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第3课时圆周运动的规律 导学目标 1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式，掌握物体做离心运动的条件一、描述圆周运动的物理量基础导引甲、乙两物体都在做匀速圆周运动，以下各种情况下哪个物体的向心加速度比较大？A它们的线速度相等，乙的半径小B它们的周期相等，甲的半径大C它们的角速度相等，乙的线速度小D它们的线速度相等，在相同时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙的大知识梳理描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表.物理量物理意义定义和公式方向和单位线速度描述物体做圆周运动的_物体沿圆周通过的弧长与所用时间的比值，v_方向：沿圆弧切线方向单位：m/s角速度描述物体与圆心连线扫过角度的_运动物体与圆心连线扫过的角的弧度数与所用时间的比值，_单位：rad/s周期和转速描述物体做圆周运动的_周期T：物体沿圆周运动一周所用的时间转速n：物体单位时间内转过的圈数周期单位：s转速单位：r/s或r/min向心加速度描述线速度方向变化的_an_方向：总是沿半径指向圆心，与线速度方向垂直单位：m/s2相互关系vrr2rfanr2v42f2r：线速度和角速度的物理意义有什么不同？二、向心力基础导引分析图1中物体A、B、C的受力情况，说明这些物体做圆周运动时向心力的来源，并写出动力学方程图1知识梳理1作用效果：产生向心加速度，只改变速度的_，不改变速度的_2大小：Fm_mmv42mf2r3方向：总是沿半径方向指向_，时刻在改变，即向心力是一个变力4来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的_提供，还可以由一个力的_提供 ：向心力是按效果还是按性质命名的力？可以在受力分析时加一个向心力吗？三、圆周运动、向心运动和离心运动基础导引1关于匀速圆周运动的下列说法正确的是 ()A匀速圆周运动是一种匀速运动B匀速圆周运动是一种匀变速运动C匀速圆周运动是一种变加速运动D物体做圆周运动时其向心力不改变线速度的大小2物体做匀速圆周运动时，如果向心力突然消失，则下列说法正确的是 ()A物体将继续在原来的圆周上运动B物体将沿着圆周的切线方向飞出去C物体将沿着切线和圆周之间的某一条曲线向远离圆心的方向运动D以上说法均不对图23如图2所示，游乐场的旋转飞椅非常刺激有趣随着旋转速度越来越快，飞椅会逐渐远离圆柱你能讲出其中的道理吗？知识梳理1匀速圆周运动与非匀速圆周运动两种运动具体比较见下表.项目匀速圆周运动非匀速圆周运动定义线速度的大小_的圆周运动线速度的大小_的圆周运动运动特点F向、a向、v均大小不变，方向变化，不变F向、a向、v大小和方向均发生变化，发生变化向心力F向F合由F合沿半径方向的分力提供2离心运动(1)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着_飞出去的倾向(2)受力特点(如图3所示)当F_时，物体做匀速圆周运动；图3当F0时，物体沿_飞出；当Fmr2时，物体逐渐向_靠近，做_运动：1.物体做离心运动是因为受到离心力的缘故吗？2物体做离心运动时是沿半径方向远离圆心吗？考点一圆周运动中的运动学问题分析考点解读1对公式vr的理解当r一定时，v与成正比当一定时，v与r成正比当v一定时，与r成反比2对a2rv的理解在v一定时，a与r成反比；在一定时，a与r成正比典例剖析图4例1 如图4所示装置中，A、B、C三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之 比、角速度之比、加速度之比方法突破1高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大小相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等)2传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；(2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等跟踪训练1某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图5所示链轮和飞轮的齿数如下表所示，前、后轮直径均为660 mm，人骑该车行进的速度为4 m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运 图5动的角速度最小值约为 ()名称链轮飞轮齿数N/个483828151618212428A.1.9 rad/s B3.8 rad/sC6.5 rad/s D7.1 rad/s考点二圆周运动中的动力学问题分析考点解读1向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力2向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力典例剖析图6例2 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图6所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘转 盘可绕穿过其中心的竖直轴转动当转盘以角速度匀速转动 时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为.不计 钢绳的重力，求转盘转动的角速度与夹角的关系方法突破解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程跟踪训练2在加拿大城市温哥华举行的第二十一届冬奥会花样滑冰双人自由滑比赛落下帷幕，中国选手申雪、赵宏博获得冠军如图7所示，如果赵宏博以自己为转动轴拉着申雪做匀速圆周运动若赵宏博的转速为30 r/min，手臂与竖直方向夹角为60，申雪的质量是50 kg，她触地冰鞋的线速度为4.7 m/s，则下列说法正确的是 ()图7A申雪做圆周运动的角速度为 rad/sB申雪触地冰鞋做圆周运动的半径约为2 mC赵宏博手臂拉力约是850 ND赵宏博手臂拉力约是500 N考点三平抛运动与圆周运动问题综合分析典例剖析例3如图8所示，一根轻绳一端固定在O点，另一端拴 一质量m0.1 kg的小球静止于A点，其右方有底面半 径r0.2 m的转筒，转筒顶端与A等高，筒底端左侧有一小孔，距顶端h0.8 m开始时小球处于O点所在水平面上方30的位置B处且细绳刚好伸直，OB及OA与转筒的轴线在同一竖直平面内，小孔此时也位于该竖直平面内将小球从B点由静止释放，小球经过A点时速度vA2 m/s，此时轻绳突然断掉，同时转筒立刻以某一角速图8度做匀速转动，最终小球恰好进入小孔取g10 m/s2，不计空气阻力(1)求转筒轴线与A点的距离d；(2)求转筒转动的角速度；(3)欲求轻绳的长度l，某同学解法如下：小球从B点运动到A点过程中，只有重力做功，故机械能守恒，则mgl(1sin 30)mv，代入数据，即可求得l.