[教学设计]等腰三角形

初中几何 第二册 第三章第四单元 等腰三角形一、教法建议【抛砖引玉】本单元将研究等腰三角形.在教学时，应从小学已有的知识引出等腰三角形两底角相等性质，然后给出证明，由证明过程得出两个重要推论，为了使学生牢固地掌握等腰三角形的性质，并能灵活地运用它们，应通过例，习题的练习，非常熟练地进行下面的推理：如图，在ABC中， (1)AB = ACB = C；(2) AB = AC，1 = 2 ADBC，BD = DC；(3) AB = AC，BD = DCADBC，1 = 2；(4)AB = AC，ADBC BD = DC，1 = 2.在例，习题教学中，鼓励学生自己试添辅助线，从实践中取得经验，掌握添辅助线的规律.寻求最简捷的思路.在教学等腰三角形的判定定理时，可让学生先叙述等腰三角形性质定理的逆命题，然后引导学生探索其逆命题是否是真命题，使学生积极参与，从实践中学习，对其判定理更加信服.再进一步得出推论.通过例、习题教学，巩固等腰三角形判定定理及推论.例4，例5是等腰三角形性质和判定的综合应用，通过这两个例题，使学生进一步理解性质与判定的区别，并能根据条件正确地选择性质定理或判定定理，能综合运用这些定理证明问题.教学证明题，由于题目复杂程度提高，可以教学生画思路图，从未知入手进行分析，然后再用相反的方向写出证明.本单元文字题较多，学生对已知，求证写不好，最常见的毛病是条件写得不全或不明确，教学中要注意帮他们纠正.课堂上，例题的已知，求证最好先让学生写，然后进行证明.在证明过程中，他们自己会发现已知，求证中写得不对或不好的地方，这时再纠正，效果会更好些.通过复习线段垂直平分线定义引入新课，进而研究它们性质.着重在教学中指出定理及逆定理的关系，并结合图形说明线段的垂直平分线可以看作一些点的集合，这些点都满足“和线段两个端点的距离相等”，同时说明，这条线上包含了满足条件的所有点，这样就可以为后面的学习打下一些基础.轴对称和轴对称图形在教学中要结合实例把它们概念讲清楚，要求学生理解这些概念，弄清它们的区别与联系，能识别轴对称图形，会画一些简单图形关于某直线的对称图形.为调动学生学习积极性，加深对概念的理解，教学中多画图，课后也要求学生多练习点对称图形，通过画（剪）的实践，增加趣味及美的感受.【指点迷津】等腰三角形的性质与判定.它们是证明线段相等和角相等的重要依据，是本单元也是本章重点之一.要揭示等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反，以进一步认识判定与区别，才能根据条件正确地选择性质定理或判定定理，才能综合运用这些定理解决问题，使思路畅通，学过等腰三角形以后，推理的依据多了，题目的复杂程度也增加了，证明思路不那么明显，简单，因此会给学生带来困难，证明题无处入手，为此，要加强证明题前分析教学，帮助学生学会分析证明思路，找出证明途径，因为学过的定理多了，从已知出发有多种途径可供选择，这时最好结合所要求证的结论一起考虑，这就是通常说的“两头凑“的分析法.教会学生分析法，转化法，数形结合法，方程（组）法等.使他（她）们多种思维方法都能掌握，寻觅思路的渠道便多了，证（解）几何题的难点便会突破，上升一个档次.二、学海导航【思维基础】回答下列问题1.等腰三角形的两个底角 ，简称：等边对 .2.等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的 ，底边上的 互相重合，只要知道等腰三角形三条中的一条就能得出另外两条.3.等边三角形的各角相等且每一个角都等于 ，等腰直角三角形每一个锐角都等于 .4.如果一个三角形有两个角 ，那么这两个角所对的边也相等.简称：等角对 .5.三个角都相等的三角形为等边三角形，有一个角为 的等腰三角形为等边三角形.6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的 .7.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离 .逆定理：和一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离 的所有点的集合.8.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫 ，两个图形关于直线对称也称轴对称.9.定理1：关于某条直线对称的两个图形是 .定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么 是对应点连线的垂直平分线.