B4积分形式的基本方程学习教案

会计学1B4积分积分(jfn)形式的基本方程形式的基本方程第一页，共55页。控制体：相对于某参照坐标系不随时间变化（控制体：相对于某参照坐标系不随时间变化（定常流）的封闭曲面中所包含的流体（在涡轮定常流）的封闭曲面中所包含的流体（在涡轮机进出口所限定的体积内的气体机进出口所限定的体积内的气体(qt)(qt)）。控）。控制体的边界为控制面。制体的边界为控制面。质量体的体积和界面为质量体的体积和界面为D(t)D(t)，(t)(t)，不是时，不是时间的函数。性质：间的函数。性质：控制体的几何形状和体积均不变。控制体的几何形状和体积均不变。控制体的界面可有流体流入或流出（相当热控制体的界面可有流体流入或流出（相当热力学中的开系统）。力学中的开系统）。控制体的边界面有力的相互作用。控制体的边界面有力的相互作用。控制体的边界面可有能量交换（热交换或外控制体的边界面可有能量交换（热交换或外力作功）。力作功）。第1页/共55页第二页，共55页。局部导数局部导数/ /t t：控制体内某物理量总和随时间的增长：控制体内某物理量总和随时间的增长率。如控制体内总质量率。如控制体内总质量: : 其局部导数：其局部导数：随体导数随体导数( (物质导数物质导数)D/Dt)D/Dt：质量体内某物理量总和对：质量体内某物理量总和对时间的增长率。如质量体内总质量时间的增长率。如质量体内总质量: :其随体导数：其随体导数：在流场中取一控制体在流场中取一控制体CV,CV,表面为控制面表面为控制面CS.CS.设设(r,t)(r,t)为系统内质量动量为系统内质量动量(dngling)(dngling)动量动量(dngling)(dngling)矩和能量等物理量在矩和能量等物理量在t t时刻的空间分布函时刻的空间分布函数数, ,在系统上的积分为在系统上的积分为: :NsysNsys为系统广延量为系统广延量( (系统质量动量系统质量动量(dngling)(dngling)动动量量(dngling)(dngling)矩和能量等矩和能量等) )第2页/共55页第三页，共55页。输运公式是把体系中与流体输运公式是把体系中与流体(lit)(lit)体积有有关的体积有有关的随流物理量的随流导数以控制体形式来表示。随流物理量的随流导数以控制体形式来表示。定理任一瞬时，质量体内物理量定理任一瞬时，质量体内物理量Q Q的随体导数的随体导数等于该瞬间形状、体积相同的控制体内物理量的局等于该瞬间形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。部导数与通过该控制体表面的输运量之和。随体导数随体导数 = = 局部导数局部导数 + + 控制面上的输运量控制面上的输运量说明某瞬时间控制体内的流体说明某瞬时间控制体内的流体(lit)(lit)所构成所构成的体系，它所具有的随流物理量的随流导数，等于的体系，它所具有的随流物理量的随流导数，等于同一瞬间控制体中所含同一随流物理量的增加率与同一瞬间控制体中所含同一随流物理量的增加率与该物理量通过控制面该物理量通过控制面A A的净流出率之和。的净流出率之和。若流体若流体(lit)(lit)为定常为定常, ,局部导数为局部导数为0:0:第3页/共55页第四页，共55页。对固定的不变形的控制体：体积元不随时间变化对固定的不变形的控制体：体积元不随时间变化, ,局部局部(jb)(jb)导数的微分和积分运算可互换导数的微分和积分运算可互换: :对匀速运动的控制体对匀速运动的控制体: :坐标系固结在控制体上坐标系固结在控制体上, ,迁移项迁移项的速度为相对速度的速度为相对速度: :控制面的选取控制面的选取: :取在物理量已知的位置上或需求解的取在物理量已知的位置上或需求解的位置上位置上. .取控制面与速度矢量互相垂直取控制面与速度矢量互相垂直. .当流场有界时当流场有界时, ,取包含流体取包含流体系统的简单形状控制体系统的简单形状控制体.(.(如图中如图中CV2)CV2)CV2CV1第4页/共55页第五页，共55页。系统质量为系统质量为定义定义 ：质量体是封闭，总质量不变。：质量体是封闭，总质量不变。 利用运输公式利用运输公式, ,得积分得积分(jfn)(jfn)形式的连续性形式的连续性( (质量质量) )方程：方程：说明控制体内流体质量的增长率，等于通过控制面的说明控制体内流体质量的增长率，等于通过控制面的流体净流进率。流体净流进率。第5页/共55页第六页，共55页。对固定不变形的控制对固定不变形的控制(kngzh)(kngzh)体体: :根据高斯公式根据高斯公式: :得：得：取积分值为取积分值为0,0,有微分形式的连续性方程有微分形式的连续性方程: :第6页/共55页第七页，共55页。不可压流体流动不可压流体流动(为常数为常数) )：容积：容积(rngj)(rngj)流量不流量不变。变。说明对不可压流体流动，当不存在内部源时说明对不可压流体流动，当不存在内部源时, ,经经过控制面流进控制体的流体容积过控制面流进控制体的流体容积(rngj)(rngj)流量流量, ,等等于流出控制体的流体容积于流出控制体的流体容积(rngj)(rngj)流量。对定常流量。对定常和非定常流都适用。和非定常流都适用。一维不可压流动连续性方程一维不可压流动连续性方程若控制面上有多个出入口若控制面上有多个出入口: :A1A2v1v2n1n2CS第7页/共55页第八页，共55页。