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第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词2019考纲考题考情1简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词。(2)命题pq、pq、綈p的真假判定pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.量词及含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：xM，p(x)。含有存在量词的命题，叫做特称命题。“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：x0M，p(x0)。(2)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)1用“并集”的概念来理解“或”，用“交集”的概念来理解“且”，用“补集”的概念来理解“非”。2记忆口诀：(1)“p或q”，有真则真；(2)“p且q”，有假则假；(3)“非p”，真假相反。3命题pq的否定是(綈p)(綈q)；命题pq的否定是(綈p)(綈q)。一、走进教材1(选修11P26A组T3改编)命题“xR，x2x0”的否定是()Ax0R，xx00Bx0R，xx00CxR，x2x0DxR，x2x0，ln(x1)0；命题q：若ab，则a2b2。下列命题为真命题的是()ApqBp(綈q)C(綈p)qD(綈p)(綈q)解析因为x0，所以x11，ln(x1)0，所以对于x0，ln(x1)0，故p为真命题。由12，12(2)2可知q是假命题，所以綈q为真命题。根据复合命题真值表可知p(綈q)为真命题。故选B。答案B4(2016浙江高考)命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2解析由全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题得，命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是“xR，nN*，使得n0DxR,2x0解析当x10时，lg101，则A为真命题；当x0时，sin00，则B为真命题；当x0时，x30，则C为假命题；由指数函数的性质知，xR,2x0，则D为真命题。故选C。答案C6已知命题p，q，“綈p为真”是“pq为假”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由綈p为真知，p为假，可得pq为假；反之，若pq为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“pq为假”的充分不必要条件。故选A。答案A7已知命题p：xR，x2a0；命题q：x0R，x2ax02a0。若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围为_。解析由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a0，由命题q为真得4a24(2a)0，即a2或a1，所以a2。答案(，2考点一简单的逻辑联结词微点小专题方向1：真假判断【例1】(2019安徽省示范高中模拟)已知下列两个命题：p1：存在正数a，使函数y2xa2x在R上为偶函数；p2：函数ysinxcosx无零点。则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2，q4：p1(綈p2)中，真命题是()Aq1，q4Bq2，q3 Cq1，q3Dq2，q4解析当a1时，y2xa2x在R上是偶函数，所以p1为真命题。当x时，函数ysinxcosx0，所以命题p2是假命题。所以p1p2，p1(綈p2)是真命题。故选A。答案A“pq”“pq”“綈p”等形式命题真假的判断步骤1确定命题的构成形式。2判断其中命题p、q的真假。3确定“pq”“pq”“綈p”等形式命题的真假。方向2：求参数的取值范围【例2】已知p：xR，mx210，q：xR，x2mx10，若pq为假命题，则实数m的取值范围是()A2，) B(，2C(，22，) D2,2解析依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx210恒成立，则有m0；当q是真命题时，则有m240，2m2。因此由p，q均为假命题得即m2。故选A。答案A【互动探究】(1)本例条件不变，若pq为真，则实数m的取值范围是_。(2)本例条件不变，若pq为假，pq为真，则实数m的取值范围是_。解析(1)依题意，当p是真命题时，有m0；当q是真命题时，有2m2，由可得2m0。(2)若pq为假，pq为真，则p、q一真一假。当p真q假时所以m2；当p假q真时所以0m0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()ApqB(綈p)(綈q)C(綈p)qDp(綈q)解析由指数函数的性质知命题p为真命题。易知“x1”是“x2”的必要不充分条件，所以命题q是假命题。由复合命题真值表可知p(綈q)是真命题。故选D。答案D2(方向2)已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数。若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是()A(12，44，)B12，44，)C(，12)(4,4)D12，)解析命题p等价于a2160，即a4或a4；命题q等价于3，即a12。由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假。若p真q假，则a12；若p假q真，则4anBnN*，f(n)N*或f(n)nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)n0(2)已知命题p：x01，x10，那么綈p是()Ax1，x210Bx1，x210Cx01，x10Dx01，x10解析(1)全称命题的否定为特称命题，所以命题的否定是：n0N*，f(n0)N*或f(n0)n0。