高等数学10章曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分教学目的：1 . 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积 分的关系。2 .掌握计算两类曲线积分的方法。3 .熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求 全微分的原函数。4 . 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算 两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公 式计算曲面积分。5 .知道散度与旋度的概念，并会计算。6 .会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。教学重点:1、 两类曲线积分的计算方法;2、 格林公式及其应用;3、 两类曲面积分的计算方法;4、 高斯公式、斯托克斯公式;5、 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。教学难点:1、 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系;2、 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3、 应用格林公式计算对坐标的曲线积分;4、 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分;应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。10.1对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在也加面内的一段曲线弧上 已知曲线形构件在点5 E处的线密度为（x y）求曲线形构件的质量把曲线分成小段 马 S2典（号也表示弧长）任取（，）s得第小段质量的近似值（,）四整个物质曲线的质量近似为M=之脩,心* /=1令 max ( Si s24 0则整个物质曲线的质量为这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义设2为万面内的一条光滑曲线弧 函数fCr。在上有界 在上任意插入一点列星M i把Z分在刀个小段.设第1个小段的长度为色 又（，）为第/个小段上任意取定的一点 作乘积f（ ）s, （i 1 2n）并作和刀）如果当各小/=1弧段的长度的最大值 0这和的极限总存在则称此极限为函数（x y） 在曲线弧2上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作，/（尤力力 即 1/（x，y）s=吧）/（刍，玲 4其中f（x。叫做被积函数2叫做积分瓠段设函数f（x/定义在可求长度的曲线N上 并且有界将/任意分成a个弧段S S2Sa并用S,表示第段的弧长在每一弧段s,上任取一点（j ）作和/（晶） f=l令 max S S2sj如果当。时这和的极限总存在则称此极限为函数f（x y）在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作即1/（x，y）s=!吧）2/（刍，学）”其中f（x分叫做被积函数L叫做积分瓠段曲线积分的存在性 当f(x y)在光滑曲线瓠上连续时 对弧长的曲线积分 (fay)杰是存在的 以后我们总假定f(x。在2上是连续的根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分心”)杰的值其中(x，)为线密度对弧长的曲线积分的推广 /(x，fz)A= lim JrXT()i=l如果2(或)是分段光滑的 则规定函数在2(或)上的曲线积分等于函数在 光滑的各段上的曲线积分的和例如设可分成两段光滑曲线弧乙及A则规 定L+心 可 (x，)s+L, /c i _I.闭曲线积分 如果是闭曲线 那么函数f(, 口在闭曲线2上对弧长的曲 线积分记作 /(x, y)ds对弧长的曲线积分的性质：性质1设Cl、C2为常数，则y)+c2g(x, y) k/5=q/(A-, y)6/5+c2 g(x,y)ds;性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧心和则Lf(x,y)ds= f(x,y)ds+jL f(x,y)ds;性质3设在L上/(xj)电(xj),则/ay）履特别地，有l/Cv, y）ds l（I /（x, y） I cis二、对弧长的曲线积分的计算法根据对瓠长的曲线积分的定义，如果曲线形构件L的线密度为八xj）,则曲线形构件L的质量 为f f（x,yyds.