四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【 原 理 】： 长方 体 中 从 一个 顶点 出发 的 三条 棱长 分别 为 a, b, c ， 则体 对 角 线 长 为la2b2c2 ，几何体的外接球直径 2R 为体对角线长 l 即 Ra 2b2c22【例题】：在四面体 ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1，6 , 3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解： D 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE 的长即： 4R2AB 2AC 2AD 2E4R2123226 16所以R2A球的表面积为 S4 R216B二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上， ABBC 且 PA7 ，PBAC10,求球 O 的体积。解： ABBC且PA7， PB 5， PC51 ， AC 10,因为 722所以知 AC 2PA2PC 251 102所以 PAPC所以可得图形为：P在 Rt ABC 中斜边为 AC在 Rt PAC 中斜边为 ACB取斜边的中点 O ，C5 ，51，PC在 Rt ABC 中 OAOBOCAOC在 Rt PAC 中 OPOBOC所以在几何体中 OPOBOCOA ，即 O 为该四面体的外接球的球心R 1AC 52所以该外接球的体积为V4R350033【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥 ABCD 中， AD面ABC ，BAC 120 ， AB ADAC 2，求该棱锥的外接球半径。z解：由已知建立空间直角坐标系DA(0，0，0)B( 2，0，0)D(0，0，2) C( 1，3，0)由平面知识得ACyxB设 球 心 坐 标 为 O( x, y, z)则AO BOCODO,由空间两点间距离公式知x2y 2z2( x 2) 2y2z2x2y 2z2x2y2( z 2)2x2y 2z2( x 1) 2( y3) 2z2解得x13z1y3所以半径为 R2322211 （3）13【结论】：空间两点间距离公式：PQ( x1x2) 2(y1y2 )2( z1z2 )2四、四面体是正四面体处理球的“内切” “外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题例 1. 正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图 1 所示，设点 O 是内切球的球心，正四面体棱长为a 由图形的对称性知，点 O 也是外接球的球心设内切球半径为r ，外接球半径为 R 正四面体的表面积S表43a 23a 2 413 a23 a 2图 1正四面体的体积 VA BCDAEAB 2BE 234123 a 2 a 23 a 22 a31231213VA32a36VA BCD ，BCD12aS表 rrS表3a21232在 Rt BEO 中， BO 2BE 2EO 2，即 R23 ar 2，得 R6 a ，得 R3r34【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为h(h 为正四面体的高) ，且外接球的半径3h ，从而可以通过截面图中44Rt OBE 建立棱长与半径之间的关系。例 2设棱锥 MABCD 的底面是正方形，且MAMD，MAAB ，如果AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解：AB AD, ABMA ,AB平面 MAD ，由此，面 MAD面 AC.记 E是AD的中点，从而 MEAD .ME平面 AC，MEEF设球 O 是与平面 MAD 、平面 AC 、平面 MBC 都相切的球 . 如图 2，得截面图MEF 及内切圆 O不妨设 O平面 MEF ，于是 O 是 MEF 的内心 .图 2设 球 O 的 半 径 为 r， 则 r2S MEF， 设EFEMMFAD EFa ,S AMD1.2 ,MF2222EMa2, r22 1aa222 22aa 2aa当且仅当 a2，即 a2 时，等号成立 .a当 ADME2时，满足条件的球最大半径为2 1.练习：一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。 （答案为：2 ）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然图3图4图 5球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为 R 。如图 3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得 Ra；22 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4 作截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R2 a 。23 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面 AA1 作截面图得，圆O 为矩形 AA C C 的外接圆，易得RA O3 a 。1112例 3.在球面上有四个点P、A、B CPA、PB、PC两两互相垂直， 且PA PB PCa,、 .如果那么这个球的表面积是_.解： 由已知可得 PA 、 PB 、 PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线 CD ，则 CD 过球心 O ，对角线 CD3a2S球表面积43 a3a 22练习： 一棱长为 2a 的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为 V32a36 a3）424构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例 4. 