大学物理：第4章 刚体的转动

12 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）组）刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动平动、转动 . 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：平动：若刚体中所有点若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始连线总是平行于它们的初始位置间的连线位置间的连线 .3 转动：转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动. 转动又分转动又分定轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动 .刚体的一般运动刚体的一般运动4 刚体的一般运动刚体的一般运动= 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+567 描述刚体转动位置的物理量。描述刚体转动位置的物理量。oPx参考方向为参考方向为ox，刚体上某一点刚体上某一点 P 到转轴到转轴 O 点的连点的连线与参考方向线与参考方向ox的夹角的夹角 。单位：单位：弧度，弧度，rad角坐标为标量。角坐标为标量。参考方向参考方向8o二、角位移二、角位移描写刚体位置变化的物理量描写刚体位置变化的物理量。0Px参考方向参考方向刚体初始角坐标刚体初始角坐标0末态角坐标末态角坐标刚体的角位移刚体的角位移0单位：单位：弧度，弧度，rad9三、角速度三、角速度 描述刚体转动快慢和方向的物理量。描述刚体转动快慢和方向的物理量。tt0limddt角速度为角坐标对时间的一次导数。角速度为角坐标对时间的一次导数。单位：单位：弧度弧度/ /秒，秒，rad/s, s110角速度是矢量，但角速度是矢量，但对于对于刚体定轴转动刚体定轴转动角速度的方向只有角速度的方向只有两个两个，在表示角速，在表示角速度时只用角速度的度时只用角速度的正负数值正负数值就可表示就可表示角速度的角速度的方向方向，不，不必用矢量表示。必用矢量表示。方向：方向：满足右手螺满足右手螺旋关系旋关系. .11tt0lim单位：单位：弧度弧度/ /秒秒2，rad/s2, s2方向：方向：角速度变化的方向。角速度变化的方向。00dtd 22dtd 四、角加速度四、角加速度描述角速度变化快慢和方向的物理量。描述角速度变化快慢和方向的物理量。12 注意注意: : 角加速度是矢量，但对于角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动刚体定轴转动角加角加速度的方向只有速度的方向只有两个两个，在表示角加速度时只用角加速，在表示角加速度时只用角加速度的度的正负数值正负数值就可表示角加速度的就可表示角加速度的方向方向，不必用矢量，不必用矢量表示。表示。定轴转动的定轴转动的特点特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 .,a, v13二二 角量与线量的关系角量与线量的关系tervrtev2ntraratanan2tererat ddtt22dddda14三三 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比15山东科技大学济南校区山东科技大学济南校区干耀国干耀国设计制作设计制作16飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度rad75)6(2)5(22202210srad6srad3050t 例例1 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1）角）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始）制动开始后后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度点的线速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1）,srad510. 0 t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动00时，时， t = 0 s 17（2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小22sm5 . 2sm42 . 0rv该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra转过的圈数转过的圈数r5 .372752N18 例例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速度度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转已知转子的角加速度与时间成正比子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？00解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当t=300s 时时11srad600minr18000所以所以3322srad75srad30060022tc19转子的角速度转子的角速度2215021tct由角速度的定义由角速度的定义2150ddtt得得tttd150d020有有3450t在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022N32srad)75(2tc2021O一、力矩一、力矩力与力臂的乘积。力与力臂的乘积。dFMF FPdr rsinrFM根据矢量乘积法则：根据矢量乘积法则：sinABB BA A用矢量方法表示力矩：用矢量方法表示力矩：F Fr rM M单位：单位：牛顿牛顿 米，米， N m方向：方向：从从r r沿小于沿小于 角角右旋到右旋到F F，大拇指指，大拇指指向。向。FrsinM M22rFM M M 的方向垂直于的方向垂直于 r r 与与 F F 构成的平构成的平面。面。讨论讨论1) M0, 沿沿OZ轴正向轴正向,刚体逆时针方向旋转刚体逆时针方向旋转;M0,沿沿OZ轴负向轴负向,刚体顺时针方向旋转刚体顺时针方向旋转.2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和: :321MMMM23Ormz二二 转动定律转动定律FtFnFmrmaFtt2iejjjjrmMM2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFiM 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外外力矩力矩内内力矩力矩2mrM 2tmrrFMOzjmjrjFejFi24 刚体转动的刚体转动的角加速度角加速度与它所受的与它所受的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，与刚体的与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 .rmMMjjjjjj2ie0jijjiijMMM)rmMjjjj2e( 转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量mrJd2OzjmjrjFejFi25mrJrmJjjjd,22三三 转动惯量转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 .