2.2 基本不等式（精讲）（原卷版附答案）

2.2 基本不等式思维导图常见考法考点一 公式的直接运用【例1】（1）（2020全国高一课时练习）若,则的最大值是 （ ）ABCD（2）（2020全国高一课时练习）已知,求函数的最小值是 （ )A4B3C2D1考查基本不等式,采用构造法,基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。可【一隅三反】1（2020全国高一课时练习）若,则的最小值是 ()A1B2C3D42（2020上海高一开学考试）已知,函数的最小值是（ ）A5B4C8D63（2020全国高一课时练习）已知函数在时取得最小值,则_考点二 条件型【例2】（1）（2020全国高一课时练习）已知实数,则的最小值为（ )ABCD（2）（2020哈尔滨德强学校高一期末）已知实数,则的最小值是（ ）ABCD条件型（乘K法）：和为定值K,求倒数和的最小值,采用乘K法【一隅三反】1（2020全国高一开学考试）已知,则的最小值是( )A2BC4D2（2020四川金牛。成都外国语学校高一期末（文）若正数,满足,则的最小值是（ ）ABC5D253（2020全国高一课时练习）已知,则的最小值为_；考点三 配凑型【例3】（1）（2020衡水市第十三中学高一月考）已知,则的最小值是_（2） （2019四川高一期末）已知正数、满足,则的最小值为 1.分子分母为一次函数和二次函数,把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次,再分子分母同除一次函数2.给出等式但是不符合条件型,则从分母入手,分母相加减可得到等式的关系的倍数,即降次-配凑-均值不等式【一隅三反】1（2020全国高一专题练习）设,求的最大值 .2（2020全国高一课时练习）函数的最小值为 （ ）A3B2CD3（2020全国高一课时练习）已知,则有A最大值B最小值C最大值1D最小值1考点四 换元法【例4】（2019河北路南.唐山一中高三期中（文）已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )A3B4CD【一隅三反】1（2020上海高一开学考试）若正数满足,则的最小值是（ ）ABCD2（2020江西高一期末）已知a,且满足,则的最小值为（ ）ABCD3（2020黑龙江工农.鹤岗一中高一期末（理）若正数满足,则的最大值为（ ）ABCD4（2020浙江高三月考）已知实数满足,则的最小值为（ ）ABCD考点五 求参数【例5】（2020浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立,则实数的最小值为（ ）ABCD【一隅三反】1（2020河北路南.唐山一中高一期中）若对于任意恒成立,则a的取值范围是（）ABCD2（2020河南高三其他（理）若对任意正数,不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ）ABCD3（2020西夏.宁夏大学附属中学高二月考（文）若两个正实数x,y满足,且恒成立,则实数m的取值范围是（ ）ABCD考点六 实际应用题【例6】（2020浙江高一课时练习）某工厂拟建一个平面图形为矩形,且总面积为平方米的三级污水处理池,如图R31所示.已知池外墙造价为每米元,中间两条隔墙造价为每米元,池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计,且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低,那么污水处理池的长和宽分别为（ ）A米,米B米,米C米, 米D米,米【一隅三反】1（2019全国高一课时练习）设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢,按交通部门的规定车厢宽度为2m,则车厢的最大容积是（ ）A（38373)m3B16 m3C42m3D14 m32（2020全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段,做一个面积为,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合理共用且浪费最少的是( )A6.5mB6.8mC7mD7.2m3（2020全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨,计划每次购买吨,已知每次的运费为4万元/次,一年总的库存费用为万元,为了使总的费用最低,每次购买的数量为 _ ；2.2 基本不等式思维导图常见考法考点一 公式的直接运用【例1】（1）（2020全国高一课时练习）若,则的最大值是 （ ）ABCD（2）（2020全国高一课时练习）已知,求函数的最小值是 （ )A4B3C2D1【参考答案】（1）A（2）D【解析】（1）,故,则,当时取“=”,所以正确选项为A（2）由,即,所以,时取“=”,所以正确选项为D考查基本不等式,采用构造法,基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。一不可【一隅三反】1（2020全国高一课时练习）若,则的最小值是 ()A1B2C3D4【参考答案】C【解析】则,当时取“=”,所以正确选项为C2（2020上海高一开学考试）已知,函数的最小值是（ ）A5B4C8D6【参考答案】D【解析】因为该函数的单调性较难求,所以可以考虑用不等式来求最小值,因为,由重要不等式可知,所以,本题正确选项为D.3（2020全国高一课时练习）已知函数在时取得最小值,则_【参考答案】【解析】因为,所以,当且仅当即,由题意,解得考点二 条件型【例2】（1）（2020全国高一课时练习）已知实数,则的最小值为（ )ABCD（2）（2020哈尔滨德强学校高一期末）已知实数,则的最小值是（ ）ABCD【参考答案】（1）D（2）B【解析】（1）,正确选项为D（2）,当且仅当,即,时取等号.故选B条件型（乘K法）：和为定值K,求倒数和的最小值,采用乘K法【一隅三反】1（2020全国高一开学考试）已知,则的最小值是( )A2BC4D【参考答案】C【解析】（当且仅当,即时取等号）的最小值为故选：2（2020四川金牛。