另一方面,若曲线L的参数方程为x=刈 J=，）（后印，则质量元素为/（X yds=力 W）, MO /。七）+“2 力,曲线的质量为即，/（x，y）ds =1/。），叭 1）1面2（/）+di.定理设/（xj）在曲线弧L上有定义且连续，的参数方程为x=W=Mf）（g响其中/）、内）在a/l上具有一阶连续导数，且消0+2）现则曲线积分 /（尤田杰存在, 且（/（X,）心=j /*），叭。1/炉飞）+承2sdi （OKfl）.证明（略）应注意的问题:定积分的下限a一定要小于上限及讨论：若曲线L的方程为产“x）（a04），则，/（x,yWs=?提示:L的参数方程为工。）=济）（。金幼）， /（X,加5=。区（X） J1 + w2（x）dx.（2）若曲线L的方程为=州）（，多）则（7（x,yls =?提示:L的参数方程为x=My）J=（c$4）, /（x，）公=，/I8。），川 Jw2（y）+i4v -若曲r的方程为x=a。j=f）/=以粗的仇,则 L/（xy，z）s=?提示:1f（ F Z）ds=J，f（pt w（t）,次示 Jd%） + 82&） + G2）， .例1计算j &ls淇中L是抛物线）02上点0（0,0）与点5（ 1,1）之间的一段弧.解曲线的方程为女2（0守）,因此J 6ds= 4xyl+（x2），2dx = xy/+4x2dx =-p-（5/5-l）.X乙例2计算半径为R、中心角为2演圆弧L对于它的对称轴的转动惯量“设线密度为-1).解取坐标系如图所示，则/ = J乙廿小.曲线L的参数方程为x=Rcosn ”-必& a).于是 / =R2 sin2 8J(-Rsin6)2 + (Reos。)%6 =R f s in2 OclOR a-sin acos a).J-a例3计算曲线积分其中r为螺旋线xnzcosf、y=asnty z=kt上相应于t从0到达2诚一段弧.解在曲线r上有/铲+z2=mcosf)2asim)2+(Af)2m2必2代并且ds=s ill Z)2 + ( c os/)2 +k2dt=yjcr+k-dt,于是+ y2 + )ds = (a2+k2t2)Ja2+k2dt=7ryl(r+k-(3ci - +4/r2k 2).小结:用曲线积分解决问题的步骤：建立曲线积分；写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)，确定参数的变化范围;将曲线积分化为定积分；(4)计算定积分.10.2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功：设一个质点在X。1面内在变力F(xj)=P(xj)i+axj力的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动 到点功试求变力Rxj)所作的功.用曲线L上的点4=4。/2尸/-认田把L分成个小弧段， 设有向线段44+I的长度为Asa,它与x轴的夹角为则A4* =cos,sin a与 (A=0J,2,l).显然，变力&XJ)沿有向小弧段所作的功可以近似为尸(，”)44+i=P(/，”)cos+Q(“,”)sinr/A% ；于是，变力“rj)所作的功一】t n-W=Z产区，)4A+i 念2P(，”)cos+Q*3”)sinJA= , 1人从而W=，P(x, y)cos r+0(A； y)sin rcls.这里占孔3)。5季皿力是曲线L在点(xj)处的与曲线方向一致的单位切向量.把L分成个小弧段:八人4；变力在L上所作的功近似为：F( & A*=P(岁,吓法xt+Q(&,利Av；变力在L上所作的功近似为：P得J + Q曙% )3 ; f=i变力在L上所作的功的精确值：卬=卬【尸(备，心 +。恪，/)1 A-M) . . 1=1其中4是各小弧段长度的最大值.提示：用4尸如必用表示从h的起点到其终点的的向量用用表示A*的模.对坐标的曲线积分的定义：定义设函数/(xj)在有向光滑曲线L上有界.把L分成个有向小弧段广/；小弧段以 的起点为(Xi-iji-i),终点为8ji)4BTr4y曰i-式殳机为心上任意一点,4为各小弧段长 度的最大值.如果极限Um /(枭利羽总存在，则称此极限为函数/=1/(xJ)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作J/ /(x，y)x,即 /(尤)岫=叫/咯,/).