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在 上.逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线 ，那么这两个图形关于这条直线对称.10.如果一个图形沿着一条直线折叠，那么直线两旁的部分能够互相 ，那么这两个图形叫轴对称图形，这条直线就是它的 .【学法指要】例1、如图，上午8时，一条船从A处出发以15海里时的速度向正北航行，9时45分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26，从B处测得灯塔C在北偏西52，求B处到灯塔C的距离.思路分析：观察图形可发现NBC为ABC的一个外角，可联想三角形内角和定理推论2，进而知道：C = NBCA = 5226=26则有A = C = 26 BC = AB由此可知求B处到灯塔C的距离便转化求AB的距离.根据题设，则有AB = 15(1 + ) = 26.25（海里）BC = 26.25（海里）例2、如图，求作一点P，使PC = PD，并且使P点到AOB的两边OA，OB的距离相等.思路分析：欲使PC = PD，即是点P和线段CD两个端点距离相等，线段的垂直平分线的逆这理告诉我们：“和一条线段的两个端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”.那么，只要作线段CD的垂直平分线即可.同时点P又要到AOB的两边OA，OB的距离相等.“到角两边距离相等的点，在这个角平分线上.”点P在AOB平分线上，作出AOB平分线与CD中垂线的交点即P点.于是便找到作法：(1)作AOB的平分OM；(2)连CD，作CD的中垂线EF与OM交于点P.则点P即为所求.原题不变，下列图形你能求出点P吗？（请画出图形，保留作图痕迹，不写作法.）注：仿例2的思路分析与作法即可，请同学们自己练习.例3、已知P是等边三角形ABC的BC边上任一点，过P点分别作AB，AC的垂线PE和PD，垂足为E，D.求证：AED的周长与四边形EBCD的周长相等.思路分析：欲证AED周长 = 四边形EBCD周长，即证AE + AD + DE = BC + CD + DE + BE，即证AE + AD = BC + CD + BE结合图形，题设知：AE = ABBE，AD = ACCD.此时转化为可证：ABBE + ACCD = BC + CD + BE，又AB = BC = CA.上式又转化为：BC = 2BE + 2CD在RtPBE和RtPDC中，B =C = 60BPE =DBC = 30，BE = PB，CD = PC上式又转化为：BC = 2PB + 2PC即BC = PB + PC此式当然成立.思路畅通.如上思路分析可作如下画图分析： AED周长 = 四边形BECD周长 AE + AD + DE = BC + CD + DE + BE AE + AD = BC + CD + BE ABBE + ACCD = BC + CD + BE AB = BC = CA BC = 2BE + CD RtPBE中，B = 60，BE = PB 同理CD = PC BC = PB + PC按照思路分析图，便可写出证明过程，请同学们完成.我们学会思路分析或画思路图的方法，今后再遇到较难的几何题我们便可执果索因，一步一步分析，结合题设及图形提供的信息源，便可达到目的，或者画思路分析图，要什么，找什么，结合题设和图形提供的条件，就能找到目的地.这两种探寻思路的方法，都应学习，它们可相辅相成，帮你找到思路. AE = DG BC = GE BC = AC例4、如图，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE = BD，连结CE，DE.求证：EC = ED.思路分析：由B = 60，使我们想构造等边三角形，延长BD至点F，使DF = BC，又AE = BD，AB = BC，则BE = BF，BEF为等边三角形 F= 60，BE = EF，BC = DF，EBCEFD.故EC = ED.由B = 60也可这样构造等边三角形.过D作DGAC 交BE于点G，则BDG为等边 DG = BD AE = BD AG = CD AE = BD GE =AC 又ACDG EAC = DGE ACEEGD EC = ED.抓住60这一信息，联想等腰三角形判定定理推论2，便萌生构造等边三角形，从而打开新局面，找到思路.