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第七章 解析几何基础知识梳理一、直线：基本公式：两点距离公式：已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则|P1P2|= .线段的定比分点坐标公式： 已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），点P（x，y）分有向线段的比是，即， 则x = ，y= .中点坐标公式：已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），线段P1P2的中点坐标是（x，y）， 则x= ，y= .三角形的重心坐标公式：已知三角形的三点坐标A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）， ABC的重心是G（x，y），则x= ，y= .斜率 直线倾斜角的定义：直线斜率的定义：公式：已知两点A（x1，y1）、B（x2，y2），（x1x2），则kAB= .注：已知三点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），如何证明这三点共线？直线方程：直线方程的几种形式：名 称已 知 条 件方 程说 明点斜式点P（x0，y0）和斜率k不包括与x轴垂直的直线斜截式斜率k和纵截距b不包括与x轴垂直的直线两点式两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）x1x2且y1y2截距式在x轴、y轴上的截距分别是a、b不包括平行于坐标轴及经过原点的直线一般式A、B不全为0注：已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则直线P1 P2的方程总可写为（不要讨论）： .特殊位置的直线方程： 垂直于x轴的直线方程是 . y轴的方程是 . 垂直于y轴的直线方程是 . x轴的方程是 . 过原点的直线（除y轴）方程是 . 求过点P（x0，y0）（不是原点）且在坐标轴上的截距相等的直线方程时应考虑哪几种情况？点P（x0，y0）与直线l：Ax+By+C=0的位置关系： P在直线l上，则有 . P在直线l外， P到直线l的距离为d，则d= 两直线l1和l2的位置关系： 斜率存在，直线l1：y=k1x+b1，直线l2：y=k2x+b2，则l1与l2相交 ；l1l2 ；l1与l2重合 ；l1l2 . 斜率不一定存在，直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则：l1与 l2相交 ；l1 l2 ；l1与 l2重合 ；l1 l2 . 两相交直线交点坐标的求法： 两平行线之间的距离：直线l1：Ax+By+C1=0，直线l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2间的距离d= .过两定点P、Q分别作倾斜角相等的直线，这两条平行直线间距离的最大值是 .对称：请填以下空格，并记住结论：点P坐标关于什么对称对称点P/ 的坐标 备 注（a，b） 点（x0，y0） 可直接用（a，b） 原点 可直接用（a，b） x轴可直接用（a，b） y轴可直接用（a，b）直线x-y=0可直接用（a，b）直线x+y=0可直接用（a，b） 直线x-y+c=0只用于选择、填空题（a，b） 直线x+y+c=0只用于选择、填空题注：若对称轴的斜率不是1，没有上述结论！只可用下面的方法求：设P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标是（x，y），则当A=0且B0时，则x= ，y= ；当B=0且A0时，则x= ，y= ；当AB0时，则直线系：1、直线系的定义：具有某种共同特征的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程.2、常见的直线系方程： 过定点P（x0，y0）的直线系方程是 . 斜率是k的直线系方程是 . 与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是 . 与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 . 在x轴和y轴上截距的和是10的直线系方程是 .3、设直线l1：A1x+B1y+C1=0和直线l2：A2x+B2y+C2=0相交于P点，则经过P点的直线系方程是 .4、如何证明直线系过定点？二元一次不等式表示的平面区域：当B0时，点P（x1，y1）在直线l：Ax+By+C=0的上方 ；点P（x1，y1）在直线l：Ax+By+C=0的下方 .当B=0，A0时，点P（x1，y1）在直线l：Ax+C=0的右方 ； 点P（x1，y1）在直线l：Ax+C=0的左方 .简单线性规划问题最优解的解题步骤： 画可行域；画斜率是k的直线系；根据直线系扫过可行域的情况，判别直线在哪一点处纵截距有最小值，在哪一点处纵截距有最大值； 求出纵截距最大、最小时相应的点的坐标，即最优解； 根据最优解求出目标函数的最大值或最小值.基本练习题：已知直线l：(2m2-7m+3)x+(m2-9)y+3m2=0,当倾斜角=45时,m= ；当m= 时, l平行于y轴；当m 时, l在y轴上的截距为4.