你认为上述解法是否正确？如果认为正确，请完成此题；如果认为不正确，请给出正确的解答. 方法突破1此题是自由落体运动、平抛运动和圆周运动结合的问题，各运动转折点的速度分析是关键2竖直面内的圆周运动满足机械能守恒定律，一般利用动能定理或机械能守恒定律建立最高点和最低点的速度关系3对于匀速圆周运动和平抛运动结合的问题，还应注意圆周运动的周期性问题6.忽视圆周运动的周期性例4如图9所示，半径为R的圆盘匀速转动，在距半径高度h处以平行OB方向水平抛出一小球，抛出瞬间小球的初速度与OB方向平行，为 使小球和圆盘只碰撞一次且落点为B，求：图9(1)小球的初速度大小；(2)圆盘转动的角速度误区警示本题的常见错误是认为圆盘转动一周时，小球恰好落在B点，即t1 ，t2T，故得2 .忽视了圆周运动的周期性，即t1这段时间内，只要B点转动2的整数倍角度，小球都可以与B点相碰正确解析(1)设小球在空中的飞行时间为t1，初速度为v0，圆盘的角速度为，小球平抛时间t1 .小球水平方向分运动v0t1R，可得v0R .(2)当OB再次与v0平行时，圆盘运动时间t2nT(n1,2,3,4，)，T，依题意t1t2, ，解得n (n1,2,3,4，)答案(1)R (2)n (n1,2,3,4，)正本清源1.多解原因：因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这将造成多解.2.多解问题模型：常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动.,由于涉及两个物体的运动是同时进行的，因此求解的基本思路是依据等时性建立等式求出待求量.图10跟踪训练3如图10所示，直径为d的纸筒以角速度绕垂直于纸面的O轴匀速转动(图示为截面)从枪口射出的子弹沿直 径穿过圆筒，在圆周上留下a、b两个弹孔已知aO与bO z的夹角为，求子弹的速度7不能建立匀速圆周运动的模型图11例5质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图11所示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时 空气对飞机的作用力大小为 ()Am BmgCm Dm 甲误区警示本题错误的原因：一是不能正确建立飞机运动的模型 (实质上是圆锥摆模型)，错误地认为飞机沿倾斜面圆轨道做匀速圆 周运动，受力情况示意图如图甲所示，得出Fm ，错选D；二是对飞机受力情况分析错误，错误地认为空 气对飞机的作用力就是向心力而错选A.乙正确解析飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力Fnm.飞机受力情况示意图如图乙所示，根据勾股定理得：Fm .答案C正本清源正确建立匀速圆周运动模型，确定其运动平面与圆心位置，找出物体的受力，是解题关键.跟踪训练4有一种大型游戏器械是一个圆筒形容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，地板突然塌落，游客发现自己没有落下去这是因为 ()A游客处于超重状态B游客处于失重状态C游客受到的摩擦力等于重力D筒壁对游客的支持力等于重力A组圆周运动的运动学问题图121如图12所示的皮带传动装置中，右边两轮是在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为RARC2RB，设皮带 不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比vAvBvC _，角速度之比ABC_.2一个环绕中心线AB以一定的角速度转动，P、Q为环上两点，位置如图13所示，下列说法正确的是 ()AP、Q两点的角速度相等图13BP、Q两点的线速度相等CP、Q两点的角速度之比为1DP、Q两点的线速度之比为1B组圆周运动的动力学问题3如图14所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：图14(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的 大小；(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度4如图15所示，长度为L的细绳，上端固定在天花板O点上，下端拴着质量为m的小球当把细绳拉直时，细绳与竖直线的夹角为 60，此时小球静止于光滑的水平面上图15(1)当球以角速度1 做圆锥摆运动时，细绳的张力FT为多 大？水平面受到的压力FN是多大？(2)当球以角速度2 做圆锥摆运动时，细绳的张力FT及水平面受到的压力FN各是多大？课时规范训练(限时：45分钟)一、选择题1关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法正确的是 ()A与线速度方向始终相同 B与线速度方向始终相反C始终指向圆心 D始终保持不变2如图1所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的是 ()图1A受重力和台面的支持力B受重力、台面的支持力和向心力C受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力D受重力、台面的支持力和静摩擦力3下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是 ()A相等的时间里通过的路程相等B相等的时间里通过的弧长相等C相等的时间里通过的位移相等D相等的时间里转过的角度相等4图2为A、B两物体做匀速圆周运动时向心加速度a随半径r的变化的图线，由图可知 ()图2AA物体的线速度大小不变BA物体的角速度不变CB物体的线速度大小不变DB物体的角速度与半径成正比图35一对男女溜冰运动员质量分别为m男80 