 2、.3）x 4 4.3九、三角型12 2例9已知抛物线y= x bx c的图象经过三点（0, 25）、（sinA, 0）、（sinB, 0）且A、直角三角形的两个锐角，求其解析式。解: A+B=90 0, sinB=cosA.则由根与系数的关系，可得12将(0, 25 )12代入解析式，得 c= 252 一 一(1)(2) 2,得b225 1,7-b 0, - b=- 52 712x - x 所以解析式为y= 525十、综合型例10如图2,已知抛物线2y=- x px q与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点,若/ ACB=90 0 ,且 tg/ CAO-tg / CBO=2 ,求其解析式.解设A, B两点的横坐标分别为xi，x2，则qX-xJ x2 OA OB.由 AAOC ACOB,可得 OC2=OA - OB,2q=q 解得 q1=1,q 2=0 （舍去），OC OC 2又由tgZ CAO-tg / CBO=2 得 OA OBX22Xi X2xi+x 2 =-2* 12 即 p=2p=2所以解析式为y=-x 2 +2x+1函数及其图象例1.二次函数性质的应用例2.利用二次函数性质求点的坐标例3.求二次函数解析式例4.求二次函数解析式二、同步测试三、提示与答案例6.已知抛物线y= ax2+ bx+c如图所示，对称轴是直线x=-1(1)确定 a.b. c.b2-4ac 的符号，(2)求证 a-b+ c0,由抛物线与y轴交点坐标为(O, C),而此点在x轴下方， 得出cv 0,又由抛物线的对称轴是x= -1 ,在y轴左侧，得出b与a同号b 0。抛物线与x轴有两个交点，即ax，bc+c=0有两个不等的实根，b2-4ac 0(2)当 x= -1 时,y=a-b+cv 0当xv -1时，y随x值的增大而减小。例7.已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得 最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P,使 APAB的面积等于12 个平方单位，求P点坐标。分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3,根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截 得线段AB的长是4,可知其与x轴交点为(1 , 0) , (5,0)解：(1) 当x = 3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3, -2). 设二次函数解析式为y=a(x-3)2-2又;图象在x轴上截得线段AB的长是4, 图象与x轴交于(1 , 0)和(5, 0)两点1 a(1 - 3)2-2= 0a =工15，所求二次函数解析式为y= x x2-3x+ 2(2)APAB的面积为12个平方单位，|AB|=41 2x 4 X | Py | =12| Py | = 6，Pg= 6但抛物线开口向上，函数值最小为-2, .Py=-6应舍去，Pg=6又点P在抛物线上，1 56 = ： x2- 3x+ ,二xi = - 1,X2 = 7即点P的坐标为(-1 , 6)或(7, 6)说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1 , x2,运用公式| X1-X2 | = JX+修/一4/町，会 使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。例8.如图，矩形 EFGH内接于 AABCo E、F在 AC边上 H、G分另在 AB、 BC边上，AC=8cm, 高BD = 6cm,设矩形的宽HE为x(cm)。试求出矩形 EFGH的面积y (cm 2)与矩形 EFGH的宽x(cm) 间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少解：二.四边形EFGH是矩形HG / AC AABCs AH BG设BD交HG于M则B D与B M分别是AA B C和 AH BG的高。AC _ BD府 H G / AC,M D= HE = x,BM=6-x4(6 一 k)H G = y= S 矩形 EFGH= H E*H G4(6 -y= x* J.整理得y = - -x2+ 8x BD = 6自变量x的取值范围是0v xv 6J.x2的系数为-Tv 0, 1- y有最大值当x=-42%)只最大，最设x 1 ,x2是Q 二.长勺y最大值=124所求函数的解析式为y= -3x2+ 8x(0 v xv 6),当它的宽为3cm时，矩形EFG H面 大面积为12cm2。例9.二次函数y= ax2 + bx-5的图象的对称轴为直线x= 3,图象与y轴相交于点B ,方程ax，bx-5= 0的两个根且x12+x22= 26，又设二次函数图象顶点为A(1)求二次函数的解析式(2)求原点O到直线AB的距离解(1 )如图b _b_-2?