高中数学 报刊专题研究精选 函数图象创新题例析素材

函数图象创新题例析 “函数”是贯穿于高中数学的一条主线，函数图象又是表述函数问题的重要工具，因此函数图象问题与其它知识的联系非常紧密。尤其是导数和向量的引入，拓宽了函数图象问题的命题空间，出现了不少的创新题，下面介绍几例。 例1. 已知函数，其中，当时的大致图象是（ ）图1 解析： 由于的图象问题已超出了高中大纲的范围，因此想通过画出图象来确定答案，将是十分困难的。作反面思考，从选择支出发：选择支（A）、（D）的图象均关于坐标原点对称，选择支（B）的图象关于y轴对称，而函数既非奇函数又非偶函数，因此排除（A）、（B）、（D）。答案（C）正确。 点评：本题以平面向量为载体，考查非常规型函数的图象，灵活运用函数的相关性质排除错误是解题的关键。 例2. 设函数在定义域内可导，的图象如图2所示，则导函数的图象可能为（ ）图2图3 解析：观察图2，发现时，单调递增，因此时，立即排除（B）、（C）。再从图2中发现，且x靠近0时，单调递增，此时，立即排除（A）。答案（D）正确。 点评：本题是函数图象与其导函数图象的交汇，主要考查两者图象之间的关系。利用函数的单调性确定导函数的符号是解题的关键。 例3. 如图4所示，函数的图象上有一列点P1，P2，P3，Pn，已知时，。设线段的长分别为，且，则（ ）图4 A. B. C. D. 解析：由 得 所以 即 所以 将这个等式相乘，得 答案（B）正确。 点评：本题在函数的图象上构建向量，融函数图象、平面向量、数列等知识于一体，利用向量的和差运算寻求递推关系是解题的关键。 例4. 定义在（0，3）上的函数的图象如图5所示，那么不等式的解集是_。图5 解析： 因此的解集是 点评：本题以平面向量为载体，考查抽象函数与三角函数的复合型不等式的解集，分类讨论、由图定数是解题的关键。 例5. 已知某质点在运动过程中，热量Q随位移x变化的规律是，其图象关于坐标原点对称，如图6所示是其图象的一部分，则Q（x）的解析式是_。图6 解析：因为Q（x）的图象关于坐标原点对称 所以，即 所以 因此 由图象可知，当时，有极小值， 所以 解得 故 点评：本题以物理知识为背景，融函数的导数、极值、奇偶性于一体，从函数图象上发现其性质是解题的关键。 以上几个函数图象问题，虽然难度不大，但具有背景新、内容新、结构新的特点，具有一定的创新性。这类问题在高考中常常以选择题、填空题的形式出现，能有效考查学生的观察能力、直觉思维能力、合情推理能力和综合能力。排除法、特殊值法、数形结合法常常是解决这类问题的有效途径。