已知三棱柱ABCA1 B1 C1 的六个顶点在球O1 上，又知球 O2 与此正三棱柱的5 个面都相切，求球 O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6，由题意得两球心O1 、 O 2 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则 R23 a ，正三棱柱的高为6h 2R23 a ，由 RtA1 D1O 中，得3222图 6R1 23 aR2 23 a3 a5 a2 ，33612R15 aS1 : S2 R12 : R225:1，V1 :V25 5:112练习：正四棱柱 ABCDA1 B1C1 D1 的各顶点都在半径为R 的球面上， 求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：42R2 ）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为6 a 。4平面向量重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量, 有二个要素：大小、方向 .rr分别取与 x2.向量的表示方法： 用有向线段表示； 用字母 a 、 b 等表示； 平面向量的坐标表示：轴、 y 轴方向相同的两个单位向量rra ，由平面向量基本定理知，有且只有i、 j 作为基底。任作一个向量rrr( x, y) ，其中 x 叫做 a 在一对实数 x 、 y ，使得 a xiyj ， ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作ax 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，r(1,0)rrrx2y2；特别地， i， j(0,1) ， 0(0,0) 。 a若 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，则 ABx2x1 , y2y1 ， AB( x2x 1 ) 2( y 2y 1 ) 23.零向量、单位向量：长度为0 的向量叫零向量，记为0 ； 长度为1 个单位长度的向量，叫单位向量 . （注：a 就是单位向量）| a |4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定rrr0 与任一向量平行. 向量 a 、 b 、rrrrc 平行，记作 a b c . 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6向量的基本运算（ 1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。坐标运算：设 a =(x1,y ), b =(x,y) 则 a+b=(x +x,y +y)a- b=(x-x ,y-y )12212121212(2) 平面向量的数量积： a? b= ab cos设 a =(x1,y ), b =(x,y2) 则 a ? b=x x +y1y21212（3）两个向量平行的充要条件=若=(x 1,y 1),=(x 2,y 2) ，则x1 y2-x 2y1=0（4）两个非零向量垂直的充要条件是 =0设=(x ,y) ，=(x,y2) ，则xx +yy =01121212.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量rrrrrrrra 加上的 b 相反向量，叫做a 与 b 的差。即： ab = a + (b )；rrrr差向量的意义： OA = a ,OB = b , 则 BA = abrrr ry2 ) ，平面向量的坐标运算：若a ( x1, y1 ) ， b( x2 , y2 ) ， 则 a b ( x1 x2 , y1r r(x1 x2 , y1ra by2 ) ， a ( x, y) 。向量加法的交换律： a + b = b + a ；向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )7 实数与向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作：a（ 1）| a |=| | a |；（ 2） 0 时 a 与 a 方向相同； 0 时 a 与 a 方向相反； =0 时 a = 0；（ 3）运算定律 ( a )=( )， (+)a =a+， ( a +b)=a+baa8 向量共线定理向量 b 与非零向量a 共线（也是平行） 的充要条件是： 有且只有一个非零实数，使 b = a 。9 平面向量基本定理：如果e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数1， 2使 a = 1 e1 + 2 e2 。 (1) 不共线向量e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e1、 e2的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1， 2 是被a ， e1， e2 唯一确定的数量。10. 向量 a 和 b 的数量积： a b =|a | b |cos，其中 0， 为 a 和 b 的夹角。 |b |cos称为 b 在 a 的方向上的投影。a b 的几何意义是：b 的长度 | b |在 a 的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。若 a =（ x1 ， y1 ） , b =（ x2， y2 ）, 则 a ? b x1 x2y1 y2运算律： a b=b a, ( a) b=a ( b)= （ a b）， （a+b） c=a c+b c。rrx1 x 2y1 y 2 a 和 b 的夹角公式： cosa ?b= rrx1 2y12x22y 22a b| a | 2=x2+y2，或 | a |= x2y22 a ? a a 2a | a b | | a | | b | 。11 两向量平行、垂直的充要条件设 a = （ x1 ， y1 ） ,b =（ x2 ， y2） a ba b=0 ， abrrx2 + y1 y2 =0；a ? b = x1 a / b （ a 0 ）充要条件是：有且只有一个非零实数，使b = a 。a / bx1 y2 x2 y10向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。