0)(CSdAnv可压流体定常流（可压流体定常流（/t=0t=0）：质量）：质量(zhling)(zhling)流量流量不变。不变。对密度可变的定常流动对密度可变的定常流动: :表明表明: :对固定的控制体内的可压流体流定常流动对固定的控制体内的可压流体流定常流动, ,通过通过控制面净流出的流体质量控制面净流出的流体质量(zhling)(zhling)流量为流量为0. 0. 一维可压流动连续性方程一维可压流动连续性方程: :表示可压流体在管中作定常流动时表示可压流体在管中作定常流动时, ,在任一截面上的在任一截面上的质量质量(zhling)(zhling)流量守恒流量守恒. .若控制面上有多个出入口若控制面上有多个出入口: :第8页/共55页第九页，共55页。n2 n1 A2 A1 A侧 U1 U2 1 2流经流管截面的质量流量相等。流经流管截面的质量流量相等。表明定常不可压流中流入流管的体积流量等于流出表明定常不可压流中流入流管的体积流量等于流出流管的体积流量。流管的体积流量。一维定常流一维定常流(可压时可压时):通过通过(tnggu)各横截面的流量相各横截面的流量相等。等。 1V1A1 =2V2A 2 即即 VA = 常数常数定理在一维定常流中定理在一维定常流中,通过通过(tnggu)同同一流管任意截面上的流体质量一流管任意截面上的流体质量(或重量或重量)流量保持不变流量保持不变.对不可压流对不可压流(=常数常数): A1V1= A2V2= Q = 常数常数定理对不可压一维定常流中，流速随截面积缩小而定理对不可压一维定常流中，流速随截面积缩小而增大。增大。第9页/共55页第十页，共55页。当物体在流体中运动时当物体在流体中运动时, ,常将控制体固结在物体上常将控制体固结在物体上一起运动一起运动, ,速度改用相对速度速度改用相对速度, ,可得到运动控制体形可得到运动控制体形式的连续性方程式的连续性方程: :若控制面上若控制面上(min shn)(min shn)有多个出入口有多个出入口: :第10页/共55页第十一页，共55页。poopV例容器中的空气经管道向外界排气。例容器中的空气经管道向外界排气。已知管道出口处气流密度和压强为均匀分布，已知管道出口处气流密度和压强为均匀分布，速度则按抛物线规律分布速度则按抛物线规律分布V=Vm(1-r2/ro2),V=Vm(1-r2/ro2),容器和管道的总容积为容器和管道的总容积为0.32 m2, 0.32 m2, 排气管半径排气管半径ro=0.025m, ro=0.025m, 当容器当容器po=1.4po=1.4* *105Pa, 105Pa, ToTo=277.8K,=277.8K,测得管道出口气流最大速度测得管道出口气流最大速度Vm=32m/s,Vm=32m/s,求此时排出的空气流量及容器中空气密度的时间变化率。求此时排出的空气流量及容器中空气密度的时间变化率。解：设解：设Q Q为排出的空气流量，则：为排出的空气流量，则： Q= Q= VdA = oroVm(1- r2/ro2)2VdA = oroVm(1- r2/ro2)2rdr = rdr = ro2Vmro2Vm = o=po/RTo = o=po/RTo故：故：Q= = Q= = ro2Vm po/RTo=0.0552 (kg/s)ro2Vm po/RTo=0.0552 (kg/s)利用利用(lyng)(lyng)连续方程得连续方程得: v: v（/t)dv = -Qt)dv = -Q因为空气密度是均匀分布的因为空气密度是均匀分布的, ,则则: (: (/t)dv = -Qt)dv = -Q /t= -Q/v=-0.0552/0.32=-0.17(kg/m3.s)t= -Q/v=-0.0552/0.32=-0.17(kg/m3.s)负号表示空气密度是随时间而减少的。负号表示空气密度是随时间而减少的。第11页/共55页第十二页，共55页。B4.3 B4.3 伯努利方程伯努利方程(fngchng)(fngchng)及其应用及其应用B 4 . 4 B 4 . 4 积 分 形 式 的 动 量 方 程积 分 形 式 的 动 量 方 程(fngchng)(fngchng)及其应用及其应用第12页/共55页第十三页，共55页。无粘无粘, ,重力场重力场: :整理得整理得: :由几何关系由几何关系(gun x):(gun x):沿流线沿流线s s方向的质点导数方向的质点导数: :无粘性流体沿流线的运动微分方程无粘性流体沿流线的运动微分方程( (一维欧拉运动一维欧拉运动方程方程):):spgdzdssyzxOv第13页/共55页第十四页，共55页。沿流线积分沿流线积分: :得得: :欧拉运动方程欧拉运动方程(fngchng)(fngchng)沿流线积分的积分沿流线积分的积分( (适合适合于可压无粘不定常流动于可压无粘不定常流动):):伯努利方程伯努利方程(fngchng)(fngchng)(沿流线沿流线):):流线上任两点流线上任两点: :应用条件应用条件: :无粘流无粘流; ;定常流定常流; ;重力场重力场; ;沿流线沿流线; ;不可压不可压流流. .第14页/共55页第十五页，共55页。1. 1. 物理物理(wl)(wl)意义意义2. 2. 