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阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2020九江调研)甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1t32t2t和s23t2t1，则在t2秒时两个物体运动的瞬时速度关系是()A甲大B乙大C相等 D无法比较答案B解析v1s13t24t1，v2s26t1，所以在t2秒时两个物体运动的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大2(2020山东文)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3 C9 D15答案C解析本题考查导数几何意义，求导公式等知识导数最基本运算及应用是每年必考内容由yx311知y3x2，所以y|x13，所以过点P(1,12)的切线方程为y123(x1)，即3xy90，令x0易知选C.3(2020安阳模拟)已知函数f(x)在x1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为()Af(x)(x1)33(x1) Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2 Df(x)x1答案A解析先求f(x)的导函数，再代入验证当f(x)(x1)33(x1)时，f(x)3(x1)23且f(1)3(11)233.4(2020许昌调研)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则下列判断正确的是()A在区间(3,1)上yf(x)是增函数B在(1,3)上yf(x)是减函数C在(4,5)上yf(x)是增函数D在x2时yf(x)取到极小值答案C解析由导函数图像与原函数的关系可知函数yf(x)在(3，)上是减函数，在(，1)上是增函数，知A错；由函数yf(x)在(1,2)上是增函数，在(2,3)上是减函数，知B错；由函数yf(x)在(4,5)上是增函数知C正确；由函数yf(x)在x2时取极大值，知D错5(2020汕头一模)如果函数f(x)x4x2，那么f(i)()A2i B2iC6i D6i答案D解析因为f(x)4x32x，所以f(i)4i32i6i.6(2020黄山调研)若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为3xy10，则()Af(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案B解析由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0)处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，故f(x0)3.故选B.7(2020海口质检)函数f(x)excosx的图像在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A0 B.C1 D.答案B解析f(x)(excosx)(ex)cosxex(cosx)excosxex(sinx)ex(cosxsinx)，则函数f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率kf(x)|x0ex(cosxsinx)|x0e01，故切线的倾斜角为，故选B.8(文)(2020九江模拟)已知f(x)x3ax在(，1上递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案D解析由f(x)x3ax，得f(x)3x2a，由3x2a0对一切x(，1恒成立，3x2a，a3.若a0对于一切x(，1恒成立若a3，x(，1)时，f(x)0恒成立，x1时，f(1)0，a3.(理)(2020新课标理)由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4C. D6答案C解析本题考查了定积分的应用依题意，如图所示，由得其交点坐标为(4,2)因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为(x2)dx(x2)dx(xx22x)|81624.故选C.9(2020东北师大附中模拟)已知函数f(x)在R上可导，且f(x)x22xf(2)，则f(1)与f(1)的大小关系为()Af(1)f(1) Bf(1)f(1)Cf(1)f(1) D以上答案都不对答案B解析f(x)x22xf(2)，f(x)2x2f(2)，f(2)42f(2)，即f(2)4，f(x)x28x(x4)216，且在(，4上为减函数，11f(1)10(文)(2020新乡一模)若a2，则方程x3ax210在(0,2)上恰好有()A0个根 B1个根C2个根 D3个根答案B解析设f(x)x3ax21，则f(x)x22ax，而a2，所以f(x)00x2a.又(0,2)(0,2a)，故f(x)在区间(0,2)上递减，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(2)4a2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析本小题考查内容为导数的应用及数形结合思想解法一：令g(x)2x4，g(x)2，f(x)g(x)，如图，f(x)2x4，解为x1.解法二：设m(x)f(x)(2x4)，则m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0.m(x)0的解集为x|x1，即f(x)2x4的解集为(1，)点评本题考查导数与单调函数之间的关系，以及解不等式的相关知识，难度较大第卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11(文)(2020萍乡一模)已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M、m，则Mm_.答案32解析f(x)3x2123(x2)(x2)，由f(3)17，f(3)1，f(2)24，f(2)8，可知Mm24(8)32.(理)(2020萍乡一模)已知t0，若(2x1)dx6，则t_.答案3解析(2x1)dx(x2x)|t2t6，t3或t2(舍去)12(2020合肥一模)已知曲线C：ylnx4x与直线x1交于一点P，那么曲线C在点P处的切线方程是_答案3xy10解析由已知得y4，所以当x1时有y3，即过点P的切线的斜率k3，又yln144，故切点P(1，4)，所以点P处的切线方程为y43(x1)，即3xy10.13已知函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_答案解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0，得ax0， 极小值为f(a)a(12a2)0， 由得a.14(2020商丘调研)若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_答案解析过点P作yx2的平行直线，且与曲线yx2lnx相切，设P(x0，xlnx0)，则ky|2x0，2x01，x01或x0(舍去)，P(1,1)，d.15(2020广州一模)设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlgxn，则a1a2a99的值为_答案2解析本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质ky|x1n1，切线l：y1(n1)(x1)，令y0，xn，anlg，原式lglglglg()lg2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)(2020镇江一模)已知函数f(x)x33x1.试判断函数f(x)的单调性，并求其单调区间解析因为f(x)x33x1，所以f(x)3x233(x1)(x1)由f(x)0，解得x(，1)或x(1，)所以f(x)在1,1上单调递减，在(，1，1，)上单调递增，所以函数f(x)的单调减区间是1,1，单调增区间是(，1与1，)17(本小题满分12分)设函数f(x)x33ax23bx的图像与直线12xy10相切于点(1，11)(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性解析(1)f(x)3x26ax3b，f(1)13a3b11， f(1)36a3bk12. 解由、组成的关于a，b的方程组，得a1，b3.(2)f(x)x33x29x，f(x)3x26x9.由f(x)0，得x11，x23.f(x)在(，1，3，)上是增函数，在(1,3)上是减函数18(本小题满分12分)(2020安徽理)设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解析对f(x)求导得f(x)ex. (1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.结合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以，x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.19(本小题满分12分)(2020陕西理)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；，Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2，n)(1)试求xk与xk1的关系(2kn)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.解析(1)设Pk1(xk1,0)，由yex得Qk1(xk1，exk1)点处切线方程为yexk1exk1(xxk1)由y0得xkxk11(2kn)(2)由x10，xkxk11，得xk(k1)，所以|PkQk|exke(k1)，于是Sn|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|1e1e2e(n1).20(本小题满分13分)(2020江苏卷)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.21(本小题满分14分)(文)(2020北京朝阳一模)已知函数f(x)mx33x23x，mR.(1)若函数f(x)在x1处取得极值，试求m的值，并求f(x)在点M(1，f(1)处的切线方程；(2)设m0，若函数f(x)在(2，)上存在单调递增区间，求m的取值范围解析(1)f(x)3mx26x3.因为函数f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，即3m90，解得m3.于是函数f(x)3x33x23x，f(1)3，f(x)9x26x3.函数f(x)在点M (1,3)处的切线的斜率kf(1)12，则f(x)在点M处的切线方程为12xy90.(2)当m0，应满足或解得m0，或m0，当x(1,1)时，f(x)0，f(x)在1,1上是减函数，且f(x)maxf(1)，f(x)minf(1).在1,1上，|f(x)|，于是x1，x21,1时，|f(x1)f(x2)|f(x1)|f(x2)|.
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