故选D。(2)特称命题的否定为全称命题，所以綈p：x1，x210。故选B。答案(1)D(2)B全称命题与特称命题的否定1改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写。2否定结论：对原命题的结论进行否定。方向2：求参数的取值范围【例4】(1)已知函数f(x)x22x3，g(x)log2xm，对任意的x1，x21,4有f(x1)g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是_。(2)已知函数f(x)ln(x21)，g(x)xm，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_。解析(1)f(x)x22x3(x1)22，当x1,4时，f(x)minf(1)2，g(x)maxg(4)2m，则f(x)ming(x)max，即22m，解得mBxN*，xCxN*，xDxN*，x解析命题p的否定是把“”改成“”，再把“x”改为“x”。故选D。答案D2(方向1)命题“x0R,123(方向2)已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_。解析由题意知f(x)ming(x)min(x2,3)，因为f(x)在上为减函数，g(x)在 2,3上为增函数，所以f(x)minf(1)5，g(x)ming(2)4a，所以54a，即a1。答案1(配合例1使用)已知函数f(x)给出下列两个命题：命题p：m(，0)，方程f(x)0有解；命题q：若m，则f(f(1)0，那么，下列命题为真命题的是()ApqB(綈p)qCp(綈q)D(綈p)(綈q)解析因为3x0，当m0时，mx20恒成立。若pq为假命题，则实数m的取值范围为_。解析由命题p：x0R，(m1)(x1)0可得m1；由命题q：xR，x2mx10恒成立，即m240，可得2m1。答案(，2(1，)3(配合例3使用)已知命题p：“x0R，ex0x010”，则綈p为()Ax0R，ex0x010Bx0R，ex0x010CxR，exx10DxR，exx10解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“xR，exx10”。故选C。答案C4(配合例4使用)已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_。解析依题意知f(x)maxg(x)max。因为f(x)x在上是减函数，所以f(x)maxf。又g(x)2xa在2,3上是增函数，所以g(x)max8a，因此8a，则a。答案生活中的逻辑正确地使用逻辑用语是现代社会公民应具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语在表述和论证中表达自己的思维。有趣的是，日常生活中的一句话或是一件事，常蕴含着逻辑学的知识。【案例1】“便宜无好货，好货不便宜”是我们所熟知的一句谚语，在期待购得价廉物美的商品的同时，我们常常用这句话来提醒自己保持足够的警惕，不要轻易上某些不良商家的当。我们还可以运用逻辑学知识分析这句谚语里蕴含的逻辑关系。记p表示“便宜”，q表示“不是好货”，那么按“便宜无好货”的说法，pq，即“便宜”(p)是“不是好货”(q)的充分条件；其逆否命题为“綈q綈p”，即綈q(“好货”)是綈p(“不便宜”)的充分条件，即“好货不便宜”。由此可以看出，“便宜无好货”与“好货不便宜”是一对互为逆否关系的命题。非常有趣的是，上海市高考试题曾对此作过考查：钱大姐常说“便宜无好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件正确选项已显然。生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力。在这些熟语里，“水滴”是“石穿”的充分条件，“有志”是“事成”的充分条件，“坚持”是“胜利”的充分条件。这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。【案例2】1873年，马克吐温与另一位作家合写的长篇小说镀金时代，小说揭露了美国西部投机家、东部企业家和政府官员三位一体掠夺国家和人民财富的丑恶黑幕。在一次酒会上，一名记者追问马克吐温对当前美国政府官员的看法，马克吐温一气之下脱口而出：“美国国会有些议员是狗娘养的。”马克吐温的话很快公诸报端，议员们知道后大为愤怒，纷纷向马克吐温兴师问罪，要求公开道歉并予以澄清，否则将诉诸法律。迫于无奈，马克吐温只好在报纸上发表了一份公开更正声明：“日前鄙人在酒席上发言，说有些美国国会议员是狗娘养的，事后本人思虑再三，觉得此言是不妥的，而且不符合事实，故特登报声明，我郑重声明，我收回我以前说的话，并更正如下：美国国会中的有些议员不是狗娘养的。”马克吐温的声明十分精彩，从表面上看似乎对原话作了完全否定的更正，而这其实是新瓶装旧酒，换汤不换药，丝毫没有改变原话的本来意思，反而再一次猛烈抨击了无耻的政府官员，从逻辑上来看，马克吐温在酒会上所说的“美国国会有些议员是狗娘养的”是一个特称命题，其结构为“有些r是s”；后来声明所说的“美国国会中的有些议员不是狗娘养的”也是一个特称命题，其结构为“有些r是綈s”。显然，两者并非命题与其否定之间的关系。我们知道，特称命题“有些r是s”的否定形式是“所有r都是綈s”，所以，倘若马克吐温真心道歉并收回以前所说的话，其更正声明应该表述为“所有美国国会议员都不是狗娘养的”。不过，这话怎么听着也让人心里不舒服。数学是一门逻辑性非常强的学科，生活中的交流同样需要讲究逻辑。通过学习和使用常用逻辑用语，我们可以体会逻辑用语在表述和论证中的作用，从而在实际生活中逐步形成自觉利用逻辑知识对一些命题之间的逻辑关系进行分析和推理的意识，能对一些逻辑推理中的错误进行甄别和纠正，使我们对问题的表述更严密、贴切，增强我们学习数学、运用数学的信心和能力。8
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