几何意义几何意义位能位能(重力势能重力势能(zhn l sh nn)压能压能(压强势能压强势能)动能动能总势能总势能机械能机械能H线线-总水头总水头Hp线线水头线水头线0元线元线0z位置高度位置高度(高度水头高度水头)测压管高度测压管高度(压强水头压强水头)流速高度流速高度(速度水头速度水头)第15页/共55页第十六页，共55页。理想流体运动微分方程在一般情况下是不能积分的，理想流体运动微分方程在一般情况下是不能积分的，只有在几种特殊流动只有在几种特殊流动(lidng)(lidng)情况下才能进行积分情况下才能进行积分( (称为伯努利方程称为伯努利方程) )（1 1）定常流中运动微分方程沿流线的积分：）定常流中运动微分方程沿流线的积分： V2/2 + V2/2 + （1/)dp -U = C (1/)dp -U = C (沿流线沿流线) )或或 (V22-V12)/2 +12 (V22-V12)/2 +12（1/)dp +(U1- U2)= 0 (1/)dp +(U1- U2)= 0 (沿沿流线流线) )（2 2）无旋流动）无旋流动(lidng)(lidng)中运动微分方程的积分：中运动微分方程的积分： d ( d (/ /t)+d (V2/2) = dU - t)+d (V2/2) = dU - （1/)dp 1/)dp 积分得积分得, ,理想流体非定常无旋流动理想流体非定常无旋流动(lidng)(lidng)伯努利伯努利方程方程: : / /t+V2/2 +t+V2/2 +（1/)dp-U=C(t) (1/)dp-U=C(t) (整个流场整个流场) )第16页/共55页第十七页，共55页。 （2 2）方程与）方程与(1(1）方程相比）方程相比, ,多了非定常项多了非定常项, ,且积分常数在整个流场相同且积分常数在整个流场相同; ;如果流动是定常流如果流动是定常流, ,有旋流沿流线的积分伯努有旋流沿流线的积分伯努利方程和无旋流的伯努利方程在形式上完全一利方程和无旋流的伯努利方程在形式上完全一样样, ,仅是积分常数不同仅是积分常数不同, ,前者为沿流线前者为沿流线C C为常值为常值, ,后者则整个流场后者则整个流场C C都为常值。都为常值。理想流体一维定常流动的为无旋流，故整个流理想流体一维定常流动的为无旋流，故整个流场场C C都为常值。都为常值。欧拉运动欧拉运动(yndng)(yndng)微分方程：微分方程： gdz+dp+VdV= 0gdz+dp+VdV= 0 gz+V2/2 +dp =C(t) ( gz+V2/2 +dp =C(t) (整个流整个流场场) )第17页/共55页第十八页，共55页。ACB【例】在海平面上【例】在海平面上,有均匀流流过一个机翼有均匀流流过一个机翼,远前方直匀流的远前方直匀流的静压静压p=p=101200N/s,流速流速v=100m/s。已知。已知A，B,C三点的速度三点的速度(sd)分别是分别是vA=0,vB=150m/s, vC=50m/s 。解解:流动是无旋的流动是无旋的,伯努利常数全场通用伯努利常数全场通用,由远前方条件得由远前方条件得 p0=p+(v)2/2=101200+1.225*(100)2/2 = 107325N/s2 这是通用全场的常数。于是：这是通用全场的常数。于是：pA= p0-(vA)2/2 =107325N/s2 p B = p 0 - ( v B ) 2 / 2 = 1 0 7 3 2 5 -0.6125*22500=935438N/s2pC= p0-(vC)2/2 =107325-1531=105794N/s2第18页/共55页第十九页，共55页。COrDBApp+(p/r)drv有二维绕其固定轴线的旋转流动有二维绕其固定轴线的旋转流动, ,其其v v正比于正比于半径半径r,r,即即v v=kr,=kr,求证伯努利常数求证伯努利常数C C是是r r的函数。的函数。解：伯努利常数解：伯努利常数C C为：为： C = p + v C = p + v2/22/2对半径取导数：对半径取导数： C/C/r = r = p/p/r + vr + vv v / /r r p/p/r r必须平衡微团的离心力必须平衡微团的离心力, ,则则: :(p+(p+p/p/r)(r+dr)dr)(r+dr)d-1/2p+p+(-1/2p+p+(p/p/r)drr)dr(r+dr-r)d(r+dr-r)d-prd-prd =v =v2/r(r+r+dr)/2 d2/r(r+r+dr)/2 ddrdr左侧第二项是左侧第二项是ADAD面和面和BCBC面上面上(min shn)(min shn)的压力在的压力在r r向的投影向的投影. .略去二阶小量略去二阶小量, ,得：得： p/p/r = vr = v2/r2/r代入代入C/C/r r式式, ,并将并将v v=kr=kr代入得代入得: : C/C/r = 2k2rr = 2k2r该流动为有旋流该流动为有旋流, ,在柱坐标中微团角速度为在柱坐标中微团角速度为: : =1/2(=1/2(v v / /r 1/rr 1/rvr /vr / + v + v /r ) =1/2(k+k)=k /r ) =1/2(k+k)=k则则: : C/C/r = 2r = 2 v v 【说明】在有旋流场上【说明】在有旋流场上, ,伯努利常数跨流线是要变的。伯努利常数跨流线是要变的。第19页/共55页第二十页，共55页。1.1.