kg和m女40 kg，面对 面拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图3所示，两人相距 0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，则两人 ()A速度大小相同约为40 m/sB运动半径分别为r男0.3 m和r女0.6 mC角速度相同为6 rad/sD运动速率之比为v男v女21图46自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB4RA、RC8RA，如图4所示正 常骑行时三轮边缘的向心加速度之比aAaBaC等于()A118 B414 C4132 D124图57如图5所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球， 在O点的正下方与O点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子；把小球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，当细绳碰到钉子的瞬间，下列说法正确的是 ()A小球的线速度不发生突变B小球的角速度突然增大到原来的2倍C小球的向心加速度突然增大到原来的2倍D绳子对小球的拉力突然增大到原来的2倍图68有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台 形表演台的侧壁做匀速圆周运动图6中有两位驾驶摩托车的杂技演员A、B，他们离地面的高度分别为hA和hB，且hAhB，下列说法中正确的是 ()AA摩托车对侧壁的压力较大BA摩托车做圆周运动的向心力较大CA摩托车做圆周运动的周期较小DA摩托车做圆周运动的线速度较大9如图7所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点， 并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的 ()A周期相同图7B线速度的大小相等C角速度的大小相等D向心加速度的大小相等10.如图8所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后 悬挂在O点，有两个质量为m的小环(可视为质点)，同时从大环两 侧的对称位置由静止滑下，两小环同时滑到大环底部时，速度都为 v，则此时大圆环对轻杆的拉力大小为 ()图8A(2m2M)gBMg2mv2/RC2m(gv2/R)MgD2m(v2/Rg)Mg二、非选择题11如图9所示，在半径为R的转盘的边缘固定有一竖直杆，在杆的上端点用长为L的细线悬挂一小球，当转盘旋转稳定后，细绳与竖直方向的夹角为，则小球转动周期为多大？如图912(2020重庆理综24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖 直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图10所示已知握绳的手离地面图10高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？复习讲义基础再现一、基础导引A甲、乙线速度相等时，利用an，半径小的向心加速度大，所以乙的向心加速度大B甲、乙周期相等时，利用anr，半径大的向心加速度大，所以甲的向心加速度大C甲、乙角速度相等时，利用anv，线速度大的向心加速度大，所以乙的向心加速度小D甲、乙线速度相等时，利用anv，角速度大的向心加速度大由于在相等时间内甲与圆心的连线扫过的角度比乙大，所以甲的角速度大，甲的向心加速度大知识梳理快慢快慢快慢快慢思考：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，而角速度是描述物体做圆周转动快慢的物理量二者仅一字之差，运动快慢与转动快慢不一样运动快慢是指物体做圆周运动通过弧长的快慢，转动快慢是指物体与圆心连线扫过角度的快慢二、基础导引(1)，Ff为向心力，Ffm2l(2)，FN为向心力，FNm(3)，FT与G的合力或FT在水平方向的分力提供向心力Gtan m()2lsin 知识梳理1.方向大小2.m2r3.圆心4.合力分力思考：向心力是效果力，受力分析时，不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力三、基础导引1.CD2.B3. 每个飞椅受力如图所示，向心力为Fmgtan ，当旋转速度越来越大时，所 需向心力Fmv2/r越来越大，所以角越来越大，即飞椅会远离圆柱知识梳理1.不变不断变化2.(1)圆周切线方向(2)mr2切线方向mr2圆心向心思考：1.物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现2物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大，沿切线方向飞出课堂探究例1见解析解析vavc，而vbvcvd124，所以vavbvcvd2124；ab21，而bcd，所以abcd2111；再利用av，可得aaabacad4124.跟踪训练1B因为自行车行进的速度与前、后轮边缘的线速度相等，所以后轮边缘的线速度为4 m/s，后轮的角速度 rad/s12 rad/s；又因飞轮与后轮为同轴装置，所以飞轮的角速度112 rad/s.又飞轮与链轮是用链条连接的，所以链轮与飞轮的线速度相同，即1r12r2(式中r1、r2分别为飞轮和链轮的半径)因轮周长LNL2r(式中N为齿数，L为两邻齿间的弧长)，所以rN，故1N12N2.又踏板与链轮共轴，所以脚踩踏板的角速度321，欲使3最小，则须N115，N248，故312 rad/s3.75 rad/s3.8 rad/s.故选B.例2 跟踪训练2AC例3(1)1.99 m(2)5n rad/s(n1,2,3，)(3)不正确，0.8 m跟踪训练3(n0,1,2，)跟踪训练4C分组训练11121222ADP、Q两点的角速度相等，半径之比RPRQRsin 60(Rsin 30)1；由vR可得vPvQRPRQ1.3(1)(2)4(1)mg(2)4mg0课时规范训练1C2D3ABD4A5B6C7ABC8D9AC10C112 12(1)v1v2 (2)mg(3)d
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