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【专题十】化归思想【考情分析】化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.【知识交汇】化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。从而求得原问题的解决。化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。它的基本形式有：化未知为已知；化难为易，化繁为简；化高维为低维；化抽象为具体；化非规范性问题为规范性问题；化数为形，化形为数；化曲为直；化实际问题为数学问题；化综合为单一；化一般为特殊等。匈牙利著名数学家罗莎彼得在他的名著无穷的玩艺中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了”。 化归思想是指问题之间的相互转化。前苏联著名数学家C.A.雅诺夫斯卡娅，有一次向奥林匹克竞赛参加者发表了什么叫解题的演讲，她的答案显得惊人地简单，完全出乎人的意料：“解题就是把题归结为已经解决过的问题”，这句话实际上就是体现了化归思想。因此化归的常用模式为 问题A问题B问题A的解答问题B的解答 转化 对 象 目 标 解答【思想方法】一、将未知的问题转化归结为已知的知识【例1】设若方程中的cosx有两个不同的符号,求实数k的取值范围。【分析】令cosx=t,则由得方程中的cosx有两个不同的符号，等价于关于t的方程(1)在有异号两根,设,则原问题又等价于, 由此可得【评注】将未知的问题向已知的知识转化，并使未知和已知的知识发生联系，使之能用熟悉的知识和方法解决新的问题。这种转化经常可达到事半功倍的效果。例如要求空间两条异面直线所成的角，只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角。又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题，再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等。二、数形之间的转化【例3】讨论方程的实数解的个数.分析:此题若从代数的角度去解恐怕是无从下手,我们不妨利用数形结合来考虑看会怎么样？此题可转化为求函数图象与函数图象的交点个数的问题.解:作出函数的图象,如右图所示,函数为水平直线,由图形可知:当时,解的个数是; 当或时,解的个数是; 当时,解的个数是; 当时, 解的个数为3;【评注】注意数形的相互转化，使数形达到和谐的统一，以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵，便于发现和解决实质问题。某些代数问题、三角问题，往往潜在着几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念，复杂的数量关系几何直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。三、特殊与一般的相互转化在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_解析：这里顶点是椭圆上的动点，所以、不易确定。但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为点在特殊位置（椭圆短轴端点）来处理较易。当然：注意到A、C是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果.答案：顶点取椭圆短轴端点，即 ，则，点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用。【评注】对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。四、正与反的相互转化 若下列方程：，=0中至少有一个方程有实根. 试求实数a的取值范围.分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种：三个方程均没有实数. 先求出反面情况时a的范围，取所得范围的补集就是正面情况的答案.解：设三个方程均无实根，则有 解得所以当时，三个方程至少有一个方程有实根.【评注】对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。五、实际问题向数学问题的转化归结【例6】某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（1）由题意可知，当时，即，每件产品的销售价格为元.2020年的利润 （2）时，.，当且仅当，即时，.答：该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.【评注】将实际问题转化为数学问题，使之能用数学理论解决具体的实际问题。解答数学应用问题。要善于调整应用题中的条件关系和题型结构，使问题化难为易，化繁为简。若有些较复杂的应用题采用直接设元列方程转化较困难，则可合理地设置间接未知数来设法进行转化，以寻求解决问题的新途径。【专题演练】1若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。 2. 方程y=x33x=a有相异三个解，求a的取值范围.3. 曲线y=1+ (2x2)与直线y=r(x2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 .4. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.【参考答案】1. 解: 令，则要使它对均有，只要有 或。2. 解：.提示：f(x)=3x23=3(x1)(x+1)易确定f(1)=2是极大值，f(1)=2是极小值.当2a2时有三个相异交点.3. 解：解析：方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x2)+4为过（2，4）的直线.答案：（4. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y，则由条件y=(k0为比例系数)其中a、b满足2a+4b+2ab=60 要求y的最小值，只须求ab的最大值.由(a+2)(b+1)=32(a0,b0)且ab=30(a+2b)应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)4ab18，当且仅当a=2b时等号成立将a=2b代入得a=6,b=3.故当且仅当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a+4b+2ab=60,得,记(0a30)则要求y的最小值只须求u的最大值.由，令u=0得a=6且当0a6时，u0，当6u30时u0,在a=6时取最大值，此时b=3.从而当且仅当a=6，b=3时,y=取最小值.
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