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单元质量检测(五)一、选择题1下面有四个命题：如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；数列，通项公式是an；数列的图象是一群孤立的点；数列1，1,1，1，与数列1,1，1,1，是同一数列其中正确命题的个数是()A1B2C3 D4解析：中an.中显然是两个不同的数列故、正确，故选B.答案：B2(2020青岛一检)已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m为()A12 B8C6 D4解析：由等差中项性质可得a3a6a10a13324a8，故a88，则m8.答案：B3(2020济南二调)在各项都为正数的等比数列an中，a13，前三项的和S321，则a3a4a5()A33 B72C84 D189解析：由题可设等比数列的公比为q，则211qq27q2q60(q3)(q2)0，根据题意可知q0，故q2，所以a3a4a5q2S342184.答案：C4(2020汕头一模)记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5C31 D33解析：因为等比数列an中有：S32，S618，即1q39，故q2，从而1q512533.答案：D5(2020日照二调)在等差数列an中，若a1a5a9，则tan(a4a6)()A. B.C1 D1解析：由数列an为等差数列可知，a1a5a93a5a5，又a4a52a5，所以tan(a4a6)tan，故选A.答案：A6如果数列an的前n项和Sn(3n2n)，那么这个数列()A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列解析：依题意，Sn(3n2n)()n1，a1S1.当n2时，anSnSn1()n()n1()n1.n1时适合，an()n1.故an是等比数列而不是等差数列答案：B7在数列an中，a11，a22，an2an1(1)n，那么S100的值等于()A2500 B2600C2700 D2800解析：据已知当n为奇数时，an2an0an1，当n为偶数时，an2an2ann，故an，故S100(111(24650502600.答案：B8(2020哈师大附中模拟)已知an是递增数列，对任意的nN*，都有ann2n恒成立，则的取值范围是()A(，) B(0，)C(2，) D(3，)解析：结合二次函数f(x)x2x，可知开口向上，对称轴是，要使f(x)在1，)递增，只需1，但由于ann2n中nN*，故只需3.答案：D9数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于()A2n1 B2n11C2n1 D4n1解析：由于anan112n12n1，那么ana1(a2a1)(anan1)122n12n1.答案：A10已知各项都为正数的等比数列an的公比不为1，则anan3与an1an2的大小关系是()Aanan3an1an2D不确定的，与公比有关解析：因为anan3an(1q3)，an1an2an(qq2)，anan3(an1an2)an(1q3qq2)an(1q)(1q2)an(1q)2(1q)0.答案：C11已知数列an满足an1，且a1，则该数列的前2020项的和等于()A. B3015C1005 D2020解析：因为a1，又an1，所以a21，从而a3，a41，即得an，故数列的前2020项的和等于S20201005(1).答案：A12(2020杭州模拟)数列an中，a11，a513，an2an2an1；数列bn中，b26，b33，bn2bnb，在直角坐标平面内，已知点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，P3(a3，b3)，Pn(an，bn)，则向量P2020P2020的坐标为()A(3009,8()10021)B(3009,8()10031)C(3009,8()10031)D(3008,8()10031)解析：由题意知an为等差数列，a5a14d，1314d，d3，an3n2，an1and3.数列bn为等比数列，b3b2q，36q，q，b112，bn12()n1，bn112()n，bn1bn12()n12()n112()n()n112()n，P2020P2020(a2a1，b2b1)(a4a3，b4b3)(a2020a2020，b2020b2020)(31003，12()()3()2020)(3009，12)(3009,8()10031)答案：C二、填空题13已知等比数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，若a22，a1a516，则S5_.解析：因为a1a5a16，故a34，再由a22不难得到a11，q2，故S531.答案：3114(2020佛山二检)已知an是公比为q的等比数列，若a71，且a4，a51，a6成等差数列，则实数q_.解析：由题得a4a62a522a52a72(a4qa6q)，所以q.答案：15把49个数排成如下图所示的数表，若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a441，则表中所有数的和为_.a11a12a17a21a22a27a71a72a77解法一：a11a12a177a14，同理a21a22a277a24，a71a72a777a74，而a14a24a747a44，故所有数字和为7(a14a24a74)49a4449.解法二：由题意分析，不妨设各个格中的数都为1，则符合题意要求，所以表中所有数字之和为49.答案：4916已知an()n，把数列an的各项排成如下图所示三角形形状，记A(m，n)表示第m行、第n列的项，则A(10,8)_，a120在图中的位置为_a1a2a3a4a5a6a7a8a9解析：求A(10,8)即第10行第8个数，可先寻找前9行共多少个数，由题意知前9行共13517981个数，所以第10行第8个数是总的第89个数即()89；注意到前10行共有1351910100个数，第11行共21个数，故a120是第11行第20个数答案：()89A(11,20)三、解答题17数列an是首项a14的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2|an|，Tn为数列的前n项和，求Tn.解：(1)当q1时，S312，S28，S416，不成等差数列q1时，得2q2q3q4，q2q20，q2.an4(2)n1(2)n1.(2)bnlog2|an|log2|(2)n1|n1.Tn()()().18已知数列an满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bnan30，求数列bn的前n项和的最小值解：在数列an中，2an1anan2，an为等差数列，设公差为d，由，得.ana1(n1)d4n2，bnan302n31n15时，bn0.bn的前15项和的最小为225.19(2020潍坊二检)已知等差数列an和正项等比数列bn，a1b11，a3a5a79，a7是b3和b7的等比中项(1)求数列an、bn的通项公式；(2)若cn2anb，求数列cn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题设知a3a5a79，3a59，a53.则d，ana1(n1)d.a74.又ab3b716，bb3b716，又b50，b54，q44，又q0，q，bnb1qn12.(2)cn2anb(n1)2n1，Tnc1c2cn232422(n1)2n1，2Tn22322n2n1(n1)2n，得，Tn22222n1(n1)2n(n1)2n1n2n.Tnn2n.20已知数列an中，其前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求Sn57时n的取值范围解：(1)n，an，Sn成等差数列，Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2)，anSnSn12an2an11(n2)，an2an11(n2)，两边加1得an12(an11)(n2)，2(n2)又由Sn2ann得a11.数列an1是首项为2，公比为2的等比数列an122n1，即数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，Sn2ann2n12n，Sn1Sn2n22(n1)(2n12n)2n110.Sn1Sn，Sn为递增数列由题设，Sn57，即2n1n59.又当n5时，26559，n5.当Sn57时，n的取值范围为n6(nN*)21职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)(1.192.36,1.1102.59)解：设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)元第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)2元第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)9元根据题意可得：xx(110%)x(110%)2x(110%)920000(110%)10x3258.每年应还款3258元22在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，对一切正整数n，点Pn在函数y3x的图象上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn(1)求点Pn的坐标；(2)设抛物线列C1，C2，C3，Cn，中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn(0，n21)记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求.解：(1)xn(n1)(1)n，yn3xn3n，Pn(n，3n)(2)Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，设Cn的方程为ya(x)2.把Dn(0，n21)代入上式，得a1，Cn的方程为yx2(2n3)xn21.kny|x02n3，()，()()()().
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