刚体的转动惯量与哪些物理量有关？刚体的转动惯量与哪些物理量有关？.与刚体质量有关与刚体质量有关。.与质量的分布有关与质量的分布有关。.与轴的位置有关与轴的位置有关。26竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？27转动惯量的计算方法转动惯量的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元：质量元md282 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度Smdd2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd29例例1：在无质轻杆的在无质轻杆的 b 处处 3b 处各系质量处各系质量为为 2m 和和 m 的质点，可绕的质点，可绕 o 轴转动，求：轴转动，求：质点系的转动惯量质点系的转动惯量J。解：解：由转动惯量的定义由转动惯量的定义221iiirmJ222211rmrm22)3(2bmmb211mbbb3omm230例例2：长为长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。mlo解：解：细杆为线质量细杆为线质量分布，单位长度的分布，单位长度的质量为：质量为：lm建立坐标系，坐标原点选在质心处。建立坐标系，坐标原点选在质心处。 分割质量元分割质量元 dm , ,长度为长度为 dx , x2l2ldmdxdxdmx31dmxJll22/2/ 2/ 2/ 33llx2121mlJlm绕细杆质心轴的转动惯量为绕细杆质心轴的转动惯量为2121mlJ3121ldxxll22/2/dmrJ2mlox2l2ldmdxx32例例3：长为长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，求转动惯量细杆一端轴转动，求转动惯量 J。解：解：细杆为线质量细杆为线质量分布，单位长度的分布，单位长度的质量为：质量为：lmxlmlodmdx建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分割质量元割质量元 dm , ,长度为长度为 dx , dxdmx33dmxJl20 lx 0 33231mlJlm绕细杆边缘轴的转动惯量为绕细杆边缘轴的转动惯量为231mlJdxxl20331ldmrJ2xlmlodmdxx34R例例5：半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆盘，绕垂直的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量 J。rdr解：解：圆盘为面质量圆盘为面质量分布，单位面积的分布，单位面积的质量为：质量为：SM分割质量元为圆环，分割质量元为圆环，圆环的半径为圆环的半径为 r 宽宽度为度为 dr, ,r2RMM35dSdmdJJ)2(20rdrrR421R由由2RM则圆盘的转动惯量为：则圆盘的转动惯量为：221MRJ则圆环质量则圆环质量RrdrrMrdr2dmr236 薄圆盘转轴通过薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直221mrJr2r1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴)(212221rrmJ37lr圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴沿几何轴221mrJlr 圆柱体转轴通过圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直中心与几何轴垂直12422mlmrJ38l 细棒转轴通过细棒转轴通过中心与棒垂直中心与棒垂直122mlJl 细棒转轴通过细棒转轴通过端点与棒垂直端点与棒垂直32mlJ392r球体转轴沿直径球体转轴沿直径522mrJ2r球壳转轴沿直径球壳转轴沿直径322mrJ40定理表述：定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯刚体绕平行于质心轴的转动惯量量 J，等于绕质心轴的转动惯量，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。2mdJJCJCJdmC 刚体绕质心轴刚体绕质心轴的转动惯量最小。的转动惯量最小。41例例1：再以绕长为再以绕长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定理计算转动惯量定理计算转动惯量 J 。解：解：绕细杆质心的绕细杆质心的转动惯量为：转动惯量为：mloJCJC2121mlJC绕杆的一端转动惯量为绕杆的一端转动惯量为2mdJJC222121lmmlJ2/l结果与前相同。结果与前相同。231ml42例例2：半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆盘，绕垂的圆盘，绕垂直于圆盘平面的边缘轴转动，求转动惯量直于圆盘平面的边缘轴转动，求转动惯量J。RJCJRMC解：解：绕圆盘质心绕圆盘质心轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：221MRJC2221MRMRJ223MR2mdJJC由由43例例3：半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂直的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。RMo解：解：dmdmRJM20分割质量元分割质量元 dm圆环上各质量元到圆环上各质量元到轴的距离相等，轴的距离相等，dmRM022MR绕圆环质心轴的转动惯量为绕圆环质心轴的转动惯量为2MRJ44例例4 4：质量为质量为 m1和和m2两个物体，跨在两个物体，跨在定滑轮上定滑轮上 m2 放在光放在光滑的桌面上，滑轮滑的桌面上，滑轮半径为半径为 R，质量为，质量为 M，求：，求：m1 下落的下落的加速度，和绳子的加速度，和绳子的张力张力 T1、T2。1m2mRM,T1 1T2 2451m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：受力分析受力分析1m以以为研究对象为研究对象amTgm111 （1）2m以以为研究对象为研究对象amT22 （2）M以以为研究对象为研究对象JRTT)(21（3）221MRJT1T246补充方程补充方程Ra （4）联立方程（联立方程（1）-（4）求解得）求解得2/211Mmmgma2/)2/(21211MmmgMmmT2/21212MmmgmmT讨论：讨论：当当 M= =0时时212121mmgmmTT47 例例5 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动 .