江苏省2022高考数学二轮复习 自主加餐的3大题型 6个解答题综合仿真练(五)(含解析)

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江苏省2022高考数学二轮复习 自主加餐的3大题型 6个解答题综合仿真练(五)(含解析)1如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别为CD和PC的中点,求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.证明:(1)因为平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD,CD2AB,E为CD的中点,所以ABDE,且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因为ABAD,且四边形ABED为平行四边形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD,又ADPAA,所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PDEF,所以CDEF.又因为CDBE,EFBEE,所以CD平面BEF.又CD平面PCD,所以平面BEF平面PCD.2在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin(2AB)sin Csin B.(1)求角A的大小;(2)若a2,求的最大值解:(1)因为ABC,所以ABC,BCA,所以sin(2AB)sin(CA)sin(CA),sin Bsin(CA),由sin(2AB)sin Csin B,得sin(CA)sin Bsin C,所以sin(CA)sin(CA)sin C,即sin Ccos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C,所以2sin Ccos Asin C.在ABC中,sin C0,所以cos A.因为A(0,),所以A.(2)在ABC中,由余弦定理得a2b2c22bccos A,由(1)知A,又a2,所以22b2c22bc,即4b2c2bc2bcbcbc,当且仅当bc2时,bc有最大值4.所以bccos A2,此时abc2,所以的最大值是2.3在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:1的左顶点为A,右焦点为F,P,Q为椭圆C上两点,圆O:x2y2r2(r0)(1)若PFx轴,且满足直线AP与圆O相切,求圆O的方程;(2)若圆O的半径为,点P,Q满足kOPkOQ,求直线PQ被圆O截得的弦长的最大值. 解:(1)因为椭圆C的方程为1,所以A(2,0),F(1,0)因为PFx轴,所以P,根据对称性,可取P,则直线AP的方程为y(x2),即x2y20.由圆O与直线AP相切,得r,所以圆O的方程为x2y2.(2)易知圆O的方程为x2y23.当PQx轴时,kOPkOQk,所以kOP,xp,此时得直线PQ被圆O截得的弦长为2.当PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为ykxb,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x20),首先由kOPkOQ,得3x1x24y1y20,即3x1x24(kx1b)(kx2b)0,所以(34k2)x1x24kb(x1x2)4b20.(*)联立消去y,得(34k2)x28kbx4b2120,则x1x2,x1x2,将其代入(*)式,化简得2b24k23.由于圆心O到直线PQ的距离d,所以直线PQ被圆O截得的弦长l2,故当k0时,l有最大值为.综上,因为2,所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.4.如图,墙上有一幅壁画,最高点A离地面4 m,最低点B离地面2 m,观察者从距离墙x m(x1),离地面高a m(1a2)的C处观赏该壁画,设观赏视角ACB.(1)若a1.5,问:观察者离墙多远时,视角最大?(2)若tan ,当a变化时,求x的取值范围. 解:(1)当a1.5时,过C作AB的垂线,垂足为D,则BD0.5 m,且ACDBCD,由观察者离墙x m,且x1,得tanBCD,tanACD.所以tan tan(ACDBCD),当且仅当x,即x1时取等号又因为tan 在上单调递增,所以当观察者离墙 m时,视角最大(2)由题意得tanBCD,tanACD,又tan ,所以tan tan(ACDBCD). 所以a26a8x24x,当1a2时,0a26a83,所以0x24x3,即解得0x1或3x4.又因为x1,所以3x4,所以x的取值范围为3,45设fk(n)为关于n的k(kN)次多项式数列an的首项a11,前n项和为Sn.对于任意的正整数n,anSnfk(n)恒成立(1)若k0,求证:数列an是等比数列;(2)试确定所有的自然数k,使得数列an能成等差数列解:(1)证明:若k0,则fk(n)即f0(n)为常数,不妨设f0(n)c(c为常数)因为anSnfk(n)恒成立,所以a1S1c,即c2a12.所以anSn2,当n2时,an1Sn12,得2anan10(n2,nN*)若an0,则an10,a10,与已知矛盾,所以an0(nN*)故数列an是首项为1,公比为的等比数列. (2)()若k0,由(1)知,不符题意,舍去. ()若k1,设f1(n)bnc(b0,b,c为常数),所以anSnbnc,当n2时,an1Sn1b(n1)c,得2anan1b(n2,nN*)要使数列an是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有anbd(常数),而a11,故an只能是常数数列,通项公式为an1(nN*),故当k1时,数列an能成等差数列,其通项公式为an1(nN*),此时f1(n)n1.()若k2,设f2(n)an2bnc(a0,a,b,c是常数),所以anSnan2bnc,当n2时,an1Sn1a(n1)2b(n1)c,得2anan12anba(n2,nN*)要使数列an是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有an2anbad,且d2a,考虑到a11,所以an1(n1)2a2an2a1(nN*)故当k2时,数列an能成等差数列,其通项公式为an2an2a1(nN*),此时f2(n)an2(a1)n12a(a为非零常数). ()当k3时,若数列an能成等差数列,则anSn的表达式中n的最高次数为2,故k3时,数列an不能成等差数列综上得,当且仅当k1或2时,数列an能成等差数列6已知R,函数f (x)exex(xln xx1)的导函数为g(x)(1)求曲线yf (x)在x1处的切线方程;(2)若函数g(x)存在极值,求的取值范围;(3)若x1时,f (x)0恒成立,求的最大值解:(1)因为f(x)exeln x,所以曲线yf(x)在x1处的切线的斜率为f(1)0,又f(1)0,所以切线方程为y0. (2)g(x)exeln x(x0),g(x)ex.当0时,g(x)0恒成立,从而g(x)在(0,)上单调递增,故此时g(x)无极值. 当0时,设h(x)ex,则h(x)ex0恒成立,所以h(x)在(0,)上单调递增. 当0e时,h(1)e0,hee0,且h(x)是(0,)上的连续函数,因此存在唯一的x0,使得h(x0)0.当e时,h(1)e0,h()e10,且h(x)是(0,)上的连续函数,因此存在唯一的x01,),使得h(x0)0.综上,当0时,存在唯一的x00,使得h(x0)0. 且当0xx0时,h(x)0,即g(x)0,当xx0时,h(x)0,即g(x)0,所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,因此g(x)在xx0处有极小值所以当函数g(x)存在极值时,的取值范围是(0,)(3)g(x)f(x)exeln x(x0),g(x)ex.若g(x)0恒成立,则有xex恒成立设(x)xex(x1),则(x)(x1)ex0恒成立,所以(x)在1,)上单调递增,从而(x)(1)e,即e.于是当e时,g(x)在1,)上单调递增,此时g(x)g(1)0,即f(x)0,从而f(x)在1,)上单调递增所以f (x)f (1)0恒成立当e时,由(2)知,存在x0(1,),使得g(x)在(0,x0)上单调递减,即f(x)在(0,x0)上单调递减所以当1xx0时,f(x)f(1)0,于是f(x)在1,x0)上单调递减,所以f(x0)f(1)0.这与x1时,f(x)0恒成立矛盾因此e,即的最大值为e.
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