2020年江苏省高三数学数列的概念复习整理

2020年江苏省高三数学数列的概念复习整理高考要求： 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。2、了解递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。3、理解与的关系。 4、掌握数列的表示方法，培养观察能力和化归能力考点回顾：1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示。（通项公式不唯一）3、数列的表示:(1) 列举法:如1,3,5,7,9;(2) 图解法:由(n,an)点构成;(3) 解析法:用通项公式表示,如an=2n+1(4) 递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-14、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列5、任意数列an的前n项和的性质Sn= a1+ a2+ a3+ + an 6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性考点解析：考点1、由数列的前几项写出通项EG1、仓库有一种堆垛方式，如图所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，请你写出堆放层数与盒数的关系_.(写出一个即可) 0 3 4 7 8 111 2 5 6 9 10B1-1n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2020到2020，箭头的方向依次为（ ）ABCD B1-2. 数列，的通项是_. B1-3黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖_ _块.B1-4.（2020年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有_个点.B1-5（2020年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .考点2、由递推关系式求通项EG2根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：（1）；（2）；（3）B2-1.已知数列满足，且，那么其前100项和等于 A B C DB2-2已知an是首项为1的正项数列，且，则它的通项an= . B2-3已知数列中，且满足（），则( )A16BC32 DB2-4. （湖南卷）已知数列满足，则=（ ）A0BCD考点3、由前n项和Sn求通项EG3若数列的前n项的和，那么这个数列的通项公AB、 C、 DB3-1.数列的前项和为，若n（）（） 求数列的通项公式；（） 设数列（3），求数列的前n项和Tn方法归纳：1给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归； 2数列前项的和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证是否适合实战训练 1、已知f(x)=bx+1为x的一次函数, b为不等于1的常数, 且g(n)=, 设an= g(n)- g(n-1) (nN), 则数列an是 ( ) A 等差数列 B等比数列 C 递增数列 D 递减数列2、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_，这个数列的前n项和的计算公式为_ 3已知，则 4在数列中，且，则 5（2020年全国卷II）函数f(x)的最小值为 ()（A）190 （B）171 （C）90 （D）456数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（）7在数列an中，a1=1，an+1=，求an.8.已知数列an的通项an=（n+1）（）n（nN）.试问该数列an有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.经典回顾1已知f（x）=（+）2（x0），又数列an（an0）中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn（nN*）对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn1）.（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=（nN*），求证（b1+b2+bnn）=1.2 已知数列an中，an（0，），anan12，其中n2，n*，求证：对一切自然数n都有anan1成立.实战训练参考答案：1B 2.当n为偶数时，；当n为奇数时， 3. 5.C 6.略.an=.8.数列an有最大项a9或a10，其值为10（）9，其项数为9或10. 32 等差数列高考要求：1、 理解等差数列的概念，2、 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，3、 并能解决简单的实际问题考点回顾：等差数列1定义：2通项：，推广：3前n项的和：4中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5简单性质:(1)(2)组成公差为的等差数列.(3)组成公差为的等差数列.考点解析考点1、等差数列的相关概念与性质EG1.在等差数列中,已知B1-1.若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数. B1-2.已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和考点2、通项公式与求和EG2数列的前n项和(1) 是什么数列? (2)设的前n项和.B2-1.数列的前项的和 ；求通项公式。B2-2若数列成等差数列，且，求考点3、等差数列的性质及应用EG3在等差数列中，其它的前项和，若 . B3-1等差数列an中，.记，则S13等于A168B156C152D78B3-2设Sn是等差数列的前n项和，若（ ） A1 B1 C2 D考点4、等差数列中的最值EG4、（1）设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S120，S13 B、 d3 C、 d3 D、 0),公比为q(q0),其前n项和为80,而其中最大的一项为54, B1-2 已知等比数列an中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an.2.关于等比数列的证明EG2.