沿流线法线方向的速度压强关系沿流线法线方向的速度压强关系(gun x)(gun x)式式由几何关系由几何关系(gun x):(gun x):整理得整理得: :沿流线法线方向有压强梯度沿流线法线方向有压强梯度: :沿流线的法线方向的伯努利方程沿流线的法线方向的伯努利方程: :应用条件应用条件: :无粘流无粘流; ;定常流定常流; ;沿流线法线方向沿流线法线方向; ;不可压流不可压流. .ssspppgdzdssyzxOv第20页/共55页第二十一页，共55页。非均匀流非均匀流: :渐变流和急变流渐变流和急变流; ;渐变流渐变流: :流体质点的迁移加速度很小的流动流体质点的迁移加速度很小的流动, ,即流线近即流线近于平行直线的流动于平行直线的流动. .否则为急变流否则为急变流. .当流线为直线时当流线为直线时,R,R得得: : ( (沿流线法线方向沿流线法线方向) )表明表明: :不可不可(bk)(bk)压无粘流作直线定常运动时压无粘流作直线定常运动时, ,沿流线沿流线法线法线方向的压强变化规律与方向的压强变化规律与静压强的分布规律相同静压强的分布规律相同. .渐变渐变(jinbin)急变急变渐变渐变第21页/共55页第二十二页，共55页。沿流束的伯努利方程沿流束的伯努利方程: :用平均速度用平均速度V V代替不均匀的速度分布代替不均匀的速度分布, ,引入动能修正因引入动能修正因子子: : 得得: :沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程应用条件应用条件: :无粘流无粘流; ;定常流定常流; ;不可不可(bk)(bk)压流压流; ;A1A1和和A2A2截面符合缓变流条件截面符合缓变流条件( (其他截面允许有急变流其他截面允许有急变流).).112200u2u1z1z2dA1dA2第22页/共55页第二十三页，共55页。1 2 Hvh. . .将流体动能转化为压能将流体动能转化为压能, ,从而通过测压计测定流体运动速度。从而通过测压计测定流体运动速度。解：毕托管为弯成直角形状的细管，开口正对来流解：毕托管为弯成直角形状的细管，开口正对来流方向方向, ,水流冲击使毕托管中水柱上升水流冲击使毕托管中水柱上升(shngshng)(shngshng)。若在毕托管。若在毕托管口前口前1 1点处立一个测压管，其静压水头点处立一个测压管，其静压水头p/g=H p/g=H 。设在毕托管管口前设在毕托管管口前1 1点速度为点速度为v v，压强为，压强为p=gHp=gH。毕托管管口后毕托管管口后2 2点是速度为点是速度为0 0的驻点，驻点压强为的驻点，驻点压强为p0=gp0=g（H+hH+h），此时管中的水柱高），此时管中的水柱高p0/g=H+hp0/g=H+h称为总水头。称为总水头。对对1 1，2 2点列伯努利方程得：点列伯努利方程得： p/g + v2/2g = p0/g p/g + v2/2g = p0/g 或或 p + v2/2 = p0 p + v2/2 = p0说明：一点上的总压强等于静压强与动压强之和。说明：一点上的总压强等于静压强与动压强之和。可得：可得： v2/2g = v2/2g =（p0-pp0-p）/g=1/gg/g=1/gg（H+hH+h）-gH = h-gH = h则则v2/2gv2/2g称为速度水头，可用一段水柱高表示，等于毕托管中总水头与测压管中静水头之差。称为速度水头，可用一段水柱高表示，等于毕托管中总水头与测压管中静水头之差。第23页/共55页第二十四页，共55页。A1 A2 HU2U1 当测定流动的进口与喉部压差和进口与当测定流动的进口与喉部压差和进口与喉部的面积喉部的面积(min j),可计算通过文丘里管的流量。可计算通过文丘里管的流量。解：流动是定常、理想和不可压，假定管截面流速解：流动是定常、理想和不可压，假定管截面流速均匀分布。均匀分布。由不可压流连续方程：由不可压流连续方程：U1A1= U2A2伯努利公式：伯努利公式： p1/1g + U1/2g +z1 = p2/2g + U2/2g +z2文丘里管水平放置（文丘里管水平放置（ z1 = z2 ）：）： (p1 - p2)/=(U2 U1)/2 = U2/2(A2/A1)U2/2流量计测得：流量计测得： p1 - p2 =(-)gH (为为U形管中液体密度。形管中液体密度。)第24页/共55页第二十五页，共55页。A1 A2 HU2U1 U2=2(U2=2(-)gH/(1-(A2/ A1)2)1/2-)gH/(1-(A2/ A1)2)1/2Q = A2U2 = A22(Q = A2U2 = A22(-)gH/(1-(A2/ -)gH/(1-(A2/ A1)2)1/2A1)2)1/2对粘性流体：对粘性流体：Q = A22(Q = A22(-)gH/(1-)gH/(1-（A2/ A1)2)1/2 A2/ A1)2)1/2 （为修正为修正(xizhng)(xizhng)系数系数0.90.9）如已知如已知H=5cmH=5cm汞高汞高,A2/ A1=1/4,A2=50cm2,=0.92,A2/ A1=1/4,A2=50cm2,=0.92,求通过文丘里管的流量。求通过文丘里管的流量。汞与水的密度比：汞与水的密度比：/=13.6/=13.6U2=2U2=212.612.69.89.80.05/(1-(0.25)2)1/2=3.63 0.05/(1-(0.25)2)1/2=3.63 m/sm/sQ = A2 U2 =0.92Q = A2 U2 =0.920.0050.0053.63=0.0167m3/s3.63=0.0167m3/s第25页/共55页第二十六页，共55页。