12. 点 P 分有向线段 P P 所成的比的： P PPP ，P 内分线段 P P 时,0 ; P外分线段121212P1P2 时 ,0 .定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：x1x2xx1x2x、 ( x1x2x3 , y1y2y3 )1y21 、2y1yy1y233y21四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解）（一）基础知识训练1. 下列命题正确的是（）( A) 单位向量都相等( B) 任一向量与它的相反向量不相等(C ) 平行向量不一定是共线向量( D ) 模为 0 的向量与任意向量共线2.已知正六边形ABCDEF 中，若 ABa ， FAb ，则 BC （）( A) 1 (a b) ( B) 1 (a b) (C ) a b ( D ) 1 a b2223.已知向量 e10,R ， ae1e2 ,b =2 e1 若向量 a 与 b 共线，则下列关系一定成立是（）( A)0( B)e20(C) e1 e2(D ) e1 e2 或04.若向量 a( 1, x) ， b( x,2) 共线且方向相同，x =_。（二）典例分析r r例 1：（ 1）设 a 与 b 为非零向量，下列命题：rrrr若 a 与 b 平行，则a 与b 向量的方向相同或相反；rrrr若 AB a, CDb,a 与 b 共线，则 A、 B、 C、D 四点必在一条直线上；r rrrrrrrrra r若 a 与 b 共线，则 abab ；若 a 与 b 反向，则 arbb其中正确命题的个数有（A）1个（B）2 个（C）3 个（D）4 个（ 2）下列结论正确的是（）r rr rrrrrr r rr r r（ A） a ba b（ ）（ C）若 ( a b)c (c a)b 0gababggBrrrrrrrr（ D）若 a 与 b 都是非零向量，则ab 的充要条件为 abab错解：（ 1）有学生认为全正确，答案为4；也有学生认为或是错的，答案为2 或 3；（2）A 或B或 C。分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。第（ 1）小题中，正确的应该是，答案为rr2。共线向量（ a 与 b 共线）的充要条件中所存在的常数rrrrr r可看作为向量 b 作伸缩变换成为另一个向量a 所作的伸缩量；若a ， b 为非零向量，则共线的a 与 b 满rrrrrrrrrrbb足 a 与 b 同向时 aar， a 与 b 反向时 aar 。bb第（ 2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。例 2设 a、b 是两个不共线向量。AB=2a+kb BC= a+b CD= a-2 bA、 B、 D 共线则 k=_(k R)解： BD=BC+CD=a+b+a-2 b=2a- b 2 a+kb= (2 a - b)=2 a- b 2=2且 k=- k=-1例 3 梯形 ABCD，且 |AB|=2|DC|,M 、 N 分别为 DC、AB中点。AB=a AD= b用 a， b 来标 DC、 BC、 MN。1111111解： DC= AB= a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a +a=b-MN=DN-DM= a-b -a=a-b2222244例 4 | a|=10b =(3,-4) 且 ab 求 a解：设 a=(x,y)则 x 2+y2=100（ 1） 由 a b 得-4x-3y=0（ 2）解（ 1）（ 2）得 x=6 y=-8。或 x=-6 y=8a=(6,-8)或 (-6,8)五归纳小结1向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。2对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。课堂练习1、下列命题正确的是（）A若 | a |0 ，则 a0B若 | a | | b |，则 ab 或 abC若 a |b ，则 | a | | b |D若 a0 ，则a02、已知平行四边形ABCD的三个顶点A( 2,1) 、 B( 1,3) 、 C (3,4) ，则顶点 D 的坐标为（）A (1,2)B ( 2,2)C (2,1)D (2, 2)3、设 | a |m(m0) ，与 a 反向的单位向量是 b0，则 a 用 b0表示为A a mb01b0D a1B amb0 C ab0mm4、 D、 E、 F 分别为ABC 的边 BC、 CA、AB上的中点，且 BCa ， CAb ，下列命题中正确命题的个数是（ ） AD1 a b ； BE a1 b ； CF1 a1 b ；2222 AD BE CF 0。A1个B 2 个C3个D 4 个5、化简： CEACDEAD =_ 。6、已知向量a3, b(1,2)，且 ab ，则 a 的坐标 _ 。7、若 a 21,b 22, aba0 ，则 a与b 的夹角为 _。8、已知向量 a3e12e2 ,b4e1 e2 ,其中 e1(1,0), e2 ( 0,1)求（ 1） a b ; ab 的值；（ 2） a与 b 的夹角。9、如果向量 a 与 b ， c 的夹角都是60，而 bc ，且| a | | b | | c |1(a 2c) ? (b c)的值。，求10、如图，设 O 为ABC 内一点， PQ BC ，且 PQt ， OAa， OBb ，BCOCc ，试用 a ， b ， c 表示 OP,OQ D ， B， B，D，5， 0 ；6，（ 65，35），（6 5， 35 ）55557， 45 0，8 ， (1) a ? b=10,ab =5 2(2)=arccos102219,-110,OP =(1-t)a +t b ,OQ =(1-t)a +t c平面向量测试题一、单项选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1. 已知e、e是两个单位向量，下列命题中正确的是12A . e1 e21B. e1e2C. e12e22D. e1 / e22下列命题中：若a 与 b 互为负向量，则a b 0；若 k 为实数，且 ka 0，则 a0 或 k 0；若ab 0，则 a0或 b0；若 a 与 b 为平行的向量，则ab|a|b|；若 |a| 1，则 a 1其中假命题的个数为（）A5 个B4 个C3 个D2 个3. 