要想找到思路，必须善于捕捉信息，创造出有利因素，便可达到目的.【思维体操】例1、在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 米.（精确到0.1米）思路分析：根据客观实际知：ABC是直角三角形，且C = 90又B = 30，AB = 2AC = 4（米）因有八个楼梯，每个楼梯斜面长为：48 = （米），我们把楼梯放大，即为下图，RtBDE为一个楼梯.（BD + DE）之长即为一个楼梯应铺地毯的长.DE与BC边是平行的.E = 30又BE = （米）DB = BE = （米）由勾股定理，得：DE = （米）DE + BD = 八个楼梯是一样的.楼梯总长为：（）8 = 2 + 2 21.732 +2 = 3.464 + 2 = 5.464 5.5（米）故地毯总长约为5.5米.将生活中的实际问题转化为直角三角形问题，应用等腰三角形判定定理推论3等知识，解决这一问题，解决生产，生活中的实际问题，必须将实际问题抽象，转化为数学问题，便容易找到思路.例2、如图，ABC是等腰三角形（AB = ACBC）(1)求作点P，使ABP，BCP，CAP都是等腰三角形（要写作法，并保留作图痕迹）；(2)如果ABC是正三角形，那么符合条件的点只有几个？思路分析：(1)由课本P87例题启发我们，只要作AB，BC边的垂直平分线交于点即为所求P点.（例题已证PA = PB = PC）.另一方面，ABC是等腰，且AB = AC，所以BC边的垂直平分线定过A点（等腰三角形的三线合一性）.以A为圆心，AB为半径画圆与L1交于P1，P2两点也符合要求.（如图及画图知：AP1 = AB = AP2 = AC）于是可找到作法：(i)分别作BC，AB的垂直平分线L1，L2交于点P，则点P即为所求；(ii)引BC的垂直平分线必过A点，以点为圆心，AB为半径画弧与L1交于P1，P2二点，则P1，P2二点亦为所求.由(i)，(ii)知符合条件的点为P，P1，P2三点.(2)由(1)思路分析，因AB = AC，AC = BC，BC = AB分别作AB，BC，CA垂直平分线L1，L2，L3.再分别以A，B，C为圆心，都以AB为半径画圆，三条垂直平分线和A，B，C分别交P5，P7，P9三点，A，B，C又两两相交于P4，P6，P8三点，L1，L2，L3交于点P，又分别与三圆交于P1，P2，P3三点.由上作图可知，共有10个点符合条件.它们是：P，P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8，P9.本例在求作画图中容易失解，尤其由等腰三角形扩广到等边三角形，出现10个符合条件点，为此，必须抓住轴对称图形的性质，中垂线性质才能不重不漏把符合条件的点都求出来.当我们把这道题完成后，应“宜将剩勇追穷寇，不可沽名学霸王”.应继续研究，分别以P，P1，P10，为三角形一个顶点，以B，C为三角形两个顶点，你能分别写出这些三角形吗？（共30个）.你能找出多少个轴对称图形？你又能找出哪两个三角形分别关于直线L1，L2，L3成轴对称？这样穷追不放，追根朔源.将对垂直平分线性质，等腰三角形的判定，轴对称，轴对称图形概念将进步理解，达到入神造化地步.为进一步学习打下坚实基础.例3、(1)已知：等腰三角形的一个内角为62，则它的底角的度数为（ ） (A)62或59 (B)63或58 (C)62 (D)59(2)已知：等腰三角形的一腰上的高线等于腰长的一半，则它的底角为（ ） (A)15或75 (B)30或60 (C)15 (D)75思路分析：(1)等腰三角形的一个内角为62，这个内角是等腰三角形的底角呢，还是顶角呢？当题设告知不清楚时，应分类讨论，来不得半点的含糊，不然要失解.对本例要分两种情况：(i)当这个内角为顶角，且为62时，这个等腰三角形的底角为： （18062）2 = 59(ii)当这个内角为底角，且为62时，这个等腰三角形的另一个底角亦为62. 由(i)，(ii)知，这个等腰三角形底角的底数为62或59，故应选(A)(2)等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，同学们知道，三角形高线可在形内，可在形外，对本例，高线在三角形内，还是在形外？是不了解的，应分两种情况求解.(i)当等腰三角形的高线在形内时，如左图. BDAC于D，BD = AB A = 30，AB = AC，B = C B = C = （180A）2 =75(ii)当等腰三角形的高线在外时，如左图.BDAC于D，BD = ABDAB = 30，BAC = 150 ABC = C = （180150）2 = 15由(i)，(ii)知等腰三角形的底角为75或15，就选(A)对于等腰三角形问题容易出现二解，三解，甚至多解的可能，从例1，例3已向同学们作出示范与警示.