高中数学导数及其应用复习与小结新人教A选修

会计学1高中数学导数及其应用复习与小结新人高中数学导数及其应用复习与小结新人教教A选修选修本章知识结构 微积分 导数定积分导数概念导数运算导数应用 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的速度面积 功 积分定义的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的应用路程定积分概念微积分基 本定理 最优化问题第1页/共34页函数的平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y( )lim( )f xfxx0 x 121)()limf xxx2f(x21xx( )limf xx0 x 导数第2页/共34页基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)=若f(x)=lnx，则f(x)=x x返回第3页/共34页导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x返回第4页/共34页 当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线PQoxyy=f(x)割线切线T返回第5页/共34页1) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；2) 如果恒有 f(x)0f (x)0如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.0)( xf)(xf返回第6页/共34页2)如果a是f(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值. 函数的极值1)如果b是f(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f(x)0，在b右侧附近f(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点2)在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)gg返回第7页/共34页第8页/共34页第9页/共34页第10页/共34页第11页/共34页第12页/共34页第13页/共34页第14页/共34页第15页/共34页两年北京导数题,感想如何?第16页/共34页 复合函数的导数:注:y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数的乘积.复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:;xuxuyy ( )( )( ).xfxf ux或返回第17页/共34页返回过p(x0,y0)的切线1) p(x0,y0)为切点切线方程切线方程00y - y = f (x)(x - x )2)p(x0,y0)不为切点1110110y = f(x )y - y= f (x )x - x 切点切点11P(x ,y )第18页/共34页第19页/共34页解：变1：设切点为P（x0，x03x0+2）， 切线方程为y ( x03x0+2)=(3 x021)(xx0)21又切线过点A(1,2) 2( x03x0+2)=( 3 x021)(1x0)化简得(x01)2(2 x0+1)=0，2114当x0=1时，所求的切线方程为：y2=2(x1),即y=2x 解得x0=1或x0=k= f/(x0)= 3 x021，当x0= 时，所求的切线方程为： y2= (x1),即x+4y9=0第20页/共34页变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直 线y=11x1，则P点坐标为 _,切线方程为_ (2,8)或( 2, 4) y=11x14或y=11x+18 第21页/共34页第22页/共34页第23页/共34页求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似求和:任取xixi1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为x的小矩形面积f(xi)x近似之。 (3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xix1lim( )niniSfxx1( )niiSfxx (1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间: 每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb第24页/共34页一、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfnxx 小矩形面积和S=如果当n时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 baf (x)dx，即f (x)dx f (x i)xi。 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割-近似代替-求和-取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即第25页/共34页定积分的定义：定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy 第26页/共34页 baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x 被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限第27页/共34页 说明： (1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，baf(x)dx baf (x)dx -(2)第28页/共34页(2)定积分的几何意义：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 第29页/共34页 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S第30页/共34页三: 定积分的基本性质 性质1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质2. badx)x(kf badx)x(fk第31页/共34页三: 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (x)第32页/共34页定理 （微积分基本定理）( )|( )( )( )bbaaf x dxF bxFFa或或(F(x)叫做f(x)的原函数, f(x)就是F(x)的导函数) 如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),则baf x dxF bF a( )( )( )第33页/共34页