已知数列,Sn是它的前n项和,且(1)设,求证:数列是等比数列(2)设,求证:数列是等差数列B2-2、数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,写出的前5项 证明是等比数列B2-3 已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列：a，a，a，恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求k1k2k3kn.B2-4 设各项均为正数的数列an和bn满足5，5，5成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn.方法归纳：1涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量来处理； 2使用等比数列前项和公式时，必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似4在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求实战训练1等比数列an中，如果，则a1a9的值为A3B9C3D92在等比数列an中，等于（ ）ABCD3已知是各项均为正数的等比数列，且公比q1，则A=B= 的大小关系是（ ）AABBA0，d0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n。若a10，Sn有最小值，可由不等式组来确定。（二） 等比数列的性质。（4）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+m,an+2m,为等比数列，公比为qm。(5)等比数列的前n项和也构成一个等比数列，即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,为等比数列，公比为qn。考点解析：考点1、五个基本量的有关计算EG1已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=（ ） A4 B6 C 8 D10B1-1、已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 D （ ）A18 B36 C54 D72B1-2等比数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，若，则公比q等于 考点2、等差、等比数列的实际应用EG2、在等比数列an中，若a3，a9是方程3x2-11x+9=0的两根，则a6的值是 （ ）A3 B3 C D以上答案都不对B2-1设数列an是首项为50，公差为2的等差数列；bn是首项为10，公差为4的等差数列，以ak、bk为相邻两边的矩形内最大圆面积记为Sk，若k21，那么Sk等于（ ）A（2k+1）2B（2k+3）2C（2k+12）2D（k+24）2B2-2取第一象限内的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线ly=x（x0）的位置关系是（ ）A点P1、P2都在l的上方B点P1、P2都在l上C点P1、P2都在l的下方D点P1在l的下方，点P2在l的上方考点3、数列的综合应用EG3.已知数列an的前项和，其中a、b是非零常数。则存在数列、使得（A）an=+ 其中为等差数列，为等比数列（B）an=+，其中和都为等差数列（C）an=，其中为等差数是列，为等比数列（D）an= 其中和都为等比数列B3-1已知公差不为0的等差数列的第m、n、k项依次构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比是ABCDB3-2设2a=3，2b=6，2c=12，那么数列a、b、c（ ）A是等比数列，但不是等差数列B是等差数列，但不是等比数列C既是等比数列，又是等差数列D既不是等比数列，又不是等差数列B3-3. 已知等差数列an的公差d0, 且a1, a3, a9成等比数列, 则的值是 . B3-4.已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= ( ) A 4 B 6 C 8 D 10 方法归纳：1解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量2深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键实战训练1数列an中，已知等于（ ）A33B21C17D102数列an中，等于（ ）A163B164C165D1663等差数列的前10项之和是前5项之和的4倍，则它的首项a1与公差d的比=（ ）AB2CD44设an是公差为2的等差数列，等于（ ）A50B50C16D825在等比数列an中，已知（ ）A44B45C46D476.已知数列an满足an+2=an（nN*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为A.0 B.3 C.3 D.17.若关于x的方程x2x+a=0和x2x+b=0（ab）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是A. B. C. D.8.（2020年春季上海，12）在等差数列an中，当ar=as（rs）时，数列an必定是常数列，然而在等比数列an中，对某些正整数r、s（rs），当ar=as时，非常数列an的一个例子是_.9.（2002年北京，14）等差数列an中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_.10若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有 项；11.已知数列是等比数列,且,，则 12.等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 13设数列an的前n项和为 14在等差数列an中，它的前n项和为Sn，已知 15在等差数列an中，最大时，n的值是 . 16在等差数列an中，恰等于这个数列中连续5项之和，这连续的5项是 . 17.若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是_.18 等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，19数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和20设数列为正项数列，前n项的和为Sn，且有an、Sn、an2成等差数列. （1）求通项an； （2）设的最大值. 实战训练答案：ADADD CD a,-a,a,-a , 4 13 9 210 67 18 6或7 4，+）或（，0 13， 当且仅当，即n=10时，有最大值1/72. 