今后在遇到具体问题时，一定要缜密考虑，全面考察，分类求解，才能解答完整.在解题时，千万不能想当然，这是解数字题的一大忌韪.三、智能显示【心中有数】本单元应掌握等腰三角形的性质和判定，掌握等边三角形的性质和判定，并能灵活地运用它们进行论证和计算.对等腰三角形和等边三角形之间关系，它们的性质和判定定理之间关系应了解；线段垂直平分线的性质定理及其逆定理应熟练掌握，能够利用它们进行论证.理解轴对称，轴对称图形的概念，了解轴对称的性质，会画已知图形关于某直线的轴对称图形.通过例习题的学习，学会分析问题的方法，会画图分析找思路，并能把学得的书本知识应用于实践，服务于社会.【动脑动手】1.已知：ABC的AB = AC，D是ABC内一点E和D在AC的两旁，并且AD = AE，AED = ACB.求证：BD = CE2.已知：ABC的AB = AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，B的平分线交AD于I.求证：(1) OA = OB = OC；(2) I到BC，CA，AB的距离相等. 3.求证：如果把等腰三角形的底边向两方向分别延长相等线段，那么延长线段的两个外端与等腰三角形的顶点距离相等.揭示思路：1.证明：ABC和ADE中，AB = AC，ABC = ACB. AD = AE，ADE = AED.AED = ACB.ABC = ADE BAC = DAE. BACDAC = BAD DAEDAC = CAE BAD = CAE AB = AC，AD =AE BADCAE BD = CE2.(1)AB = AC，AD是BC边的中线ADBC.AD为A平分线.AD为BC边中垂线又O为AB，BC两边中垂线的交点.OA = OB，OB = OCOA = OB = OC (2)由(1)证知：AD为BAC平分线.又I在AD上，IEAB，IFACIE = IF又I在B的平分线上 IEAB，IDBC.IE = IDIE = ID = IF3.已知：如图，ABC中，AB = AC，CE，BD分别是BC，CB的延长线，且CE = BD. 求证：AD = AE 证明：AB = AC ABC = ACB ABD = ACE CE = BD ADBAEC AD = AE【创新园地】题：已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM，CBN是等边三角形.求证：AN = BM 扩散一：原题设不变，求证：CE = CF； 扩散二：原题设不变，求证：EFAB；扩散三：已知：如图，ABD，AEC都是等边三角形.求证：BE = DC； 扩散四：已知：如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE = 90.求证：BD = CE；扩散五：已知：如图，ABD和ACE中BAD = CAE，AB = AD，AC = AE.求证：CD = BE；扩散六：已知：如图，四边形ABDE，ACFG都是正方形.求证：BG = CE.揭示思路：题：ACE，CBN都是等边. ACM = MCN = BCN = 60 ACN = BCE = 120 AC = CM，CN = CB ACNMCB AN = BM扩散一：由原题证ACNMCBCNE = CBF，又ECN = FCB = 60，NC = BCCNECBFCE = CF注：亦可证ACEMCF CE = CF扩散二：用扩散一证得CE = CF，又ECF = 60CEF为等边EFC = 60，又BCF = 60EFC = BCFEFAB扩散三：ABD，AEC都是等边三角形DAB = EAC = 60DAB + BAC = EAC + BACDAC = EAB又AD = AB，AE = ACDACEABBE = DC扩散四：ABC，ADE均为等腰直角三角形且BAC = EAD = 90，AB = AC，AE =ADBAC + CAD = EAD + CADBAD = EACBADEACBD = CE扩散五：BAD = CAEBAD + BAC = CAE + BACDAC = EABAB = AD，AC = AEDACEABCD = BE扩散六：证法可仿扩散四.四、同 步 题 库一、填空题1.一个等腰三角形可以是 三角形， 三角形， 角三角形.2.