已知直线kx+2y-3=0过点(1,1),则k= ；若它与直线2x-y+5=0垂直,则k= ； 此时两直线交点坐标为 ；两直线与x轴围成的三角形的面积为 .若P-1,则原点到直线xcos+ysin+p=0的距离为 .已知直线l1：(a-1)x-2y+3=0、l2：x-ay+1=0，当a= 时，l1l2； 当a= 时，l1l2；当a= 时，l1、l2所成的角等于45.直线l过点A (-2,2)且和两坐标轴围成的三角形面积等于1,则直线l的斜率k= .不论k取何值,直线(2k-1) x-(k+3)y-(k-11)=0必过定点 .三、圆：圆的定义； .圆的方程： 标准方程： ；圆心坐标是 ，半径是 . 一般方程： ；圆心坐标是 ，半径是 . 注：若已知条件与圆心或半径有关，通常用标准式求圆方程；若已知条件是不共线的三点，通常用一般式求圆的方程. 以A(x1,y1),B(x2,y2)两点为直径端点的圆的方程是 .点与圆的位置关系： 已知点P(x0,y0)与圆C方程(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0),则：点P在圆C上 或 ；点P在圆C外 或 ；点P在圆C内 或 .直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有 、 、 三种.判别方法如下： 判别方法（一）根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：dr ；d=r ；dr .判别方法（二）利用一元二次方程的判别式与0的大小关系：0 ；=0 ；0 .当直线与圆相交时，弦长公式是弦长l= .当直线与圆相切时，切线方程的求法： 过圆上一点P(x0,y0)的切线方程的求法：这时切线只有一条!通常用“替换法则”： 过圆外一点P(x0,y0)的切线方程的求法：这时切线总有两条!通常用点斜式，但要讨论斜率存在与否.在求斜率时，通常有两种方法： 圆心到切线的距离等于半径；切线方程与圆方程联立消去一元得到另一元的二次方程后令判别式=0.注意：不论用哪一种，如果求出的斜率k只有一解，说明另一条切线的斜率不存在. 已知圆C方程及圆的切线的斜率K，如何求切线方程？通常用斜截式方程，即设切线方程为y=kx+b，仿照上面（中的两点，任选其一）求出b. 圆与圆的位置关系： 设C1、C2的半径分别是r1、r2，圆心距|C1C2|=d，则：外 离 外 切 相 交 内 切 内 含两圆相交时公共弦所在直线方程的求法： .两圆相切时过切点的公切线方程的求法： .过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,则切线长t= 或 .(十一) 过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,切点为A、B，则直线AB方程为 .四、椭圆：椭圆的定义、方程和性质：定 义yy标准方程 B1B2B2A2B1A2A1A1l2l1l2l1F2F1oxF2F1ox图 形范 围顶 点焦 点焦 距中 心长短轴长a、b、c的关系对 称 性离 心 率定 义离 心 率公 式准线方程焦点到准线的距离 在椭圆第一定义中,注意“2a|F1F2|”这个条件,若2a=|F1F2|,这时动点轨迹是 . 椭圆的两个标准方程 、， 这两个标准方程可以合并为一个：Ax2+By2=1 （A0，B0，且AB）.椭圆上任一点到一焦点的最大距离是 ；最小距离是 .椭圆的焦点弦长最大值是 ；最小值是 . 两个重要结论：yA1xoPA2B 椭圆长轴的两个端点为A1、A2,短轴的一个端点是B, P是椭圆上任一点,则A1PA2A1BA2；yF1xoPF2B 椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点是B, P是椭圆上任一点,则F1PF2F1BF2.五、双曲线：双曲线的定义及性质： 定 义标准方程 A2A1F1F2l1l2A2A1F2l2l1F1o图 形范 围顶 点焦 点焦 距中 心实轴虚轴长a、b、c的关系对 称 性离 心 率定 义离 心 率公 式准线方程焦点到准线的距离渐 近 线方 程 在双曲线的第一定义中，应注意“差的绝对值”及“2a|F1F2|”.若仅仅是“差是定值“，则动点轨迹是双曲线的一支；若2a=|F1F2|（其中a0），则动点轨迹是两条射线.双曲线的两个标准方程、， 这两个标准方程可合并为一个：Ax2By2=1 （AB0）在双曲线的性质中要记住：等轴双曲线的标准方程可设为 ，它的离心率e= .共渐近线问题： 以直线y=x为渐近线的双曲线方程为 与双曲线共渐近线的双曲线方程为 .六、抛物线：抛物线的定义、标准方程、性质：定 义图 形标准方程范 围焦点坐标准线方程对称轴方程顶点坐标离 心 率 抛物线的标准方程有四个，y2=2px(p0), x2=2py(p0),其中p是焦点到准线的距离. 焦点在x轴上的两个方程y2=2px(p0),可合并为：y2=ax(a0),焦点F(),准线x=； 焦点在y轴上的两个方程x2=2py(p0),可合并为：x2=ay(a0), 焦点F(),准线y=.
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