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阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知loga2m，loga3n，则a2mn的值为()A6B18C12 D7答案C解析方法一：由对数的定义知am2，an3，a2mn(am)2an22312.方法二：a2mna a a12.2(2020西安模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(，0)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的函数是()Af(x)x1Bf(x)x21Cf(x)2x Df(x)ln(x)答案C解析由函数定义可知f(x)在区间(，0)上为增函数，由各选项可知只有C选项满足条件3(2020洛阳调研)若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)答案D解析因为f(x)的定义域为0,2，所以对g(x)有，故x(0,1)4(2020重庆文)设alog，blog，clog3，则a、b、c的大小关系是()Aabc BcbaCbac Dbca答案B解析clog3log，又loglog，即abc.点评本题考查了对数式的运算性质及对数函数f(x)logax(0a3或a1 D1a0时，f(x)x2可变为x2x2，即00，且a1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限的图像，其中正确的是()答案B解析从选项A可看出两图像应为f1(x)ax与f2(x)xa，由f1(x)的图像知a1，由f2(x)图像知a1，由f3(x)的图像知a1，可能正确对于选项C，表示f1(x)ax与f3(x)logax的图像，由f1(x)知a1，由f3(x)知0a1，由f1(x)的图像知0a2020，ln11(2,3)，x11时，2xlnx与2020最接近，于是，0.1n11，n110.第卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11(2020镇江调研)函数f(x)log2(2x1)的单调增区间是_答案(，)解析函数f(x)的定义域为(，)，令t2x1(t0)，因为ylog2t在t(0，)上为增函数，t2x1在(，)上为增函数，所以函数ylog2(2x1)的单调增区间为(，)12(2020合肥模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，且周期为5，若f(1)0，且a1)，则实数a的取值范围是_答案(1,2)解析 因为f(x)是周期为5的奇函数，所以f(4)f(4)f(1)，又因为f(1)1，即loga21，所以1a2.13(2020温州十校模拟)函数f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0,1则ba的最小值为_答案解析由题可知函数f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0,1，当f(x)0时x1，当f(x)1时x3或，所以要使值域为0,1，定义域可以为，3，1,3，1，所以ba的最小值为.14(2020江苏)已知实数a0，函数f(x)，若f(1a)f(1a)，则a的值为_答案 解析首先讨论1a,1a与1的关系，当a1,1a0时，1a1，所以f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因为f(1a)f(1a)，所以2a3a1，所以a(舍去)综上，满足条件的a.点评本小题考查分段函数的求值、解方程等基本知识，考查学生分类讨论思想的应用15(2020修水一模)设a1，若对于任意的xa,2a，都有ya，a2满足方程logaxlogay3，这时a的取值集合为_答案a|a2解析由logaxlogay3，得loga(xy)3，即y，a1且x0，y在xa,2a上单调递减ymaxf(a)a2，yminf(2a)，由题意得，得a2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)已知函数f(x)a.(1)求证：函数yf(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)2x在(1，)上恒成立，求实数a的取值范围解析(1)证明：当x(0，)时，f(x)a，设0x10，x1x20.f(x1)f(x2)(a)(a)0.f(x1)f(x2)，即f(x)在(0，)上是增函数(2)解：由题意a2x在(1，)上恒成立，设h(x)2x，则a2xm在1,1上恒成立即x23x1m0在1,1上恒成立设g(x)x23x1m，其图像的对称轴为直线x，g(x)在1,1上递减即只需g(1)0，即12311m0，解得m0，a1)(1)求a，k的值；(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？并求出该最小值解析(1)由题得由(2)得log2a0或log2a1，解得a1(舍去)或a2，由a2得k2.(2)f(logax)f(log2x)(log2x)2log2x2，当log2x即x时，f(logax)有最小值，最小值为.19(本小题满分12分)函数f(x)对任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)x1时，f(x2)f(x1)由已知x0时，f(x)1，x2x10时，f(x2x1)1，再结合条件f(ab)f(a)f(b)1，有f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.解析(1)证明：设x1、x2R，且x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10，f(x1)f(x2)，即f(x)是R上的增函数(2)解：f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(2)3.不等式即为f(3m2m2)f(2)f(x)是增函数，于是有3m2m22，解得1m.因此不等式的解集为.20(本小题满分13分)(2020湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解析(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；当200，c0；(3)当x1,1时，函数g(x)f(x)mx(xR)是单调函数，求证：m0或m1.解析(1)解：对xR，f(x)x0恒成立，当x1时，f(1)1，又1(0,2)，由已知得f(1)()21，1f(1)1.f(1)1.(2)证明：f(1)1，abc1.又abc0，b.ac.f(x)x0对xR恒成立，ax2xc0对xR恒成立c0，故a0，c0.(3)证明：ac，ac，由a0，c0及ac2，得ac，ac，当且仅当ac时，取“”f(x)x2x.g(x)f(x)mxx2(m)xx2(24m)x1g(x)在1,1上是单调函数，2m11或2m11.m0或m1.
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