水头水头(shutu)(shutu)形式的沿总流伯努利方程形式的沿总流伯努利方程: :位能位能(重力势能重力势能(zhn l sh nn)压能压能(压强势能压强势能)平均动能平均动能平均势能平均势能平均机械能平均机械能第26页/共55页第二十七页，共55页。gpZHp总水头线总水头线: :粘性流体的总水头线沿程单调下降粘性流体的总水头线沿程单调下降(xijing),(xijing),用水力坡度用水力坡度J.J.测压管水头线测压管水头线: :用测压管水力坡度用测压管水力坡度Jp.Jp.HHp水头水头(shutu)线线00z1位置高度位置高度(高度水头高度水头)测压管高度测压管高度(压强水头压强水头)流速高度流速高度(速度水头速度水头)H1z2H2hw沿程损失沿程损失伯努利方程伯努利方程第27页/共55页第二十八页，共55页。无粘性不可压不定常流动时无粘性不可压不定常流动时, ,除动能除动能, ,位能和压强势位能和压强势能能(shnng)(shnng)外外, ,还包括由不定常流动产生的惯性力还包括由不定常流动产生的惯性力所作的功所作的功. .沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程: :一维平均流动的水头形式一维平均流动的水头形式:(:(沿流束沿流束) )单位重量流体的当地加速度引起的水头单位重量流体的当地加速度引起的水头变化变化 , ,积分沿流束积分沿流束( (流管流管) )进行进行. .惯性惯性(gunxng)水头水头动能动能单位重量单位重量流体的惯流体的惯性水头性水头位能位能压强势能压强势能第28页/共55页第二十九页，共55页。B4.3 B4.3 伯努利方程伯努利方程(fngchng)(fngchng)及其应用及其应用B 4 . 4 B 4 . 4 积 分 形 式 的 动 量积 分 形 式 的 动 量(dngling)(dngling)方程及其应用方程及其应用伯努利方程伯努利方程(fngchng)第29页/共55页第三十页，共55页。流体的空间分布流体的空间分布( (单位体积流体的动量为单位体积流体的动量为v),v),流体流体系统的动量为系统的动量为流体系统的动量方程为流体系统的动量方程为: :对固定对固定(gdng)(gdng)不变形的控制体不变形的控制体系统动量的随体导数系统动量的随体导数: :对固定对固定(gdng)(gdng)不变形的控制体的流体动量方程不变形的控制体的流体动量方程: :定常流定常流: :体积体积(tj)力和表面力和表面力力体积力体积力为重力为重力Psys(t0)Sys(t)CSFCV第30页/共55页第三十一页，共55页。沿一维流管的定常流动沿一维流管的定常流动, ,净流出控制体控制面净流出控制体控制面CSCS的动量流量为的动量流量为: :沿流管的定常流动动量积分式沿流管的定常流动动量积分式: :沿流管的定常流动动量方程沿流管的定常流动动量方程( (一维定常流动动量方程一维定常流动动量方程):):动量方程：质量体内动量增长动量方程：质量体内动量增长率等于该瞬时作用在质量体上率等于该瞬时作用在质量体上的外力的外力(wil)(wil)(体积力和表面力体积力和表面力) )之和。之和。A1A2v1v2n1n2CSF动量修正动量修正(xizhng)系数系数=1.0一维可压流一维可压流:mout= min= m第31页/共55页第三十二页，共55页。定理在定常流中，作用在控制体上全部定理在定常流中，作用在控制体上全部外力的合力外力的合力(hl),(hl),等于从控制面流体动量的等于从控制面流体动量的流出率与从控制面流体动量的流入率之差值流出率与从控制面流体动量的流入率之差值。 F = Q(V2-V1) F = Q(V2-V1)在重力场在重力场: : F = F F = F表面力表面力+ F+ F重力重力+ p1A1+ p2A2= + p1A1+ p2A2= Q(V2-V1),Q(V2-V1),直角坐标系直角坐标系: Fx = Q(Vx2-Vx1) : Fx = Q(Vx2-Vx1) Fy = Q(Vy2-Vy1) Fy = Q(Vy2-Vy1) Fz = Q(Vz2-Vz1) Fz = Q(Vz2-Vz1)第32页/共55页第三十三页，共55页。当控制面具有当控制面具有(jyu)(jyu)多个一维出入口的控制体上的多个一维出入口的控制体上的定常流动定常流动: :第33页/共55页第三十四页，共55页。 n1 n2 p2 U2 U1 p1 x y o D C B A 121.1.理想不可压流流过水平弯管的定常流理想不可压流流过水平弯管的定常流弯管入弯管入, ,出口面积出口面积A1,A2,A1,A2,入口流速入口流速U1U1和和压强压强p1,p1,流体密度流体密度,弯管转角弯管转角。流动时弯管上的合力：流动时弯管上的合力：F = -gVk -F = -gVk -（p1+U12p1+U12）A1n1 A1n1 （p2+U22p2+U22）A2n2A2n2合力合力= =垂直力垂直力( (弯管内水重弯管内水重)+)+水平力水平力( (弯管动量变化和弯管动量变化和压强合力压强合力) )直角坐标系直角坐标系: :流体对管道的作用力为流体对管道的作用力为 FRx=p1A1sin FRx=p1A1sin1p2A2cos1p2A2cos2+q(v1sin2+q(v1sin1-1-v2cosv2cos2)2) FRy=p2A2sinFRy=p2A2sin2p1A1cos2p1A1cos1+q(v2sin1+q(v2sin2v1c2v1cosos1)1)作用力作用力FdFd及与及与x x轴正向轴正向(zhn xin)(zhn xin)的夹角的夹角: : FR=FRx2 + FRy21/2FR=FRx2 + FRy21/2 =tg-1(Fy/ Fx=tg-1(Fy/ Fx第34页/共55页第三十五页，共55页。