=3- m = 6b又 x1+ x2=-=65xi* x2= - J由已知，有x12+x22= 26,(x1 + x2)2-2x1x2= 26L 1010b 即(-r )2+ ,=26, - 26-36解得a= -1解析式为 y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4(2) O B= 5,O C= 4,AC= 3AB=.=3又 OA= .I =5AAOB为等腰三角形，作OD，AB于D ,40# - BD工二& 一 (2无产二OD=、二即原点O到直线A B的距离为 2三、同步测试：选择题：1 .如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是()(A).(-2, -1) (B)(-3, -1) (C)(-3, -2)(D)(-4, -2)2 .若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是()(A)a=b (B)a=-b (C)a= | b | (D ) | a | = b3 .点P(x,y)在第二象限，且| x | 二2,| y | = 3,则点P关于x轴对称点的坐标为()(A)(-2, 3) (B)(2, -3) (C)(-2, -3) (D)(2, 3)4 .函数y= J之一工中，自变量x的取值范围是()(A)x 2JR 25 .函数y= H1中，自变量x的取值范围是()(A)x-2 且 xw 1 (B)x-2 且 xwl(C)x-2 且 xw 1 (D)x-2 或 xw 16 .在下列函数中，成正比例函数关系的是()(A)圆的面积与它的周长(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽(C)正方形面积与它的边长(D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高k7 .函数y=k(x-1)与y= X(kv o)在同一坐标系下的图象大致如图()(A)k 0,b 0 (B) k 0, bv 0(C)kv 0, b 0 (D)k0,bv 0则函数y=ax2+bx的图象是下面图中的（）11.已知：二次函数y= ax2 + b x+ c的图象如图，则（）(A)a 0,b 0, c 0, A 0, c 0(C)a 0,b 0,c 0(D ) av 0 ,b 0, A 012 .把函数y= 2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的 解析式为（）(A)y= 2x2+4x-8 (B)y= 2x2-8x+8(C)y= 2x2+4x-2 (D )y= 2x2-8x-2填空题13 .点A ( J、-5)到x轴的距离是;至ij y轴的距离是;到原点的距离是.114 .直线y=kx+b与直线y= - 2 x平行，且通过点(2, -3),则k=,在y轴上的截距为.15 . 一次函数的图象经过(1, -5)点且与y轴交于(0, -1)点，则一次函数的解析式为.16 .已知抛物线的顶点为M (4 , 8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为.解答题：17 . 一次函y= x x+ J分别与x轴，y轴交于点A , B ,点C(0,a)且av 0 ,若/ BAC为直角，求 图象过点C与点A的一次函数解析式。18 .已知如图，在 AABC中，AB= 4, A C= 6,D是 AB边上一点，E是 AC边上一点，/ ADE=/C, 设 DB=x,AE=y。(1)求出y与x的函数关系式；(2)画出这个函数图象。19 .在直角坐标系xoy中，直线l过点(4, 0),且与x, y轴围成的直角三角形面积为8, 一个二 次函数图象过直线l与两坐标轴的交点，且以x=3为对称轴，开口向下。求二次函数的解析式 及函数的最大值。20 .已知抛物线y=x2-mx+(2m+3)(m是不小于-2的整数)与x轴相交于 A、B两点，且 A、B两点间的距离恰是顶点到y轴距离的2了倍。求这条抛物线的函数解析式；(2)如果D(t,2)是抛物线上一点且在第一象限，求D点坐标。四.提示与答案21 B 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. A 8. D9.B 10.C 11.B 12. A 13.5, 3, 21 114. - 2 , -2 1 5. y= -4x-1 1 6. y= - 2 x2+ 4x17. y= - x- 12?18. (1)y= - 3x+ 3(0w xv 4); (2)图略1 119. y= - ? x2+ 3x-4，最大值为？.20. (1)y= x2+ 2x-1 ;(2)D (1,2)