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2020年红河州高中毕业生统一检测理科数学试卷第卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出，求出与的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【详解】集合中的不等式，解得： 集合，故选：D【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2.2.纯虚数满足，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，由复数的模和共轭复数的概念，结合复数相等的条件，解方程可得，进而得到所求的共轭复数【详解】由题意，设，则 则复数相等的条件可得 故选B.【点睛】本题考查复数的模和共轭复数的概念，以及复数相等的条件，考查运算能力，属于基础题3.3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出出现向上的点数之和大于8的偶数包含的基本事件的个数，由此能求出出现向上的点数之和大于8的偶数的概率【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数 ，出现向上的点数之和为大于8的偶数包含的基本事件有： ，共有 个，出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率故选B【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用4.4.等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由的首项，前项和为，求出，可得 ，再求数列前10项和【详解】的首项，前项和为， 解得 故数列的前项和为 故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础5.5.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推， 例如6613用算筹表示就是： ，则26337用算筹可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据新定义直接判断即可【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则26337用算筹可表示为，故选：B【点睛】本题考查了新定义的学习，属于基础题6.6.在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【详解】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点。 故选【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.7.7.若满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，由的几何意义，计算目标函数的最小值【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，则的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，点到直线的距离最小，由点到直线距离公式，可得，所以 ，所以的最小值为故选D.【点睛】本题主要考查了线性规划以及两点间的距离公式应用问题，利用数形结合是解题的关键8.8.执行如图所示的程序框图，输出的结果的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出满足条件时的值，模拟程序的运行结果，即可得到答案【详解】模拟程序的运行，可得： 满足条件，执行循环体， ；满足条件，执行循环体， ；满足条件，执行循环体，；满足条件，执行循环体，；，观察规律可知：出现周期为4，当 时，结束循环输出，即输出的故选：B【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，其中利用模拟程序执行过程的方法，求解程序的运行结果是解答此类问题常用的方法，属于基础题9.9.已知双曲线 的一个焦点为，椭圆的焦距为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得 ，代入可得椭圆的方程，由焦距可得关于的方程，解之可得【详解】由题意可得，且 ，解得，故椭圆的方程可化为，故其焦距或，解得 ，或 （此时方程不表示椭圆，舍去），故故选C【点睛】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的焦距和椭圆的焦距，属中档题10.10.若命题“，”为假命题，则的取值范（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】命题“，”是假命题，可得：，为真命题由此可求的取值范围.【详解】，为假命题，等价于，为真命题不妨设： 由，知，从而于是，即，故选【点睛】本题考查了简易逻辑的应用、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.11.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，根据对应的长方体求出外接球的半径，由柱体、球体的体积公式求出该几何体的体积与其外接球的体积之比【详解】由三视图可知该几何体如图中的三棱锥，三棱锥外接球的直径，从而，于是，外接球的表面积为，所以该几何体的体积与外接球的表面积之比为,故选【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力12.12.设函数，给定下列命题： 若方程有两个不同的实数根，则；若方程恰好只有一个实数根，则； 若，总有恒成立，则；若函数有两个极值点，则实数.则正确命题的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，零点，极值以及恒成立问题.【详解】对于，的定义域，令有即，可知在单调递减，在单调递增，且当时，又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，所以，故正确对于，易知不是该方程的根，当时，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，又且，令，即，有，知在和单减，在上单增，是一条渐近线，极小值为。由大致图像可知或，故错对于 当时，恒成立，等价于恒成立，即函数在上为增函数，即恒成立，即在上恒成立，令，则，令得，有，从而在上单调递增，在上单调递减，则，于是，故正确.对于 有两个不同极值点，等价于有两个不同的正根，即方程有两个不同的正根，由可知，即，则正确.故正确命题个数为3，故选.【点睛】本题考查利用导数研究函数有关性质，属于基础题目解题时注意利用数形结合，通过函数图象得到结论第卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.13.在中，且的面积为，则_.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式，代入题中数据算出，再根据余弦定理加以计算，可得|【详解】由面积，可得，由余弦定理可得，所以.【点睛】本题给出三角形的一边、一角，在已知面积的情况下求另一边长着重考查了余弦定理、三角形的面积公式等知识，属于基础题14.14.若，则的二项展开式中的系数为_【答案】180【解析】，则的二项展开式中，的系数为即答案为15.15.设函数是定义在上的周期为的奇函数，当时，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性与奇偶性可得，分析可得的值，进而分析可得，由函数的解析式计算可得答案【详解】由函数是定义在上的周期为的奇函数知，从而，令，可得，可得，故2.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，注意求出的值是解题的关键.16.16.已知经过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，且，若直线被圆所截得的弦长为，则_.【答案】或6【解析】【分析】由题设直线方程为，代入有，设，则根据可得，结合韦达定.理可得，又由直线被圆所截得的弦长为，即可求出【详解】抛物线的焦点，设直线方程为，代入有，设，从而 ， 由可得，联立可得，于是直线方程为，即，从而圆心到直线的距离为，又圆的半径为，弦长为4，从而有，解得或6.