，人 ) /=1如果极限lim /4)上总存在，则称此极限为函数A 0 ./=1八Xj)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作/(A- y)dy，即Jj(x)力=吧)/，/)3 /=1设L为xO.y面上一条光滑有向曲线,cos守inz)是与曲线方向一致的单位切向量,函数尸(xj)、0(xj)在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在，我们就定义 尸(x,y)x=J/ P(x,y)cosrcls,J/ Q(x,yWy= Q(x,y)sin rds,前者称为函数尸(xJ)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q(xj)在有向曲线 L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.定义的推广：设为空间内一条光滑有向曲线,COS&COS以cos是曲线在点(XJ.)处的与曲线方向一致的 单位切向量,函数尸(xj,z)、0(xj/)、R(xjn)在r上有定义.我们定义(假如各式右端的积分存 在)P(x,y,zWx= P(x,y,Z)coss,LQ(x,y,zWy=L Q(x,y,z)cosA，s, 1R(x,y, zMz=R(x,y, z)cos*.)l=)/,如 心;， /=1(/a)，z)4v=吧/,必)助， 1=1J ja),zwz=j%*(4，%L .对坐标的曲线积分的简写形式：/ P(x,yMx+ Q(x,)，My=J/ P(x,y)dx+Q(x,y)dy;L P(x,y, zMx+1。(乂 y, z)y+R(x, a zMz=1P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)y+R(x, y, z)z .对坐标的曲线积分的性质：如果把L分成Li和八则J Pdx+Qdy=，Pdx+Qdy+ Pdx+Qdy.(2)设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧，则L P(x, ylx+Q(x, y)d =- P(.v, y)d.x+Q(x, yydy.两类曲线积分之间的关系：设cos朴ina为与同向的单位向量，我们注意到Ati, 小力力立,所以2f=cos & A? Wu in tj.ASr,JJ(x，丁 必户处) f&，/ )& n=1吧 W&7)csf4=/(x,y)cos)s,Jj(x)力=lim rrr=l=1 吧 Z/(MDsin r,Ay, = Jz /U y)sin rds. 0 f=l即(Pdx+Qdy= Pcosr+Qsin rds y或J/1 加=(Af杰.其中A=尸,？,/=cost;shi4为有向曲线瓠L上点(xj)处单位切向量Q=ds=dx的. 类似地有Pdx+Qcly+Rdz=Pcosa+Qcosj3+Rcos/ds 或卜dr =卜f dm4 ds.其中4=P,Q,R,T=cosacoscosy为有向曲线弧上点(x,y,z)处单 们切向量A为向量A在向量1上的投影.二、对坐标的曲线积分的计算：定理设P(xj)、0(X加是定义在光滑有向曲线Lh=aoj=M，)，上的连续函数，当参数，单调地由谈到网，点MCrj)从L的起点A沿L运动到终点凡则 Q(x,y)y=。)，必/)(。， .讨论:P(X, yXv+Q(x, y)4y=?提示:(P(x, y)dx+(2(x, y)dy=1),必/)(。+Q*), ”) ,.定理:若尸(xj)是定义在光滑有向曲线Lm= W)J=O(但耶上的连续函数,L的方向与t的增加方向一致，则 尸(x,y)x=jP(p(ty/(t)(pXt)dt.简要证明:不妨设心A对应于，点与曲线L的方向一致的切向量为所以 c osr=_n=5=，从而 P(x，)x= P(x, y)cosMs=(川夕().Ja应注意的问题：下限。对应于L的起点,上限网应于L的终点,a不一定小于2讨论：若空间曲线r由参数方程x=(p f)j=Mf),z=fiXO给出,那么曲线积分 P(x, y, zMx+。(乂 y, z)dy+R(x, y, z)dz =?如何计算提示:1P(x, y, z)dx+Q(x, y, ziy+R(k y, z.)dzJ Ct其中a对应于r的起点，网应于r的终点.例题：例L计算(冷dr,其中L为抛物线上从点41,-1)到点5(1,1)的一段弧.