特例特例1 1直角变径弯管道直角变径弯管道 1=1=2=0,q=v1A1=v2A2: 2=0,q=v1A1=v2A2: FRx= (p2+v22)A2 ,FRy=(p1+v12)A1 FRx= (p2+v22)A2 ,FRy=(p1+v12)A1特例特例2 2直角等径弯管道直角等径弯管道 1=1=2=0,A=A1=A2 2=0,A=A1=A2 ,q=vA: ,q=vA: FRx= (p2+v2)A ,FRy= (p1+v2)A FRx= (p2+v2)A ,FRy= (p1+v2)A特例特例3 3反向等径弯管道反向等径弯管道1=0,1=0,2=1802=180,A=A1=A2,A=A1=A2,q=vA,v=v1=v2: FRx= 0, FRy=(p1+ p2+2v2)A q=vA,v=v1=v2: FRx= 0, FRy=(p1+ p2+2v2)A 特 例 特 例 4 4 逐 渐 逐 渐 ( z h j i n )( z h j i n ) 收 缩 直 管 道收 缩 直 管 道1=0,1=0,2=902=90,q=v1A1=v2A2:,q=v1A1=v2A2: FRx= 0, FRy=(p1+v12)A1 (p2+v22)A2 FRx= 0, FRy=(p1+v12)A1 (p2+v22)A2 特例特例5 5等径直管道等径直管道 1=0,1=0,2=902=90,A=A1=A2,q=vA,A=A1=A2,q=vA,v=v1=v2 : FRx= 0, FRy=(p1-p2)Av=v1=v2 : FRx= 0, FRy=(p1-p2)A第35页/共55页第三十六页，共55页。V1V2p1p1yxFxFyFdo例在弯成例在弯成9090度的收缩管中有水流，度的收缩管中有水流，水流流量为水流流量为78.5kg/s78.5kg/s。若忽略水流自身的重量，管进。若忽略水流自身的重量，管进口截面直径为口截面直径为10cm10cm，水压为，水压为4.94.9* *105pa105pa，出口截面直，出口截面直径为径为8cm8cm，水压为，水压为4.24.2* *105pa105pa，求水流对管壁，求水流对管壁(un (un b)b)的作用力。的作用力。解：取控制体的侧表面为水在弯管内流动的边界，它解：取控制体的侧表面为水在弯管内流动的边界，它的两个端截面与水流速度方向垂直，则由动量方程得的两个端截面与水流速度方向垂直，则由动量方程得： Fx + p1A1 = Q(0- V1) Fx + p1A1 = Q(0- V1) Fy + p2A1 = Q(-V2-0) Fy + p2A1 = Q(-V2-0)第36页/共55页第三十七页，共55页。V1V2p1p1yxFxFyFdo而由质量流量得：而由质量流量得： V1=Q/1A1=78.5/(1000 V1=Q/1A1=78.5/(1000* *3.143.14* *0.12/4)=100.12/4)=10（m/sm/s） V2=Q/2A2=78.5/(1000 V2=Q/2A2=78.5/(1000* *3.143.14* *0.082/4)=15.60.082/4)=15.6（m/sm/s） Fx = 4.9 Fx = 4.9* *105105* * 3.14 3.14* *0.12/4+ 78.50.12/4+ 78.5* *10=4640(N) 10=4640(N) Fy =4.9 Fy =4.9* *105105* * 3.14 3.14* *0.082/4+ 78.50.082/4+ 78.5* *15.6=3330(N) 15.6=3330(N) 水流对管壁水流对管壁(un b)(un b)的作用力的作用力: Fd =(-Fx)2 + (-: Fd =(-Fx)2 + (-Fy)21/2 Fy)21/2 =(4640)2 + (3330)21/2 = 5712(N) =(4640)2 + (3330)21/2 = 5712(N) 作用力作用力FdFd与与x x轴正向的夹角轴正向的夹角: : = tg-1(Fy/ Fx)= tg-1(3330/ 4640)=35 = tg-1(Fy/ Fx)= tg-1(3330/ 4640)=354040第37页/共55页第三十八页，共55页。 d n y x U2 U1 U U n2 n1 d1 d2 E D C A B F射流射流(shli)(shli)速度速度U,U,宽度宽度d,d,密度密度和环境压强和环境压强pa,pa,平板法向与射流平板法向与射流(shli)(shli)交角交角。