在 ABC中,a 5, b 8, C60 ,则 BC CA的值等于A. 20B.20C.20 3D.203设 |a| 1， |b| 2，且 a、 b 夹角 120，则 |2ab|等于（）A. 2B. 4C. 12D. 23已知 ABC的顶点坐标为A （ 3， 4）， B （ 2， 1）， C（4， 5），D 在 BC 上，且 S ABC3S ABD ，则 AD 的长为（）A. 2B. 22C.3 2D. 7226已知 a（ 2， 1）， b（ 3，），若（ 2a b） b，则的值为（）A 3B 1C1 或 3D3 或 1向量 a（ 1， 2）， |b| 4|a|，且 a、 b共线，则 b 可能是（）A （4，8）B （ 4， 8）C（ 4， 8）D（ 8，4）ABa, AC b, a b0, S ABC15，a8已知 ABC 中，4A 30B 150C1503, b5，则 a 与 b 的夹角为（）D 30或 1509. 若 a b4120 3 , a4, b 5, 则a bA. 103B.10 3C. 102D. 1010将函数 y f（ x）的图象先向右平移 a 个单位，然后向下平移b 个单位（ a 0，b 0）设点 P（ a，b）在 y f（ x）的图象上，那么P 点移动到点（）A （ 2a， 0）B （2a， 2b）C（0， 2b）D（ 0，0）11. 若点 P分 AB 所成的比为 3 ,则 A分 BP 所得的比是43B.7C.73A .33D.7712. 已知ax,1 , b2,3x,那么a b的取值范围是22abA. ,2B. 0,2C.2 ,2D. 22,2444二、填空题 （本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分）13向量 a（ 2k 3,3k 2）与 b（ 3， k）共线，则k_14. 已知a9,k , b k,8 , 且 a与 b为互相平行的 向量，则 k的值为 _.215向量 a（ 1， 1），且 a 与（ a 2b）的方向相同，则ab 的取值范围是 _16. AB8, AC12, 则 BC 取值范围用区间表示为_ .三、解答题 （本大题共6 小题，共74 分）17（本小题满分12 分）设 O 为原点， OA3,1 , OB1,2 , OCOB , BC/ OA ，试求满足 OD OAOC 的 OD 的坐标18（本小题满分12 分）设 e1 和 e2是两个单位向量，夹角是60，试求向量 a2e1e2和 b3e12e2 的夹角19（本小题满分12 分）已知 AC5.6, BC4.2,AC 与 AB 的夹角为40，求 ACBC 与 CB 的夹角|BC AC | （长度保留四位有效数字，角度精确到）一、 1C 2C 3B 4 A 5C 6C 7B 8C 9A 10A 11C 12C二、 13.32114.615.1,16.4,202三、 17.解:设ODx, y , 则 OCOD OAx3, y1BCOCOBx4, y1由OCOB得:x 3 2 y 1 0,即x 2y 1 0由 BC/OA,得3y1x40,即x 3y70由,联立,解得x 11,y6,即 OD坐标为 11,6 .18.解 :a2e1e2 , b3e12e222e224e1e2b22212e1e2a4 e19e14 e24141117,94121117.22a b 2e1e23e12e26 e12e1 e2 2 e22a b71 .6127cos22,a b7722故 12019. 解 :由正弦定理ACBC得 5.64.2, sin B5.6sin 400.875.sin B,sin Asin Bsin 404.2B59 ,因为 AC BC 与 CB 夹角 ,为B角之补角 ,即121 .C180405981 ,ABAC 2BC 22ACBCcosC5.624.2225.64.2 cos816.453.三角函数题解1.（2003 上海春， 15）把曲线 ycosx+2y 1=0 先沿 x 轴向右平移个单位，再沿y 轴向下平移1 个单2位，得到的曲线方程是（）A. （ 1 y） sinx+2 y3=0B.（ y 1） sinx+2y 3=0C.（y+1） sinx+2y+1=0D. (y+1)sinx+2y+1=01.答案： C 解析：将原方程整理为：y=1个单位和，因为要将原曲线向右、向下分别移动2cos x21 个单位，因此可得 y=11 为所求方程 .整理得（ y+1）sinx+2y+1=0.2cos(x)2评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（ y+1 ） cos（ x ） +2（y+1） 1=0，即得 C 选项 .22.（ 2002春北京、安徽，5）若角 满足条件 sin2 0， cos sin 0，则 在（）A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限2.答案： B 解析： sin2 2sin 0cos 0 sincos即 sin与 cos异号， 在二、四象限，又 cos sin 0 cossin由图 4 5，满足题意的角 应在第二象限3.（2002 上海春， 14）在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC ，则 ABC 的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B.直角三角形图 45C.等腰三角形D.等边三角形3.答案： C解析： 2sinAcosB sin（A B） sin（ A B）又 2sinAcosBsinC， sin（ AB） 0， A B4.（ 2002 京皖春文，9）函数 y=2sinx的单调增区间是（）A. 2k， 2k （ k Z）B. 2k ， 2k 3 （ k Z ）2222， 2k（ k Z ）， 2k（ k Z）C.2kD. 2k4.答案： A 解析：函数 y=2x 为增函数， 因此求函数 y=2 sinx 的单调增区间即求函数y=sinx 的单调增区间 .5.（ 2002 全国文 5，理 4）在（ 0，2）内，使 sinx cosx 成立的 x 取值范围为（）A. （）（ ，5B.（， ），）4244C.（5D.（， ）（53