解法一:以x为参数，分为AO和OB两部分：AO的方程为y=-W ,x从1变到OpB的方程为尸我,x从0变到1.因此产a+J。户公=1 x(-y/x )dx+21：xdx=.第二种方法:以J为积分变量1的方程为xq2j从7变到1.因此卜必y2yG，2)，.y =2匕),44例 2.计算 J/)，2 dx.(DL为按逆时针方向绕行的上半圆周，+22；(2)从点4%0)沿x轴到点&T7,O)的直线段.解(1)L的参数方程为xncosaynzsinae从o变到兀(l-cos2)Jcos =-因此 y2dx=i2sin20(-ashO)(10 =丁 (2)L的方程为g=03从g变到-fl.因此()弘=0公=。例3计算2x)dx+x2dy .(1)抛物线ya?上从o(o,o)到5( 1,1)的一段弧;(2)抛物线丫=上从0(0,0)到5(1,1)的一段弧;从0(0,0)到4(1,0),再到R( 1,1)的有向折线OAB.解心)12从o变到l所以 2xydx+x2dy=(2x-x2+x22x)dx =4j3Jx=l.(2)L:xHj从。变到1.所以 2xydx+x2cly=(2y2-y-2y+y4)dy =5y4t/y=l.(3)O4：y=0,x 从 0 变到 l/3：x=l j 从 0 变到 1.Ixydx+dy =2xydx+x1dy+i2xydx+x2dy=J*(2x-0+x2 O)dx+，(2y- 0+l)Jy =0+1=1.例4.计算)/3公+302”),一凸也,其中是从点4(3,2,1)到点用0,0,0)的直线段A8.解:直线A3的参数方程为/从1变到0.所以所以/=(4)3.3+32/)2.2_(302 2力=87/3力=_号.例5.设一个质点在M(xj)处受到力F的作用，尸的大小与M到原点O的距离成正比，尸的方 向恒指向原点.此质点由点4。,。)沿椭圆圣+*=1按逆时针方向移动到点或。，求力产 所作的功所 例5.一个质点在力F的作用下从点4初)沿椭圆+=1按逆时针方向移动到点6r lr5(00)/的大小与质点到原点的距离成正比，方向恒指向原点.求力F所作的功W. 解:椭圆的参数方程为xnzcosTjMsi皿J从0变到-y.r=OM =xi+j tF =k-r-( )=-kxi + yj)t其中A0是比例常数.于是 W=j丽-kxdx-kydy=-kxdx+ydy.=一大(一。？ cosrsinr+Z?2sin/c ost)dt =k(a2 -b2-)/sin / cos tdt 告 3? -b-).三、两类曲线积分之间的联系由定义，得 Pdx+Qdy= (Pcosr+gsin t)ds = P.Q cosr,sin rds=F -dr,其中F=P,Q,T=cosz；sinT)为有向曲线弧L上点(xj)处单位切向量,4=诙=右,力. 类似地有Pdx+Qdy+Rdz=(Pcosct+Qcos/3+Rcosy)ds=P,。, K c osa, cos/7,c osy /=卜、 dr.其中F=P,QRJ=cosa,cosJ3yco为有向曲线弧上点(xj/)处单们切向量 ,d r=7Us=dx ,dy ,dz.10.3 格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域：设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于O,则称D为平面单连通区域，否 则称为复连通区域.对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下:当观察者沿L的这个方向行走时。内 在他近处的那一部分总在他的左边.区域。的边界曲线L的方向：定理1设闭区域O由分段光滑的曲线L围成，函数P(xj)及。(xj)在。上具有一阶连续偏导 数，则有d卷-君鹏.即+我, D-其中L是。的取正向的边界曲线.简要证明：仅就。即是x型的又是y型的区域情形进行证明.设0=(3)1%(丫讨他(。=幼.因为连续,所以由二重积分的计算法有oy)舒x4)，=篮:誓年的刈-小如刈好.另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有Pdx= Pd.x+Pdx=j P|x,0i(x)k/x+，/1x，92(x)ka=p Px,(px (x) - Px9(p2(x) dx.因此设D=(x必(力/多勃.类似地可证 簿2寸。代 由于。即是X-型的又是y一型的，所以以上两式同时成立,两式合并即得Pdx+Qdy.fn cQ_cP应注意的问题：对复连通区域O,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区 域。