作用在单位厚度平板上的合力则：作用在单位厚度平板上的合力则：-U2d(icos+jsin)+U12d1j-U22d2j=-F-U2d(icos+jsin)+U12d1j-U22d2j=-FF =U2dcosi F =U2dcosi ， d1- d2 = dsin d1- d2 = dsin联立联立d=d1+d2d=d1+d2得：得：d1=d(1+sin)/2d1=d(1+sin)/2，d2=d(1-sin)/2d2=d(1-sin)/2特例特例1 1射流射流(shli)(shli)垂直于固定平板垂直于固定平板令令= 0:FRx= U2d, FRy= 0= 0:FRx= U2d, FRy= 0特例特例2 2射流射流(shli)(shli)垂直于弯道垂直于弯道令出口流速方向与令出口流速方向与x x轴夹角为轴夹角为:FRx=U2d(1-cos :FRx=U2d(1-cos ),FRy=0),FRy=0特例特例3 3射流射流(shli)(shli)垂直于反向等径弯道垂直于反向等径弯道令出口流速方向与令出口流速方向与x x轴夹角轴夹角 =180 =180: FRx= 2U2d, FRy= 0: FRx= 2U2d, FRy= 0合力作用点合力作用点 y0=(d22-d12)/(2dcos)=dtg/2 y0=(d22-d12)/(2dcos)=dtg/2， x0=0 x0=0第38页/共55页第三十九页，共55页。F当控制体作均匀运动时当控制体作均匀运动时, ,流体动量方程流体动量方程(fngchng):(fngchng):定常流定常流: :具有多个一维出入口的控制体上的定常流动具有多个一维出入口的控制体上的定常流动: :第39页/共55页第四十页，共55页。B4.5 B4.5 积分形式积分形式(xngsh)(xngsh)的动量的动量矩方程矩方程B4.6 B4.6 积分积分(jfn)(jfn)形式的能量形式的能量方程方程第40页/共55页第四十一页，共55页。流体的空间分布流体的空间分布( (单位体积单位体积(tj)(tj)流体的动量为流体的动量为v),v),流流体系统的动量矩为体系统的动量矩为流体系统的动量矩方程为流体系统的动量矩方程为: :对固定不变形的控制体对固定不变形的控制体系统动量矩的随体导数系统动量矩的随体导数: :对固定不变形的控制体的流体动量矩方程对固定不变形的控制体的流体动量矩方程: :合力矩合力矩(l j)Lsys(t0)Sys(t)CSFCV第41页/共55页第四十二页，共55页。1.1.定常流动量矩方程定常流动量矩方程定常流动时定常流动时, ,动量矩随体导数中的当地项为动量矩随体导数中的当地项为0,0,只有迁移项只有迁移项. .动量矩方程为动量矩方程为: :2.2.定轴旋转定轴旋转(xunzhun)(xunzhun)流场动量矩方程流场动量矩方程由转轴产生的力矩由转轴产生的力矩Ts(Ts(轴矩轴矩):):忽略重力和表面力忽略重力和表面力, ,流动为定常流动流动为定常流动,(,(用于涡用于涡轮机械轮机械) )定轴旋匀速转流场动量矩方程为定轴旋匀速转流场动量矩方程为: :第42页/共55页第四十三页，共55页。2 d2 d1 ABCD已知叶轮已知叶轮Z Z个叶片等角速度个叶片等角速度旋转旋转, ,流体质量流体质量m,m,叶叶轮轮入出口直径入出口直径d1,d2,d1,d2,叶轮流入出相对速度叶轮流入出相对速度W1,W2,azW1,W2,az安安装装(nzhung)(nzhung)角角1,21,2。假定叶片很多很薄。假定叶片很多很薄, ,流动为平面流流动为平面流( (轴向轴向取单位长度取单位长度) )。旋转坐标固结叶轮上，控制体：。旋转坐标固结叶轮上，控制体：ABCDABCD。 控制体上的质量守恒：控制体上的质量守恒：故连续方程为故连续方程为: :其中其中A1=d1/ZA1=d1/Z，A2=d2/ZA2=d2/Z，极坐标：极坐标： 动量矩守恒动量矩守恒: :欧拉涡轮机方程欧拉涡轮机方程轴功率轴功率: :第43页/共55页第四十四页，共55页。2 r2 r1 V2uV1uV2V2rV1r用几何方法表示的速度用几何方法表示的速度(sd)(sd)关系式，求叶片的进出口相对速度关系式，求叶片的进出口相对速度(sd)(sd)。叶轮中流体质点的绝对速度。叶轮中流体质点的绝对速度(sd)C(sd)C为相对速度为相对速度(sd)W(sd)W和牵连速度和牵连速度(sd)u(sd)u之和：之和： C = W + C = W +r r L= M L= M（r2C2cos2- r1W1cos1r2C2cos2- r1W1cos1） P= L= M P= L= M（u2C2 uu1C1 uu2C2 uu1C1 u） 如如P0P0，即，即u2C2 uu1C1 u0u2C2 uu1C1 u0，叶轮对流体做功，叶轮对流体做功压缩机；压缩机；如如P0P0，即，即u2C2 uu1C1 u0u2C2 uu1C1 u0，流体对叶轮做功，流体对叶轮做功涡轮机。涡轮机。对于旋转轴（对于旋转轴（z z轴）的动量矩方程：轴）的动量矩方程： Mz= m Mz= m（V2ur2 - V1ur1V2ur2 - V1ur1）叶轮机的功率叶轮机的功率:P= Mz = m(V2ur2-V1ur1)= m(V2uU2 - V1uU1):P= Mz = m(V2ur2-V1ur1)= m(V2uU2 - V1uU1)式中式中U2,U1uU2,U1u分别表示叶轮在分别表示叶轮在r2 , r1r2 , r1处的圆周速度处的圆周速度(sd)(sd)。外力对流过叶轮机的单位质量流体的作功量为：外力对流过叶轮机的单位质量流体的作功量为： P/m = V2uU2 - V1uU1 P/m = V2uU2 - V1uU1如果作用在流体上的外力矩为如果作用在流体上的外力矩为0 0，则：，则： V2ur2 = V1ur1 = Vur V2ur2 = V1ur1 = Vur第44页/共55页第四十五页，共55页。