一个等腰三角形底边上的 、 和顶角的 互相重合.3.如图1-4-15，已知AB=AC，1=2，BD=5cm.那么BC . 图1-4-15 图1-4-164.如图1-4-16，已知ABC中，BAC=90，AD是高，C=30，BD=3cm，那么BC= .5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 .6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是 .7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为 .8.已知等腰三角形一个角为75，那么，其余两个角的度数是 .9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是 ，底边长是 .10.如图1-4-17，已知AB=AC，ABC与ACB的平分线交于F点，过F点作DEBC，那么图中的等腰三角形有 个，它们是 . 图1-4-1711.如图1-4-18，已知ABC中，ACB=90，B=30，那么 AB，如果D是AB的中点，那么 是等腰三角形， 是等边三角形.12.如图1-4-19，已知ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA= = ，如果OHAC，H为垂足，那么直线OH是AC的 .13.如图1-4-20，已知AB=BC=CD=CE，CAE=25，那么CEN= ，MCE= . 图1-4-18 图1-4-19 图1-4-2014.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为 .15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是 .二、选择题1. 如图1-4-21，已知ABC=C=72，BD是ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（ ）. （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 图1-4-21 图1-4-22 2. 如图1-4-22，已知ABC中，B=ACB，CDAB于D，那么下列两角关系正确的是（ ）. （A）A=B （B）A=ACD （C）A=DCB （D）A=2BCD3.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（ ）. （A）20cm （B）22cm （C）20cm或22cm （D）都不对4.如图1-4-23，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（ ）. （A）4对 （B）5对 （C）6对 （D）7对5.如图1-4-24，AC=BC，1=2，那么AM是等腰三角形ABC的（ ）. （A）顶角平分线 （B）底角平分线 （C）一腰的中线 （D）底边上的中线6.如图1-4-25，已知在ABC中，AB=AC，B=50，AD、AE分别是BA、CA的延长线，D=20，那么DEA是（ ）. （A）等腰三角形 （B）等边三角形 （C）等腰直角三角形 （D）以上结论都不对 图1-4-23 图1-4-24 图1-4-257.如图1-4-26，已知在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ABD的周长是13cm，那么ABC的周长是（ ）. （A）11.5cm (B)13cm (C)16cm (D)19cm 图1-4-26 8.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）. （A）等边三角形 （B）等腰直角三角形 （C）线段 （D）三角形的内角平分线9.等腰三角形一底角的余角等于（ ）. （A）顶角 （B）顶角的2倍 （C）底边高与一腰所成的角 （D）一腰上的高与另一腰所成的角10.如果三角形的三边a、b、c满足（a-b）(b-c)(c-a)=0，那么这个三角形是（ ）. （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）锐角三角形11.一个等腰三角形，但不是等边三角形，它的角平分线、高、中线总数共有（ ）. （A）9条 （B）7条 （C）6条 （D）5条12.