来说都是正向.设区域。的边界曲线为L,取尸6以2=;则由格林公式得2dxdy= xdy ydx，或 A=xdy-ydx.例1 .椭圆xncosayBsin而围成图形的面积A.分析:只要岁患，就有K卷博心力可，尸4.DD解:设D是由椭圆*=flcosejHsina所围成的区域.令嘘晋99 于是由格林公式,A = dxdy=i -ydx+xdy=i -ydx+xdy uJ 乙乙乙 JI)=g，； (absin20+abco 0)d646=加。.例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明/ 2xydx+x2dy=O.证:令P=2v,32,则丝一三=2工一2x=0. ox dy因此由格林公式有2不公+?办,=0(3，=()(为什么二重积分前有“土”号？)D例3.计算口6-吸/.山)，其中D是以0(0,0)4(1,1),3(0,1)为顶点的三角形闭区域.D分析:要使丝-只需尸=0, Q=xe 一匕 ex dy解:令P=0,Q=xe,则 4-也=。-产.因此，由格林公式有 ox dyjjeydxdy=jxeyZdy = |xey 1 dy=xexdx=(-el).DOA+AB+BO OA例4计算 .，； ；?其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.解.令尸=一 ：Q=一11一 则当丫2北2M 时有过二 厂 二2廨& x2 + y2，L x2 + y2(x2 + y2)2 6/记L所围成的闭区域为。.当(0,0)任。时，由格林公式得 %芋=。；当(0,0)6。时，在。内取一圆周/与V孑夕阳 由L及/围成了一个复连通区域5,应用格林 公式得/ xdy - ydx r xdy - ydx _ nk x2 + y2 )/ x2 + ,2 =，其中/的方向取逆时针方向.于是,必二单斗曳二华=广产c。七二sin? 6式Jl a- + y2 Ji x2 + y Jo厂解记L所围成的闭区域为D当（0,0摩O时,由格林公式得，安半叩印一冬Jl x- + y-ox 当（0,0）w。时，在。内取一圆周廿2K（）由心及/围成了一个复连通区域外,应用格林 公式得f黑Z华=|（孚_当公小,=0,Jl+/ x2 + y- J J dx oy/ xdy-ydx x2 + y2其中/的方向取顺时针方向.于时警冷X办一)x2+y2产 j2 c os2 8+r 2 s in 2 8=Jo 不(18 =2 兀分析:这里p=Vv,。=，当e+y2M时，有矍=上段=冬.x2 + y-x + y-ox （r + 俨）-dy二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关：设G是一个开区域,P（xj）、0（xj）在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任意指定的两个点A、8以及G内从点A到点5的任意两条曲线心、心,等式j Pdx+Qdy= Pdx+Qdy恒成立，就说曲线积分（Pc/x+。在G内与路径无关，否则说与路径有关.设曲线积分（小戊+。力在G内与路径无关人和J是G内任意两条从点A到点B的曲 线，则有，Pdx+Qdy = Pdx+Qdy ,因为j Pdx+Qdy=J Pdx+Qdyj Pdx+Qdy- Pdx+Qcly=O(Pdx+Qdy+J.Pdx+Qdy=0/一 Pdx+Qdy = 0, 所以有以下结论：曲线积分J/ Px+Q4y在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分 &/工+。四等于零.定理2设开区域G是一个单连通域，函数P(xj)及0(xj)在G内具有一阶连续偏导数，则曲 线积分J Pdx+Q)在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必 要条件是等式dP = dQ dydx在G内恒成立.充分性易证：若4=整，则 丝-e=0油格林公式,对任意闭曲线L, oy ox ox dy有 Pdx+Qdy=cQ_dP dx dy必要性: 假设存在一点MowG,使黑-管=金0,不妨设70, 则由冷竹的连续性，存在M.的一个感域U(Mo例使在此邻域内有警一:之多.于是沿邻域边界/的闭曲线积分 这与闭曲线积分为零相矛盾，因此在G内毁-宅=0.Pdx+Qdy=管-箓渥y当小。,ox dy应注意的问题：定理要求，区域G是单连通区域，且函数及0（xj）在G内具有一阶连续偏导数.