【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线被圆所截得的弦长的求法，属于中档题三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.17.已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】（）设数列的公差为，令得，所以.令得，所以.解得，所以（）由（）知所以所以两式相减，得所以考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.视频18.18.某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图（物理成绩用表示，化学成绩用表示）（图1）和生物成绩的茎叶图（图2）. （图1）住校生 非住校生 2 6 9 8 5 4 4 3 1 7 4 5 7 7 9 9 6 5 8 2 2 5 7 （图2）（1）若物理成绩高于90分，我们视为“优秀”，那么以这20人为样本，从物理成绩优秀的人中随机抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；（2）若化学成绩高于80分，我们视为“优秀”，根据图1完成如下列联表，并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；住校非住校优 秀非优秀附：（,其中）（3）若生物成绩高于75分，我们视为“良好”，将频率视为概率，若从全年级学生中任选3人，记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量，求出的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）没有；（3）.【解析】【分析】（1）由图（1）可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人.记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件，利用古典概型可求至少有1人是住校生的概率；（2）根据题意列出列联表，求出，即可判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；（3）由图（2）可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为， 故从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数服从二项分布，由此可求的分布列和数学期望.【详解】（1）由图（1）可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人.记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件，则. （2）列联表为住校非住校优 秀84非优秀26计算， 经查表, 故没有95%的把握认为优秀率与住校有关； （3）由图（2）可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为， 故从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数服从二项分布，分布列为（或）：0123数学期望为.【点睛】本题考查古典概型，独立性检验及二项分布的有关知识，属中档题.19.19.如图所示，三棱锥中，平面平面，是边长为的正三角形，是顶角的等腰三角形，点为的上的一动点.（1）当时，求证： ；（2）当直线与平面所成角为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明；取中点为，连接，由为正三角形知，由余弦定理可证，即平面，即可证明 ；（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明；取中点为，连接，由为正三角形知，在中，可得，中，由余弦定理可得，从而，即， 所以平面，于是 ，即 ； （2）由（1）知平面，则与平面的夹角为，在直角中，可得，则点为线段的中点， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（由（1）知点为靠近的三等分点）,则点，从而， 于是，设平面的一个法向量为，则，即，不妨取，得， 又平面的一个法向量为，从而，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属中档题.20.20.设分别是轴，轴上的两个动点，点在直线上，且，.（1）求点的轨迹的方程；（2）设点，过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），若与的斜率分别为，试判断是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，则由知，由从而，即由，得到动点的轨迹的方程（2）设直线方程为，且，集合韦达定理可求得为定值.【详解】（1）设，由知， 从而，即， 由知，联立可得，即为点的轨迹的方程.（2）设直线方程为，且，联立可得，从而，于是，又，故为定值.【点睛】本题考查曲线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21.21.已知函数，其中常数（）当，求函数的单调递增区间； （）设定义在上的函数在点处的切线方程为， 若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，当时，试问是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）函数的单调递增区间是，单调递减区间为；（）当时，函数存在“类对称点”【解析】试题分析：（）求出函数的导数，结合的范围求出函数的单调区间即可；（）法一：时，求出的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当时，结合函数的单调性求出即可；法二：猜想存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可.试题解析：（）解 函数的定义域为，因为所以， 因，由，即得或， 由得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间为；（）解法一：当时，所以在点处的切线方程为 令则易知； 又 =0则当时，令，则，所以函数在上单调递减，所以当时，从而有时，；当时，令，则，所以在上单调递减，所以当时，从而有时，；所以当时，函数不存在“类对称点”。 11分当时，所以在上是增函数，当时，当时，故恒成立所以当时，函数存在“类对称点”.（）解法二当时，所以在点处的切线方程为若函数存在“类对称点” 则等价当时，当时恒成立 当时恒成立，等价于恒成立即令而 要使在恒成立，只要在单调递增即可所以，即当时恒成立，同理可得， 所以所以函数存在“类对称点”，其中一个“类对称点”横坐标为. 选考题：请考生在第22、23两道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线：，过点且倾斜角为的直线与曲线分别交于两点（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）若成等比数列，求的值【答案】（1），为参数）；（2）1.【解析】【分析】（1）利用极坐标转化为普通方程求解（2）把参数表达式代入曲线C得出普通方程，利用韦达定理求解得出即可【详解】（1）可变为，曲线的直角坐标方程为 直线的参数方程为为参数）为参数）.（2）将直线的参数表达式代入曲线得, 又， 由题意知：，代入解得【点睛】本题考查了参数，极坐标方程的运用，转化为普通方程求解，属于基础题选修45：不等式选讲23.23.设函数.（1）若的解集为，求实数的值；（2）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论的符号，求出的值即可；（2）令，通过讨论的范围，得到函数的单调性，求出的最小值，从而求出的范围即可【详解】（1），即， ,当时，即，无解,当时，令，解得 ,综上： .（2）当时，令 ,当时，有最小值，即,存在，使得不等式成立，等价于，即，所以.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数以及分类讨论思想，是一道中档题
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