等腰三角形中，有一个角是50，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）. （A）25 （B）40 （C）25或40 （D）以上都不对13.等腰三角形一边长为，周长为，那么，这个等腰三角形腰长为（ ）. （A） （B） （C）3.52 （D）以上都不对14.已知等腰三角形的一个外角等于70，那么底角的度数是（ ）. （A）110 （B）55 （C）35 （D）以上都不对15.满足下列条件的图形是轴对称图形的是（ ）.（A） 全等的两个图形（B） 能互相重合的两个图形（C） 沿一条直线对折，能互相重合的两图形（D） 绕某点旋转180后，能互相重合的两图形.三、计算、证明题1. 如图1-4-27，已知在ABC中，AB=AC，A=40，ABC的平分线BD交AC于D.求：ADB和CDB的度数. 图1-4-272. 如图1-4-28，已知ADBC，垂足为D，BDE和ADC都是等腰直角三角形，CE=5cm，求AB的长. 图1-4-283. 如图1-4-29，已知CE平分ACB，CEDB.DAB=DBA，AC=18cm，CDB的周长是28cm.求DB的长.4. 如图1-4-30，已知在ABC中，AB=AC，BAD=30，AD=AE.求：EDC的度数. 图1-4-29 图1-4-305. 如图1-4-31，已知ABC是等边三角形，在AC、BC上各取一点D、E，使AD=CE，AE，BD相交于O.求BOE的度数.6. 如图1-4-32，已知在ABC中，AB=AC，BAC=120,DE垂直平分AC，DE=2cm.求BC的长.7. 如图1-4-33，已知在ABC中，AB=AC，1=2.求证：ADBC. 图1-4-31 图1-4-32 图1-4-338. 如图1-4-34，已知ABC是等边三角形，AD是BAC的平分线，ADE是等边三角形.求证：BD=BE.9.如图1-4-35，已知在ABC和DBC中，1=2，3=4，E是BC上一点.求证：5=6.10.如图1-4-36，已知AB=AC，ABD=ACD. 图1-4-34 图1-4-35 图1-4-36求证：AD垂直平分BC.11.如图1-4-37，已知在三角形ABC中，AB=AC，以AB，AC向上作等边三角形ABD和ACE.求证：DEBC. 图1-4-37 图1-4-38 12.如图1-4-38,已知在ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE交BC于F.求证：DF=EF.参 考 答 案同步题库一、 填空题1. 锐角 钝角 直角 2.高 中线 平分线 3.10cm 4.12cm 5.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 6.等腰三角形 7.120 8.30和75或52.5和52.5 9.14cm、7cm 10.5、ABC、ADE、DBF、EFC、FBC 11.AC、DBC、ADC 12.OB、OC、垂直平分线 13.105、100 14.5cm 15.线段、角、等腰三角形二、 选择题1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.A 7.D 8.D 9.C 10.A 11.B 12.C 13.A 14.C 15.C三、 计算、证明题1.105，752.5cm，证ABDCEB得AB=CE.3.8cm 证CEDCEB得CD=CB，由已知可得BC=10cm.4. B=C，ADE=AED BAC=180-2C，DAC=180-2AED 180-2C=180-2AED+30 即AED-C=15 得：EDC=AED-C=15.5.证ADBCEA得ABD=CAE 又 BAE+CAE=60 BAE+ABD=60 即BOE=BAE+ABD=60.6.【解】连结AD， B=C=30 又 AD=CD C=DAC=30 CD=4cm.在BAD中，BAD=90 BD=8cm BC=BD+CD=12cm.7.证ABDACD，得AD是BAC的平分线即可.8.证ABDABE可得.9.证ABCDBC，得BA=BD，CA=CD BC是AD的垂直平分线. 由EA=ED 得5=6.10.【证明】 AB=AC ABC=ACB，DBC=DCB 得DB=DC 点A、D都在BC的垂直平分线上 AD垂直平分BC.11.【证明】ADFAEG 得AF=AG AFG=AGF BAC+2AFG=180 BAC+2ABC=180 AFG=ABC 即得DEBC.12.【略证】过E点作BA的平行线EG交BC的延长线于G.先证EGC是等腰三角形得CE=EG再证BFDGFE得DF=EF.18