经典回顾： 1（2020年春季北京，17）已知an是等比数列，a1=2，a3=18；bn是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n=1，2，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.2 已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn对任意正整数n均有+=（n+1）an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列cn的前n项和Sn.3在等比数列an（nN*）中，a11，公比q0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求bn的前n项和Sn及an的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.35数列通项的求法高考要求：掌握求数列的通项方法考点回顾：（一）求数列的通项方法1、 由等差，等比定义，写出通项公式2、 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代3、一阶递推,我们通常将其化为看成bn的等比数列4、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含an与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题（二）主要方法：1、用观察法（不完全归纳法）求数列的通项.2、运用等差（等比）数列的通项公式.3、已知数列前项和，则（注意：不能忘记讨论）4、已知数列前项之积Tn，一般可求Tn-1，则an（注意：不能忘记讨论）.5、已知，且f(n)成等差（比）数列，则求可用累加法.6、已知，求用累乘法.7、已知数列的递推关系，研究an与an1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列为等差或等比数列.8、已知与的关系式，利用，将关系式转化为只含有或的递推关系，再利用上述方法求出.考点训练EG1.设an的首项为1的正项数列，且求它的通项公式。B1-1.已知数列an,a1=2,an+1=an+3n+2,求an,EG2、已知数列an，a1=1,an+1=B2-1、数列an中,a1=1,2an=B2-2、数列an中,a1=1, ,求an,B2-3、数列an中,a1=1, ,求an,EG3、（理）（猜证）已知数列an满足a1=1,（1）求a2,a3 ,a4 (2)证明：B3-1、（理）设正数数列an前n项和Sn，存在正数t，使得对所有自然数n，有则通过归纳猜想得到Sn并证明？ EG4、设数列an的首项为1，前n项和为Sn，满足关系1)求证：数列an是等比数列；2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn,使b1=1,bn= (n=2,3,4,.) 求bn的通项公式实战训练、已知数列试写出其一个通项公式：_.2、设a1=1，an+1=an+，则an_.3已知数列满足，则=_ 4数列中，对所有的都有，则_.5、已知数列前项和，则_.6、在数列中，则的值为（）A49B50C51D527、数列3，5，9，17，33，的通项公式等于（）ABCD8、已知在等比数列中，各项均为正数，且则数列的通项公式是9、数列3，5，9，17，33，的通项公式等于（）ABCD10、若数列的前n项和为，则（）ABCD11已知数列求数列的通项公式an.直击高考1（2020年全国卷II）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式2（2020年福建卷）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）证明：3（理）（2020年江西卷）已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an0)，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn，求数列f(bn)的前n项和Sn.直击高考1（2020年四川卷）已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为（）求； （）设，（其中为的导函数），计算2（2020年广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.3（2020年安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。4（2020年全国卷I）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：实战训练参考答案：D 1 ADB , n=13 经典回顾1、已知数列的通项公式，求数列的前n项的和.2、非等比数列中，前n项和， （1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。3、 已知函数（），（1）求的反函数；（2）若，求；（3）若，求数列前n项和。37数列的应用一、知识回顾1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.二、基本训练1. 某种产品平均每三年降低价格，目前售价640元，则9年后此产品的价格是 。2. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数是 。3. 夏季高山的温度从山脚起每升高100m，降低0.7。已知某山山顶温度是14.8，山脚温度是26，则此山的相对高度是 m。4. 中国人民银行规定3年期的整存整取定期储蓄的年利率为2.7%，不计复利。按这种方式存入5000元，存期3年，3年到期时必须按利息的20%缴纳利息税，到期最后取出的总金额是 元。（结果保留到1元）5. 某林场去年底木材存量为a m3，若森林以每年25%的增长率生长，每年年底要砍伐的木材为x m3。设经过n年林场木材存量为，则。三、例题精析例1某企业2020年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）。（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？例2某市2020年底有住房面积1200万平方米，计划从2020年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2020年底和2020年底的住房面积； （2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）例3 用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？例4 下面是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值；（2）（将当前的值赋予新的）；（3）（将当前的值赋予新的）；（4）（将当前的值赋予新的）；（5）（将当前的值赋予新的）；（6）如果，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印；（8）程序终止。由语句（7）打印出的数值为 ， 。例5. （05湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （）求xn+1与xn的关系式； （）猜测：当