如果这 两个条件之一不能满足，那么定理的结论不能保证成立.破坏函数尸、。及M、丝连续性的点称为奇点.oy dx例5计算（2仆公+/心，其中L为抛物线y=2上从o（o,o）到81,1）的一段弧.解:因为*=黑=2x在整个xO,面内都成立, 所以在整个xOj面内，积分，2mdr+M）,与路径无关 2xydx+x2dy= f 2xydx+x2dy+ | 2xydx+x2dy JLJOAJAB=fj2 心=1讨论:设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线/的方向为逆时针方向，问工dy-ydx97犷+厂=。是否一定成立?提示: 这里人法和。二人在点（。,。）不连续.因为当/+），2M时，禁忐旨春，所以如果（0,0）不在L所围成的区 域内，则结论成立，而当（0,0）在L所围成的区域内时，结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积曲线积分在G内与路径无关，表明曲线积分的值只与起点从点（X0J。）与终点（XM有关. 如果（尸八+Q力与路径无关，则把它记为即(Pdx+Qcly= Pdx+Qdy.若起点(xojo)为G内的一定点，终点(xj)为G内的动点，则(*)= Pdx+Qdy为G内的的函数.二元函数 (丫 J)的全微分为 du(x)=iix(x)dx+Uy(xy)dy.表达式P(xXix+Q(xy)dy与函数的全微分有相同的结构,但它未必就是某个函数的全微分.那么在什么条件下表达式尸(川心+。心期 是某个二元函数(xj)的全微分呢？当这样的 二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3设开区域G是一个单连通域，函数尸(xj)及Q(x加在G内具有一阶连续偏导数，则 P(xdx+Q(xdy在G内为某一函数(xj)的全微分的充分必要条件是等式 dP=Qdydx在G内恒成立.简要证明：必要性:假设存在某一函数”(XJ),使得d=P(x j 也珍 x jMy,皿- 6P d 例、 d2u d /du、 d2u则有-=)=- dy oy ox oxoy ox dx dyoyox因为票=黑、等二罢连续，所以 oxoy oy oyox oxd2u _ d2u即丝=丝 dxdy dydx , dy dx -充分性：因为在G内导=当，所以积分j P(x,)，Mx+Q(x, y)y J在G内与路径无关.在G内从点(xoj。)到点(“加的曲线积分可表示为考虑函数(Xj) =： ：P(x,y)dx+Q(.x,y)dy.因为： /(x,yMx+0(x,y)dy=J： 3闻,)+： P(x,Wa-,所以里=。(闻,)，)力+P(2岫 =P(x,)，). ox cxJyoarJq类似地有些=Q(x,y),从而d=P(xj)dr4Qxj)力.即P(xj)dHQxj)方是某一函数的全微分.求原函数的公式：(x,)，)=/：； /(x,y)dx+Q(x,yWy,(x,)，)=：尸区为必%+( Qx, y)dy,*,)，)=( 0(闻,)，)山，+,尸例6验证:W 在右半平面母。)内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数 解:这里尸=工,0=7 因为P、。在右半平面内具有一阶连续偏导数，且有y2-x2 _dP ox (x2 + y2)2 dy )所以在右半平面内,*是某个函数的全微分. 1取积分路线为从41,0)到5(。)再到C(xj)的折线，则所求函数为心)喧普冷。+c法呜问:为什么(耳皿)不取(0,0)?例6验证:在整个XO，面内用，2公+/丁力是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数. 解这里尸土巧比丹,因为尸、。在整个xOy面内具有一阶连续偏导数，且有QQdx=2xy=dPoy所以在整个xOj面内用2改比的,是某个函数的全微分.取积分路线为从。电0)到A(x,0)再到5(xj)的折线，则所求函数为”(a;),)=/；(卜2公+/)，力=0+ x2y/)=x2 ydy= A -思考与练习:L在单连通区域G内，如果P(u)和QCrj)具有一阶连续偏导数，且恒有空=”，那么 ox oy在G内的曲线积分j P(x, y)dx+ C(x, y)力是否与路径无关？在G内的闭曲线积分 P(x,yMx+Q(x,)，My是否为零？在G内P(a)dx4QxjMy是否是某一函数(xj)的全微分？2 .在区域G内除M。