资源描述
专题突破三空间直角坐标系的构建策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如一、利用共顶点的互相垂直的三条棱例1已知直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角解如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，所以(2，3,2)，(0，1,0)所以cos，.故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.点评本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可跟踪训练1如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD2，E，F分别是线段PA，CD的中点，求异面直线EF与BD所成角的余弦值考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角解因为平面PAD平面ABCD，PAAD，平面PAD平面ABCDAD，所以，PA平面ABCD，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.即异面直线EF与BD所成角的余弦值为.二、利用线面垂直关系例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB，BB12，BC1，BCC1.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标考点空间向量的正交分解题点向量的坐标解过点B作BP垂直BB1交C1C于点P，因为AB平面BB1C1C，所以ABBP，ABBB1，以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.又BPBB1，BB1ABB，且BB1，AB平面ABB1A1，所以BP平面ABB1A1，因为AB，BB12，BC1，BCC1，所以CP，C1P，BP，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，C1，E，A1(0,2，)，P.点评空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便本题已知条件中的垂直关系“AB平面BB1C1C”，可作为建系的突破口跟踪训练2如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点求直线AN与平面PMN所成角的正弦值考点向量法求直线与平面所成的角题点向量法求直线与平面所成的角解取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.设AN与平面PMN所成的角为，则sin，直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.三、利用面面垂直关系例3如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD2，ABC60，E是BC的中点将ABE沿AE折起，使平面BAE平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角解取AE中点M，连接BM，DM.因为在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，所以ABE与ADE都是等边三角形，所以BMAE，DMAE.又平面BAE平面AEC，平面BAE平面AECAE，所以BM平面AEC，所以BMMD.以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，则B(0,0，)，C(2，0)，D(0，0)，M(0,0,0)，所以(2,0,0)，(0，)，(0，0)，设平面BCD的法向量为m(x，y，z)，由取y1，得m(0,1,1)，又因平面ABE的一个法向量(0，0)，所以cosm，所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45.点评本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小跟踪训练3在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.(1)证明：AB平面VAD；(2)求二面角AVDB的平面角的余弦值考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角(1)证明取AD的中点O作为坐标原点，由题意知，VO底面ABCD，则可建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(1,0,0)，D(1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)易得(0,2,0)，(1,0，)(0,2,0)(1,0，)0，即ABVA.又ABAD，ADVAA，AB平面VAD.(2)解易得(1,0，)设E为DV的中点，连接EA，EB，则E，.(1,0，)0，即EBDV.又EADV，AEB为所求二面角的平面角，cos，.故所求二面角的平面角的余弦值为.四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系例4如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O.(1)求证：平面O1DC平面ABCD；(2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE2EA1，问点F在何处时，EFAD?考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直(1)证明如图所示，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设OA1，OA1a.则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(1,0,0)，D(0，1,0)，O1(1,0，a)则(1，1，a)，(0,0，a)设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面O1DC和平面ABCD的法向量由得令x11，则m(1,1,0)，而n(0,0，a)，故mn0，即平面O1DC与平面ABCD的法向量垂直，故平面O1DC平面ABCD.(2)解由(1)可知，(1,0，a)，(1，1,0)设，则(，0)，故点F的坐标为(，1，0)，.EFAD0，而10，解得.故当F为BC的三等分点(靠近B)时，有EFAD.点评依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系跟踪训练4已知正四棱锥VABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h.(1)求DEB的余弦值；(2)若BEVC，求DEB的余弦值考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角解(1)如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中OxBC，OyAB.由AB2a，OVh，知B(a，a,0)，C(a，a,0)，D(a，a,0)，V(0,0，h)，E.，cos，.即cosDEB.(2)BEVC，0，即(a，a，h)0，a20，ha.此时cos，即cosDEB.1.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为_答案45解析以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，(0,1,0)，cos，135，异面直线EF和CD所成的角是45.2在底面为直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为_考点向量法求二面角题点向量法求二面角答案解析以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SAB的一个法向量，并求得平面SCD的一个法向量n，则cos，n.即所求锐二面角的余弦值为.3.在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB2，AA12，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且OC平面ABB1A1.(1)证明：BCAB1；(2)若OCOA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值考点题点(1)证明由题意知tanABD，tanAB1B，又ABD，AB1B为三角形的内角，故ABDAB1B，则AB1BBAB1ABDBAB1，所以AOB，即AB1BD.又CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，所以AB1CO，因为BDCOO，BD，CO平面CBD，所以AB1平面CBD，又BC平面CBD，所以AB1BC.(2)解如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，B，C，D，设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则z1，x，平面ABC的一个法向量n.设直线CD与平面ABC所成角为，则sin|cos，n|.一、选择题1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.考点题点答案C解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，所以(1,0，)，(1,1，)，因为cos，.2.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是()A.B.C.D.