第5讲：容斥原理

第5讲：容斥原理总结容斥原理中最常考的几种题型（小升初计数重点考查内容）练习题补充包【习题1】三位基金经理投资若干只股票张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过其中23只张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只请问：这三位经理一共买过多少只股票？【习题2】五年级共110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加两个小组的有80人，参加了三个小组的有20人，那么五年级有多少人没有参加小组？【习题3】培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了中国少年报，有350人订阅了少年文艺，有250人订阅了数学报，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人请问：培英学校有多少人没有订报？【习题4】光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【习题5】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【习题6】五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10人。请问：参加文艺小组的学生有多少人？【习题7】唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难。请问：师徒四人共同渡过的有多少难？【习题8】有100人参加算术测验，从第1题到第5题共有5道题.答对每道题的人数分别是：第1题92人，第2题86人，第3题61人，第4题87人，第5题57人.这次测验规定，5道题只要做对3道题就及格.那么最少有多少人及格？【习题9】参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有21人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛.【习题10】参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有11人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛.【习题11】某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人.第5讲：容斥原理总结容斥原理中最常考的几种题型（小升初计数重点考查内容）练习题补充包答案【习题1】题目解析：根据题意，三位经理一共买过股票：（66+40+23）-（17+13+9）+6=96（只）.【习题2】题目解析：使用文式图辅助分析，设没参加小组的为x人，则在P-x=P-P+P中，P=110,P=20,012303P=92+51+58=201，而所谓“至少参加了两个小组的”即图中的阴影部分：P-2P=80，12323英语x语文解得P=80+2P=80+2x20=120.从而列方程：110x=201120+20，解得x=9.【习题3】题目解析：订阅报纸的有：500+350+250400100100+100=600（人）没有订报纸的有：1000600=400（人）.【习题4】题目解析：根据容斥原理，先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，共是42+55+33=130（人）.把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人,同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上，实际上参加棋类比赛的共有：130（18+10+9）+5=98（人）.实际上，若设总数为P，满足一个条件的为P，满足两个条件的为P，满足三个条件的为P，0123则有p=pp+P，本题中P=42+55+33=130，P=18+10+9=37，P=5，从而0123123P二13037+5=980【习题5】题目解析：68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的.如图，用圆A表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68+52-60=60（块），这是两个丙组擦的玻璃数.60+2=30（块）.丙组擦了30块玻璃.乙组擦了：68-30=38（块）玻璃，甲组擦了：52-30=22（块）玻璃.【习题6】题目解析这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。因而必须先求出这个三项活动都参加人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。设三项活动都参加人数为x，根据题意得参加文艺小组的人数为7x,既参加数学小组又参加文艺小组的人数为7xF3.5=2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为2x。如图可得46-4x=24+20-10，x=3，所以：参加文艺小组的学生有7x=21人。【习题7】题目解析：唐僧与徒弟共同渡过了81-3=78难，设师徒四人共同渡过了x难，根据容斥原理有77+65+62-64-61-6賑=78解得：x=59因此师徒四人共同渡过了59难【习题8】题目解析：答对题数的合计是：92+86+61+87+57=383人.为使及格人数最少，设全员答对的题不少于2道，余下的答对题的数量不多于383-2x100=183人把这183尽可能少分给一些人.从5道题都答对的最多的人数来考虑，如果答对第5题的最少人数57人都是满分的话，余下的答对题数的合计是183-（5-2）x57=12人.再从答对4道题尽可能多的人数来考虑，答对人数第二少的第3题的61人中，有57人得满分的话，答对了4道题的最多的情况下是61-57=4人.这时，余下的答对题数的合计是：12-(4-2)X4=4.答对3道题的人数是4十(3-2)=4.根据以上分析，可知及格者的最少人数是：57+4+4=65人.所以至少有65人及格.【习题9】题目解析：由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有(8+9+21)+2=19人参加竞赛，但参加英语竞赛的有21人，因此至少应该有21人参加竞赛【习题10】题目解析：由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加两科，所以理论上至少有(8+9+11)+2=14人参加竞赛，14-9=5，14-11=3，参加语文和英语竞赛的有5人，参加语文和数学竞赛的有3人，参加数学和英语竞赛的有6人，符合题意，因此至少有14人参加竞赛【习题11】题目解析：根据题意可知，该班参加竞赛的共有28+23+20=71人次.由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次。要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而71+2=351，所以至多有35人参加两科，此时还有1人参加1科。那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(28+22-20)-2=15人，参加语文、英语两科的共有28-15=13人，参加数学、英语两科的共有20-13=7人。也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14人不参加。检验可知符合题设条件。所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人。(当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语)