点外，如果P(xJ)和Q(xj)具有一阶连续偏导数，且恒有 垩=里。是G ox oy内不含Mo的单连通区域，那么在G内的曲线积分J P(苍y)x+Q(x,y)山、是否与路径无关？(2)在Gi内的闭曲线积分 P(x, y)x+Q(x,是否为零？(3)在Gi内P(xMdx&(xjMy是否是某一函数“(xj)的全微分？3 .在单连通区域G内，如果P(xj)和。(町，)具有一阶连续偏导数,霎，但丝- B非常简单，那么oy ox ox oy如何计算G内的闭曲线积分？如何计算G内的非闭曲线积分？计算（ si-2y）x+（e%osy-2My,其中L为逆时针方向的上半圆周庐0,104对面积的曲面积分一、对而积的曲而积分的概念与性质物质曲面的质量问题：设E为面密度非均匀的物质曲面，其面密度为/Xxyz）,求其质量：把曲面分成n个小块:ASi,AS,AS”（ASi也代表曲面的面积）；求质量的近似值:之喈（巩夕思W上任意一点）；J=1取极限求精确值:M = limGl为各小块曲面直径的最大值）.f=1定义设曲面是光滑的,函数於J.）在E上有界把E任意分成小块：AS1AS2,也代 表曲面的面积），在A5,上任取一点（殳加G如果当各小块曲面的直径的最大值4T）时，极限 山。三/（欧7，）&5；总存在，则称此极限为函数人0在曲面E上对面积的曲面积分或第 “7%一类曲面积分，记作JJy, z）S，即 yJJ/(x,yzMS = L)/(4，i，)3.其中/（xj幻叫做被积函数工叫做积分曲面.对面积的曲面积分的存在性：我们指出当r（x J在光滑曲面）上连续时对面积的曲面积分是存在的.今后总假定/（XJ0在上连续.根据上述定义面密度为连续函数/XXMZ）的光滑曲面E的质量M可表示为AXJ/）在上对面 积的曲面积分：y如果工是分片光滑的我们规定函数在E上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和.例如设可分成两片光滑曲面及2(记作=+%)就 规定Jf /(K 乂 z)“S=JJ f(x, y, z)S+“ /(x, z)dS.对面积的曲面积分的性质：设Cl、C2为常数，则EEE(2)若曲面2可分成两片光滑曲面及右,则JJ/U 乂 z)4S=Jj7(x, y,z)dS+JJ f(x, y,力dS ;工心工2设在曲面工上/(XJ.)&(X J A则JJ7(x，y，zWSJJg(x,y,zWS ； ZZ(4)卜/5 =4,其中4为曲面的面积.二、对面积的曲面积分的计算吧)*/恪，,，)/ = JJ7(x，yzMS.面密度为/(XJ的物质曲面的质量为M =另一方面，如果由方程zw(xJ)给出，浓xOy面上的投影区域为，那么质量元素为 fx, y, z(x.y) lA=fx, y, z(x, y)y)+y)dxdy.根据元素法,曲面的质量为M =JJ fix, y, z(x, y) Jl+z.?(x, y)+z；(x. y)dxdy. D因此 JJ f(x,3，, z)dS=Jj fx, y, Z(x, y) f+z*x, y)+/ (x, y)“W_y. ZD化曲面积分为二重积分:设曲面E由方程给出E在xOy面上的投影区域为。盯，函数ZN(x J)在Dxy上具有连续偏导数，被积函数在E上连续，则JJ/(X乂 zWS = jj fx, y,z(x, y)l+z；(x, y)+ zj(xt ydxdy . e%如果积分曲面E的方程为了=.也用少为在zOx面上的投影区域，则函数小”)在上对面 积的曲面积分为y,z/S = j| fx, y(z,x), z Jl+y“z, x)+)(z, x)dzdx.e 1%如果积分曲面2的方程为x=x(yfz)pyzyOz面上的投影区域,则函数j,z)在上对面 积的曲面积分为JJ /(X，y,z)dS = jj /x(y,z), 乂 zJl+x 2，,z)+X(y, z)dy/z. %例1计算曲面积分其中E是球面/+2+?2被平面Z=/MO0,在曲面的 左侧cos代O如果曲面的方程为xwU/),则曲面分为前侧与后侧,在曲面的前侧cosa0,在曲 面的后侧cosa0(AS)*. = -(*cosy3时/口0,所以（2）町=（Aoh.又因传，部6）是上的一点，故承）.从而有取刍，/）（2）冲=口4，小%，啕1。5）冲.f=lf=l令40取上式两端的极限,就得到jj R(x, y9 z)dxdy= jj 用工,y, z(x.y)dxdy.同理当取下侧时，有U R(x,y,z)aw)，=-JJ Rx,y,z(x.y)dxdy因为当。