考点题点答案A解析由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(2,1,0)，(1,1,2)，(2,1,0)，cos，则异面直线EM与AF所成角的余弦值为.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是()A.B.C.D1考点题点答案B解析以D1为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，且n(1,1,1)是平面A1C1D的一个法向量，因为(2,2,0)，所以cosn，.设DB与平面A1C1D所成的角为，则sincosn，.4在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60B75C105D90考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0,0,1)，B1，C1(0，0)，B.，10，即AB1与C1B所成角的大小为90.5(2018贵州贵阳高二检测)如图，四棱锥PABCD中，PB平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3，点E在棱PA上，且PE2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为()A.B.C.D.考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角答案B解析如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0,0,3)，D(3,3,0)，E(0,2,1)，(0,2,1)，(3,3,0)设平面BED的法向量为n(x，y，z)，则取z1，得n.又平面ABE的法向量为m(1,0,0)，cosn，m.平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.6.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60，则二面角AA1CB的余弦值是()A.B.C.D.考点题点答案C解析由题意知ABAC，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.又因为(1，0)，(0，)，所以令y1，则n(，1,1)取m(1,0,0)为平面AA1C的一个法向量，所以cosm，n.所以二面角AA1CB的余弦值为.二、填空题7.如图所示，在四面体ABCD中，CACBCDBD2，ABAD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为_考点向量法求直线与直线所成的角题点向量法求直线与直线所成的角答案解析取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，所以(1,0，1)，(1，0)，cos，因为异面直线所成角的范围是，所以AB与CD所成角的余弦值是.8.如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA4，OB3，OP4，OP底面ABCD.设点M满足(0)，当时，直线PA与平面BDM所成角的正弦值是_考点题点答案解析以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(4,0，4)，(0,6,0)，(4,3,0)当时，得M，所以.设平面DBM的法向量为n(x，y，z)，则解得y0，令x2，则z1，所以n(2,0,1)因为cos，n，所以直线PA与平面BDM所成角的正弦值为.9(2018山西太原高二检测)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PAPD，平面ABCD平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是_考点向量法求直线与平面所成的角题点向量法求直线与平面所成的角答案解析如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系则B(1,2,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，M.设平面PCO的法向量为n(x，y，z)，则取n(2,1,0)因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值是|cos，n|.10.如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC2，BD.若CF平面ABCD，CF2，则二面角BAFD的大小为_考点题点答案解析过点A作AE平面ABCD，以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)于是B，D，F(0,2,2)设平面ABF的法向量为n1(x，y，z)，则由得令z1，得所以n1(，1,1)同理，可求得平面ADF的一个法向量为n2(，1,1)由n1n20，知平面ABF与平面ADF垂直，所以二面角BAFD的大小为.11.如图，在棱长为2的正方体AC1中，点P，Q分别在棱BC，CD上，B1QD1P，且PQ.若P，Q分别为BC，CD的中点，则二面角C1PQA的余弦值是_考点题点答案解析以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则P(2,1,0)，Q(1,2,0)，C1(2,2,2)设平面C1PQ的法向量为n(a，b，c)因为(1,1,0)，(0,1,2)，又nn0，所以令c1，则ab2，所以n(2,2，1)因为k(0,0,2)为平面APQ的一个法向量，所以cosn，k.因为二面角为钝角，所以所求余弦值为.12已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，则AC1与侧面ABB1A1所成角的大小为_考点题点答案30解析以A为坐标原点，AB，AA1所在直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，(0，a,0)，(0,0，a)，.设侧面ABB1A1的法向量为n(x，y，z)，n0且n0.yz0.故n(x,0,0)cos，n，|cos，n|.又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.三、解答题13.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值考点向量法求直线与平面所成的角题点向量法求直线与平面所成的角解如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为ABAA12，所以A(0，1，0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)设n(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n(，1,1)设直线CC1与平面AQC1所成的角为，则sin|cos，n|.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.14.如图，在四棱锥EABCD中，平面EAD平面ABCD，DCAB，BCCD，EAED，AB4，BCCDEAED2.(1)证明：BD平面AED；(2)求平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角(1)证明因为BCCD，BCCD2，所以BD2.又因为EAED，EAED2，所以AD2.又因为AB4，由勾股定理知BDAD.又因为平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面AED.(2)解如图，取AD的中点O，连接OE，则OEAD.因为平面EAD平面ABCD，平面EAD平面ABCDAD，所以OE平面ABCD.取AB的中点F，连接OF，则OFBD.因为BDAD，所以OFAD.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则D(，0,0)，C(2，0)，E(0,0，)，(，0)，(，0，)设平面CDE的法向量为n1(x，y，z)，则所以令x1，可得平面CDE的一个法向量n1(1,1，1)又平面ADE的一个法向量为n2(0,1,0)因此|cosn1，n2|.所以平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值为.15.如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值考点题点解(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点M即为所求的一个点理由如下：由已知得，BCED，且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(2)由已知得，CDPA，CDAD，PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又PD平面PAD，所以CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角所以PDA45.由PAAB，PACD，ABCDM，AB，CD平面ABCD，可得PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.作AyAD，以A为坐标原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)，设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，由得取x2，得n(2，2,1)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.24
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