试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度角时的角加速度和角速度和角速度 .lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin2148式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定义由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 (3lgJmglsin2149例例6 6：测轮子的转动惯：测轮子的转动惯量量用一根轻绳缠绕在半用一根轻绳缠绕在半径为径为 R、质量为、质量为 M 的的轮子上若干圈后，一端轮子上若干圈后，一端挂一质量为挂一质量为 m 的物体，的物体，从静止下落从静止下落 h 用了时间用了时间 t , ,求轮子的转动惯量求轮子的转动惯量J。hRM,m50hRM,mgT受力分析受力分析: :以以m为研究对象为研究对象(1) maTmg以以M为研究对象为研究对象(2) JTR 物体从静止下落时满足物体从静止下落时满足(3) /22ath补充方程：补充方程：(4) Ra T51联立方程（联立方程（1）-（4）求解得：）求解得：hhgtmRJ2)2(225253力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应一一 质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理为求刚体的角动量为求刚体的角动量,先介绍质点的角动量先介绍质点的角动量.动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律54v1 质点的角动量质点的角动量vmrprLvrLLrpmo 质点以角速度质点以角速度 作半径作半径为为 的圆运动，相对圆心的的圆运动，相对圆心的角动量角动量rJmrL2Lrxyzom 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的角动量点的角动量mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.L55?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩 ，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv2 质点的角动量定理质点的角动量定理prL56 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的的合力矩合力矩为零时，质点对该为零时，质点对该参考点参考点 O 的的角动量为一恒矢量角动量为一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩tMttd21 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O ，质点所受，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量的冲量矩等于质点角动量的增量.12d21LLtMtt3 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律tLMdd57二二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量iiiiiiirmrmL)(2v2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221dJJtMtt刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理112221dJJtMttOirimivtJtLMd)(dddJL z58 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件0M若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221dJJtMtt3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律0M常量JL，则，则若若讨论讨论59 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水60o1o 2例例 ：人与转盘的转动人与转盘的转动惯量惯量J0= =60kg m2, ,伸臂伸臂时臂长为时臂长为 1m，收臂时，收臂时臂长为臂长为 0.2m。人站在。人站在可以自由转动的圆盘可以自由转动的圆盘中心上，每只手抓有中心上，每只手抓有质量质量 m= =5kg的哑铃。的哑铃。伸臂时转动角速度伸臂时转动角速度 1 = = 3 s- -1, ,求收臂时的角求收臂时的角速度速度 2 . .61o1o 2解：解：整个过程合外力整个过程合外力矩为矩为0，角动量守恒，角动量守恒，2211JJ21012mlJJ21526022022mlJJ22 .052602mkg702mkg4 .60622211JJ2112JJ 由转动惯量的减小，角速度增加。由转动惯量的减小，角速度增加。4 .607031 -s5 .363例例 ：两个共轴飞轮转动惯量分别为两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为，角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮，求两飞轮啮合后共同的角速度合后共同的角速度 。1J2J1264解：解：两飞轮通过摩两飞轮通过摩擦达到共同速度擦达到共同速度, ,合合外力矩为外力矩为0，系统角，系统角动量守恒。动量守恒。1J2J12)(212211JJJJC CL LL L0 212211JJJJ共同角速度共同角速度65 长为长为L的木棒的木棒,质量为质量为M,上端固定上端固定,静止下垂静止下垂.今有一子弹质量为今有一子弹质量为m,以水平速度以水平速度v射入杆下端射入杆下端,并并留在其中留在其中,求木棒的角速度求木棒的角速度.0v0v解解:2231mlMlmvllmMmv)3(366例例4:一一质量为质量为M、半径为、半径为R的自行车轮，假的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕固定轴定质量均匀分布在轮缘上，可绕固定轴O转转动动. 另一质量为另一质量为m的子弹以速度的子弹以速度 V 射入轮缘，射入轮缘，并留在轮内。开始时轮是静止的，求子弹并留在轮内。开始时轮是静止的，求子弹打入后打入后,车轮的角速度。车轮的角速度。 解解:22m v RmRM R()m vmM R67例例5:质量为质量为M,长为长为L的木棒的木棒,与一质量为与一质量为m的小球在下端相碰的小球在下端相碰,小球速率为小球速率为v,碰后以速碰后以速率率u反向运动反向运动.求棒的角速度求棒的角速度.mulMlmvl231Mluvm)(368 长为长为L的木杆的木杆,质量为质量为M,可绕通过其中点并可绕通过其中点并与之垂直与之垂直.今有一子弹质量为今有一子弹质量为m,以水平速度以水平速度v射入射入杆端杆端,并留在其中并留在其中,求木杆的角速度求木杆的角速度.221( )2122llmvMlm6(3 )mvMm l