成都外国语学校高一期末（文）若正数,满足,则的最小值是（ ）ABC5D25【参考答案】C【解析】正数,满足,则,当且仅当时取等号的最小值是5故选：C3（2020全国高一课时练习）已知,则的最小值为_；【参考答案】【解析】采用常数1的替换,当即时等号成立,所以参考答案为考点三 配凑型【例3】（1）（2020衡水市第十三中学高一月考）已知,则的最小值是_（3） （2019四川高一期末）已知正数、满足,则的最小值为 【参考答案】（1）5（2）【解析】当时,当且仅当,即当时,等号成立,因此,函数的最小值为.故参考答案为：.（2）,所以,则,所以,当且仅当,即当时,等号成立,因此,的最小值为,故选：1.分子分母为一次函数和二次函数,把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次,再分子分母同除一次函数2.给出等式但是不符合条件型,则从分母入手,分母相加减可得到等式的关系的倍数,即降次-配凑-均值不等式【一隅三反】1（2020全国高一专题练习）设,求的最大值 .【参考答案】1【解析】,所以当且仅当,即时等号成立所以的最大值为2（2020全国高一课时练习）函数的最小值为 （ ）A3B2CD【参考答案】A【解析】,则,当时取“=”,所以正确选项为A3（2020全国高一课时练习）已知,则有A最大值B最小值C最大值1D最小值1【参考答案】D【解析】当且仅当即时取等号,故选：考点四 换元法【例4】（2019河北路南.唐山一中高三期中（文）已知x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )A3B4CD【参考答案】B【解析】考察均值不等式,整理得即,又,【一隅三反】1（2020上海高一开学考试）若正数满足,则的最小值是（ ）ABCD【参考答案】A【解析】因为正数满足,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立.故选：A2（2020江西高一期末）已知a,且满足,则的最小值为（ ）ABCD【参考答案】C【解析】,即当且仅当时取等号的最小值为故选：C3（2020黑龙江工农.鹤岗一中高一期末（理）若正数满足,则的最大值为（ ）ABCD【参考答案】A【解析】因为,化简可得,左右两边同时除以xy得 求的最大值,即求 的最小值所以 ,当且仅当时取等号所以的最大值为所以选A4（2020浙江高三月考）已知实数满足,则的最小值为（ ）ABCD【参考答案】B【解析】设,则,则,设,则,解得,的最小值为.故选：B考点五 求参数【例5】（2020浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立,则实数的最小值为（ ）ABCD【参考答案】C【解析】.若,则,从而无最小值,不合乎题意；若,则,.当时,无最小值,不合乎题意；当时,则不恒成立；当时,当且仅当时,等号成立.所以,解得,因此,实数的最小值为.故选：C.【一隅三反】1（2020河北路南.唐山一中高一期中）若对于任意恒成立,则a的取值范围是（）ABCD【参考答案】B【解析】因为,所以,因为,所以（当且仅当时取等号）,则,即的最大值为,故.故选：2（2020河南高三其他（理）若对任意正数,不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ）ABCD【参考答案】B【解析】依题意得当时,恒成立,又因为,当且仅当时取等号,所以的最大值为,所以,解得,因此,实数的取值范围为.故选：B.3（2020西夏.宁夏大学附属中学高二月考（文）若两个正实数x,y满足,且恒成立,则实数m的取值范围是（ ）ABCD【参考答案】C【解析】由题意,两个正实数x,y满足,则,当且仅当,即时,等号成立,又由恒成立,可得,即,解得,即实数m的取值范围是.故选：C.考点六 实际应用题【例6】（2020浙江高一课时练习）某工厂拟建一个平面图形为矩形,且总面积为平方米的三级污水处理池,如图R31所示.已知池外墙造价为每米元,中间两条隔墙造价为每米元,池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计,且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低,那么污水处理池的长和宽分别为（ ）A米,米B米,米C米, 米D米,米【参考答案】C【解析】设污水池的宽为米,则长为米,总造价为,则（元）,当且仅当时,即当时,总造价最低,此时,污水池的宽为米,长为米.故选：C.【一隅三反】1（2019全国高一课时练习）设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢,按交通部门的规定车厢宽度为2m,则车厢的最大容积是（ ）A（38373)m3B16 m3C42m3D14 m3【参考答案】B【解析】设长方体车厢的长为xm,高为hm,则2x+22h2xh=32,即x+2hxh=16,16=x+2h+xh22xh+xh,即xh+22xh-160,解得0xh22,0xh8车厢的容积为V=2xh16(m3)当且仅当x=2h且x+2hxh=16,即x=4,h=2时等号成立车厢容积的最大值为16m3选B2（2020全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段,做一个面积为,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合理共用且浪费最少的是( )A6.5mB6.8mC7mD7.2m【参考答案】C【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x,y（x0,y0）则xy4,此时三角形框架的周长C为：x+y+x+y+x+y2 4Cx+y+4+26.83故用7米的铁丝最合适故选C3（2020全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨,计划每次购买吨,已知每次的运费为4万元/次,一年总的库存费用为万元,为了使总的费用最低,每次购买的数量为 _ ；【参考答案】20吨【解析】由题意,总的费用,当时取“=”,所以参考答案为20吨。知识改变命运22