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1.3.2 球的体积和表面积疱丁巧解牛知识巧学一、球的体积1.公式：V=.2.推导：求一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积.由于圆柱的底面圆的半径为R且其高也为R，则V圆柱=R2R=R3，所挖去的圆锥的底面半径和高也都是R，则V圆锥=.于是V剩余=V柱-V锥=. 再求一个半径为R的半球的体积.它的底面积与组合体的底面积相等，它的高与组合体的高都等于R，即这两个几何体有相等的高与底面积.用一个平行于底面的平面去截这两个几何体，可以证明其面积总相等，由祖暅原理，知这两个几何体体积相等.所以整个球的体积公式为V=. 早在小学时我们就知道一个实验：取一个半径为R的半球，再取一个圆桶和一个圆锥，它们的底面半径与高都是R，将圆锥放入圆桶内，再将半球里装满细沙，把这些细沙倒入圆桶内，这时圆桶恰好装满. 这个实验启示我们，一个半球(半径为R)的体积等于一个圆柱(底面半径和高都等于R)与一个圆锥(底面半径和高都等于R)的体积的差，即V半球=V圆柱-V圆锥=,所以知V球=2.二、球的表面积 公式：S=4R2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍. 对于球的表面积公式的推导我们后面将要学习，实际用的是微分与积分的思想,即先把球体近似地分割成小的准锥体,当这种分割足够小时可以看作锥体,通过求它们的体积和,求出球的表面积.球的体积和表面积公式中均含有，如不加特殊说明，我们结果中保留即可.问题探究问题 若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的几倍？探究:球的表面积、体积的计算中，由于它们都仅与半径有关，从而只要由条件理顺半径间的关系，即可确定体积或表面积之间的关系.如本题可设变化前后两球半径为r、R，则有，所以,.所以体积扩大为原来的倍.典题热题例1 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积.思路解析：可以用球的截面性质,借助题设给定的等量关系,建立关于球半径的方程来解题.解：如图1-3-20,设球心为O,球半径为R,作OO1平面ABC于O1,图1-3-20 由于OA=OB=OC=R,则O1是ABC的外心. 设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1CM. 设O1M=x,易知O1MAB,则O1A=,O1C=CM-O1M=. 又O1A=O1C,.解得x=. 则O1A=O1B=O1C=. 在RtOO1A中,O1O=,OO1A=90,OA=R. 由勾股定理,得()2+()2=R2. 解得R=. 故S球面=4R2=54,V球=.方法归纳 计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解.已知条件中的等量关系往往是建立方程的依据,这种解题的方程思想值得重视.例2 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为( )A. B. C. D.思路解析：四面体ABCD的外接球的球心到各个顶点的距离相等，所以球心应为线段AC的中点，设球的半径为r，因为AC=5，所以r=，代入球的体积公式可得V球=.答案：C例3 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.思路解析：作出截面图,分别求出三个球的半径.由正方体的对称性，球心一定和正方体的中心重合，可以画出球的大圆的平面图来分析.解：设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心作截面如图1-3-21,所以有2r1=a,r1=.所以S1=4r12=a2.图1-3-21(2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图,2r2=,r2=,所以S2=2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图1-3-22所示,图1-3-22 所以有2r3=,r3=. 所以S3=3a2. 综上可得S1S2S3=123.深化升华 球的组合体问题,关键是正确地作出截面图,用圆的知识把立体问题转化为平面问题来解决.这一转化，往往是利用球的大圆来实现的.
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