以非匀角速度旋转以非匀角速度旋转(xunzhun)(xunzhun)或出入口流动或出入口流动, ,考虑旋转考虑旋转(xunzhun)(xunzhun)坐标系的惯性力坐标系的惯性力. .旋转旋转(xunzhun)(xunzhun)的控制体的的控制体的动量矩方程为动量矩方程为: :忽略重力和表面力矩忽略重力和表面力矩, ,可简化为可简化为: :第45页/共55页第四十六页，共55页。系统系统(xtng)(xtng)能量关系为能量关系为: :流动系统流动系统(xtng):(xtng):系统系统(xtng)(xtng)能量能量: :流体系统流体系统(xtng)(xtng)的能量方程的能量方程: :系统系统(xtng)的能的能量量系统对外界系统对外界做的功做的功外界传外界传入热量入热量单位质量流体单位质量流体的储存能的储存能单位质量流体单位质量流体的内能的内能单位质量流单位质量流体的动能体的动能单位质量流体的单位质量流体的重力势能重力势能单位时间内单位时间内外界传入系外界传入系统的热能统的热能单位时间单位时间内系统对内系统对外界所作外界所作的功的功第46页/共55页第四十七页，共55页。对固定不变形对固定不变形(bin xng)(bin xng)的控制体系统能量的随体导数的控制体系统能量的随体导数: :固定控制体的流体能量方程固定控制体的流体能量方程: :流动为定常流动为定常( (或准定常或准定常):):粘性切应力粘性切应力(yngl)所做的所做的功率功率轴功率轴功率Esys(t0)Sys(t)CSQCVW第47页/共55页第四十八页，共55页。若有多个出入口截面上的物理量为均匀分布若有多个出入口截面上的物理量为均匀分布: :当出入口截面上的物理量为不均匀分布当出入口截面上的物理量为不均匀分布(e,V, z,p,(e,V, z,p,取平取平均值均值, ,而动能加修正因子而动能加修正因子(ynz),(ynz),通常取为通常取为1).1).若只有一对一维出入口若只有一对一维出入口: :单位单位(dnwi)质质量流体热能量流体热能率率单位质量流单位质量流体轴功率体轴功率单位质单位质量流体量流体磨擦功磨擦功率率第48页/共55页第四十九页，共55页。对不可压流体的一维定常流动对不可压流体的一维定常流动( (摩擦摩擦(mc)(mc)功可忽略且功可忽略且无外界输入轴功无外界输入轴功):):水头形式水头形式: :若不可压粘性流体若不可压粘性流体( (输入比轴功率输入比轴功率wsin):wsin):水头形式水头形式: :有用功有用功有用功的损失有用功的损失(snsh)(能量能量损失损失(snsh)能头损失能头损失(水头损失水头损失)hL=eL/g输入比轴功输入比轴功率的水头高率的水头高hs=wsin/g第49页/共55页第五十页，共55页。对吸收功对吸收功(+hs)(+hs)的机械的机械(jxi)(jxi)(泵泵):):对输出功对输出功(-hs)(-hs)的机械的机械(jxi)(jxi)(涡轮机涡轮机):):对一维可压定常流对一维可压定常流( (高度气体高度气体, ,可忽略重力影响可忽略重力影响),),绝热流能量方程绝热流能量方程: :第50页/共55页第五十一页，共55页。00z1z2p1p2a1122高程高程(gochng)z1处处的大气压的大气压高程高程(gochng)z2处处的大气压的大气压静压静压动压动压位位压压总压总压1.1.气流的伯努利方程气流的伯努利方程进行气流计算进行气流计算, ,用压强形式用压强形式: :压强损失压强损失:p:pw w= =ghghw w第51页/共55页第五十二页，共55页。考虑机械能变化考虑机械能变化, ,有能量输入有能量输入(shr)(shr)或输出的伯努利方或输出的伯努利方程程: :+Hm+Hm单位重量流体由流动机械获得机械能单位重量流体由流动机械获得机械能( (水泵的扬程水泵的扬程) )-Hm-Hm单位重量流体给予流动机械的机械能单位重量流体给予流动机械的机械能( (水轮机的作水轮机的作用水头用水头) )2211有能量有能量(nngling)输入总流输入总流有能量输出总流有能量输出总流1221第52页/共55页第五十三页，共55页。1122对有分流对有分流(fn li)(fn li)的总流的总流, ,当所取过流当所取过流断面为渐变流断面断面为渐变流断面, ,流速分布流速分布较均匀较均匀, ,考虑断面之间的水头考虑断面之间的水头损失损失, ,总流伯努利方程适用总流伯努利方程适用. .33第53页/共55页第五十四页，共55页。无粘性不可压非恒定无粘性不可压非恒定(hngdng)(hngdng)流体沿流线的伯努利流体沿流线的伯努利方程方程: :粘性不可压非恒定粘性不可压非恒定(hngdng)(hngdng)流体沿流线的伯努利方流体沿流线的伯努利方程程: :粘性非恒定粘性非恒定(hngdng)(hngdng)流体总流线的伯努利方程流体总流线的伯努利方程: :单位重量流体单位重量流体的惯性水头的惯性水头: :惯性惯性(gunxng)水水头头非恒定流非恒定流水头损失水头损失单位重量流体单位重量流体的惯性水头的惯性水头非恒定总流非恒定总流水头损失水头损失动量修正系数动量修正系数=1.0第54页/共55页第五十五页，共55页。