立体几何共线、共点、共面问题

立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例1. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.求证：X、Y、Z三点共线.例3. 已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。二、共面问题例4. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内例6. 已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.例7. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足k.(1)求证：M、N、P、Q共面.(2)当对角线ACa,BDb，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)三、共点问题例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.1、(1)证明：AA1BB1O,AA1、BB1确定平面BAO，A、A1、B、B1都在平面ABO内，AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明：如图，设ABA1B1P；ACA1C1R； 面ABC面A1B1C1PR. BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BCB1C1Q QPR,即 P、R、Q在同一直线上.3解析：A、B、C是不在同一直线上的三点过A、B、C有一个平面又 4解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明 ab,过a、b可以确定一个平面.Aa,a，A,同理Ba.又Am，Bm,m.同理可证n.bc,过b,c可以确定平面，同理可证m.平面、都经过相交直线b、m,平面和平面重合，即直线a、b、c、m、n共面.5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内.证明：图中，l1l2P， l1,l2确定平面.又 l1l3A,l2l3C, C,A.故 l3.同理 l4. l1,l2,l3,l4共面.图中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.所以结论成立.6、证明 如图，连结MN、NR，则MNl1,NRl2，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l1l2与条件矛盾). MN、NR可确定平面，连结B1C2，取其中点S.连RS、ST，则RSl2，又RNl2， N、R、S三点共线.即有S，又STl1，MNl1，MNST，又S， ST. M、N、R、T四点共面. 7解析：(1) k MQBD，且 MQBD又 k PNBD，且 从而NPBD MQNP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.(2) ， , MNAC，又NPBD. MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角. MNPQ是正方形， MNP90 AC与BD所成的角为90，又ACa，BDb， MNa又 MQb,且MQMN，ba，即k.说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.已知：平面平面a，平面平面b，平面平面c.求证：a、b、c相交于同一点，或abc.证明：a，ba、ba、b相交或ab.(1)a、b相交时，不妨设abP，即Pa，Pb而a、b，aP，P，故P为和的公共点又c由公理2知Pca、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当ab时c且a，aac且ababc故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.