上侧时,cos）,（ASM=（A5）Q,当（4w，）wE时,从而有JJ R(x,)，,zMMv=i%f&4，/，)(A5i).n,Ei，=1=吧 2用外力（幻石）（45）0,=JJ Rx,y,z（x.y）dxcly.同理当取下侧时，有U R(x, y9z)c/xdy=-ff Rx, y9 z(x9y)c/xdy这是因为“Mcosa.cos以cos/=一Z.-ZV, l,cos/=J1+/+W Jl+zdS=Jl + zJ + Z 沁力,JjR(x,z)cos/S=JJ Ex.y.z(x,y)clxdy.类似地，如果由X 口仇z）给出，则有jj P(x，FZ)4v4z=JJ Px(y,z) jzMMz.如果由户也用给出，则有JJ。(尤) z)dzilx= Qx, y(z,x), zMzdx .应注意的问题:应注意符号的确定.例L计算曲面积分小以+俨依垢.必，其中E是长方体C的整个表面的外侧q=（xji）ioqgz,o$ 幼,心幺）.解:把C的上下面分别记为和%；前后面分别记为心和&；左右面分别记为Es和X6.Ei：Z=c（必）的上侧；2：z=o（o发生oq切）的下侧；3xmo令4,0夕女）的前侧；|了=0（ 04）电）的后侧；s：j=O（Oa90金=）的左侧.26：产切0*80上立）的右侧；除玄、2外，其余四片曲面在JOZ面上的投影为零，因此jjx2JyJz=|J y2dydz,+ x2dyd = jjcrdydz- JJ Oclydz. =a2bc.类似地可得JJ y2dz.dx=b2ac, jj zrdxdy=c2ab.于是所求曲面积分为加.例2计算曲面积分JP”小4），其中E是球面x2+.M+zLl外侧在+0户0的部分.y解把有向曲面E分成以下两部分：% :- V (XNOJNO)的上侧，% ： Z=-J1 一/一)2 (连心回)的下侧.S1和为在xO面上的投影区域都是Dxv2+y2l(xOjO).于是J xyzilxdy=Jj+jj xyzjclxdy工心五=JJ xyjl -I? 一), 2 dy - jj xy(-yl-x2 - y 2 )dxdy ,=2 jjxy-x1-y2dxdy=三.三、两类曲面积分之间的联系设积分曲面2由方程z=z(xj)给出的，浓xOj面上的投影区域为外，函数z=z(x J)在外上具 有一阶连续偏导数，被积函数&)4)在上连续.如果取上侧，则有Jj R(x,y, z)dxdy= Jj Rx, y, z(K y)dxdy.另一方面，因上述有向曲面E的法向量的方向余弦为4n 51cosa= r 1 = ,cosp= c .= ,cosy=,=Jl+z：+z1 Jl+z.+z Jl+z.+z：故由对面积的曲面积分计算公式有jj R(x, y, z)cos)tis = JJ Rx, y9 z(x9y)dufy由此可见，有JJ R(x, y, z)“Wy=JJ R(x, y, z)c os渣.ZE如果E取下侧，则有Jj R(x,y,z)aWy=-JJ Hx,y,z(x,y)Mxdy但这时cos/= 一：彳，因此仍有 yji + Z；+ZyJjR(x, y,z)t/.vJy=jJR(x, y, z)cos)tlS,类似地可推得JJ P(x, y, z)4)dz=JJ P(X, y, z)cosoz/S,JJQ(x, 丁泌=JJ P(x, 乂 Z)cos&/S .y综合起来有JJ Pdydz,+Qclz,dx+ Rdxdy= |J (Pcosa+Qcos/?+Rcosy)S ,其中cosa、cos.、cos癌有向曲面上点(xj/)处的法向量的方向余弦.两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式：JjAS=JjA-dS,或 JJaS=JJa/S, EE工工其中A=(P,Q/),=(cos%cos以cos”是有向曲面2上点(xj,z)处的单位法向量, ds=/s=(力称为有向曲面元人为向量A在向量n上的投影.例3计算曲面积分口(三+工)小心一盘必，其中E是E曲面2=1(9 +y2)介于平面z=O及z=2之间的部分的下侧. 解由两类曲面积分之间的关系，可得“ (z2 +xMydz=Jj a? +x)cos adS=jj(z2+x) dxdy.在曲面上，提示:曲面上向下的法向量为(xj,T)cosa =:, ,cosq=一、,dS=yj+x2 + y2dxcly.y+x2 + y2yll+x2 + y2故 JI(/ +x)dz-z4Mv=(z?+x)(-x)-zMyJf U2+,2)2 +x-x)(x2+y2) *Ixdy x2+y24 ,2=JJ x2 +x1+y2)lxdy dO(r2 cos2 0+r2)rdr=8/r. x2+y24202