复变函数的极限和连续PPT学习教案

会计学1复变函数的极限和连续复变函数的极限和连续数学物理方法 第一章22.2.性质性质第1页/共33页数学物理方法 第一章3( (二二) )复变函数的连续复变函数的连续1. 1. 函数在某点连续的定义函数在某点连续的定义 设设 在在 点及其邻域内有定义，并且当点及其邻域内有定义，并且当 时，有：时，有： 则称函数则称函数 在在 点连续点连续( )wf z0z0zz ( )f z0z连续函数：连续函数：在区域在区域B B内各点均连续的函数称为在区域内内各点均连续的函数称为在区域内B B的连续函数的连续函数注意：连续的定义比实变函数要求更严格( )wf z0z0zz00( )()limzzf zf z( )wf z0z第2页/共33页数学物理方法 第一章41( )zf ze在原点极限？，是否连续?第3页/共33页数学物理方法 第一章51.3 1.3 导数导数一、导数一、导数1.1.导数的定义导数的定义：设函数设函数 是在区域是在区域B B中定义的单值函数，对中定义的单值函数，对B B内某一点内某一点 ，若极限，若极限 存在，并且与存在，并且与 的方式无关，则称的方式无关，则称 在在 可导，并称这个极限值为可导，并称这个极限值为 在在 点的导数，记作：点的导数，记作：00()( )limlimzzwf zzf zzz0z z( )wf z( )wf z( )f zzzz( )wf z第4页/共33页数学物理方法 第一章6( ),( )nf zzfz求例例1 1：设：设12100()(1)( )limlim()2nnnnnzzzzzn nfznzzzzz解:( )f zz 在复平面上均不可导例2：试证明00000000ilimlim1; limlim1;ixxxxyyyyzyzxzyzx 0()( )limzzzzzfzzz证明证明：而所以，该函数在复平面上不可导所以，该函数在复平面上不可导第5页/共33页数学物理方法 第一章7( )dwfz dz( )dffz dz2.2.微分的定义微分的定义( ),( )dwfzfzdz导数等于函数的微分与自变量的微分之商微分微分: : （ 或者或者 ） 称之为函数的微分称之为函数的微分3.3.导数和微分的法则和公式导数和微分的法则和公式实变函数与复变函数导数和微分的定义形式相同，因此实变函数所实变函数与复变函数导数和微分的定义形式相同，因此实变函数所有的导数和微分的公式法则可推广到复变函数有的导数和微分的公式法则可推广到复变函数第6页/共33页数学物理方法 第一章8( )1/( )df zdzdzdf z1,nndznzdzzzdeedzsincos ,dzzdzcossindzzdz ln1dzdzz常用公式：常用公式：第7页/共33页数学物理方法 第一章9二、柯西黎曼条件（C-R条件） 要解决的问题：给定一函数给定一函数如何判断如何判断 在点在点 是否可导？是否可导？ ,uuvvxyxy,uvuvxyyx ( )( , )( , )wf zu x yiv x y( )f zz在点在点 可导的必要条件是可导的必要条件是 存在，且满足存在，且满足C-RC-R条件：条件：,uuvvxyxy,uvuvxyyx z导数存在的必要条件：导数存在的必要条件：第8页/共33页数学物理方法 第一章10证明：由导数的定义知，证明：由导数的定义知， 以任何方式趋于零时，极限以任何方式趋于零时，极限存在，且有相同的极限值，即存在，且有相同的极限值，即 与与 的方式无关，使我们可讨论沿的方式无关，使我们可讨论沿x轴和轴和y轴趋于零的情形轴趋于零的情形00()( )limlimzzwf zzf zzzz0z ( )fz设设izxy (,)(,)i ( , )( , )iu xx yyv xx yyu x yv x y()( )wf zzf z第9页/共33页数学物理方法 第一章11(, )(, )i( , )( , )i( )iu xx yv xx yu x yv x yfzxuvxxz2. 沿平行于沿平行于y轴的方向趋于零轴的方向趋于零， 0,yzx 1. 沿平行于沿平行于X轴的方向趋于零轴的方向趋于零， z( , +)( , +)i( , )( , )i( )iiu x yyv x yyu x yv x yfzyvuyy0,ixzy 第10页/共33页数学物理方法 第一章12因为在因为在 可导，因此可导，因此,uvvuxyxy iiuvvuxxyy( , )x y所以：所以：柯西柯西-黎曼条件黎曼条件(C-R条件条件)说明：说明：A: C-R条件的有限性条件的有限性 B:可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互 紧密联系的紧密联系的。第11页/共33页数学物理方法 第一章13三、导数存在的充分必要条件 在在B B内点内点z z可导的充要条件是：可导的充要条件是：函数函数 的偏导数的偏导数 存在且连续，并且满足存在且连续，并且满足C-RC-R条件。条件。( )f z,uuvvxyxy证明（板书）：( )f z( )f z第12页/共33页数学物理方法 第一章14第13页/共33页数学物理方法 第一章15第14页/共33页数学物理方法 第一章162.2.区域解析区域解析 若函数在区域若函数在区域B内处处可导，则称内处处可导，则称f(z)在在 区域区域B内解析内解析；3.若函数在点若函数在点a不解析不解析,则称点则称点a是是f(z)的的奇点奇点。1.点解析点解析 解析；0z第15页/共33页数学物理方法 第一章17第16页/共33页数学物理方法 第一章18第17页/共33页数学物理方法 第一章19第18页/共33页数学物理方法 第一章20二、函数解析的充要条件二、函数解析的充要条件函数函数 在区域在区域B( )f zz（或者点（或者点 ）解析的充要条件）解析的充要条件zB说明：1.由解析函数的定义可见解析函数是从普遍的复变函数中加上很强的条件后选出来的一类特殊的复变函数(这一类函数在物理学中有广泛的应用)2.解析函数的实部和虚部通过C-R条件互相联系，并不独立第19页/共33页数学物理方法 第一章21三、解析函数的性质三、解析函数的性质1.1.正交性正交性( )若函数( )f xuivB在区域 上解析，则其实部和虚部梯度正交,uuvvuijvijxyxy 12( , ), ( , )u x yC v x yCB或者是区域 上的两组正交曲线证明： 梯度梯度uuuvvu vuvuvijijxyxyxxyy 则(） （）由C-R条件uv 0,uvvvxyxy 则0u vuvxxyy 所以uv 0第20页/共33页数学物理方法 第一章221.调和性若函数0,0uv22（）( )f zuivB在区域 上解析，则其实部和虚部都是调和函数第21页/共33页数学物理方法 第一章23B第22页/共33页数学物理方法 第一章24四、解析函数的求解四、解析函数的求解由解析函数的充要条件可知，解析函数的实部和虚部通过由解析函数的充要条件可知，解析函数的实部和虚部通过C-RC-R条件联系，因此如果知道解析函数的实部或虚部，则可求解该解析函数。下面以虚部已知证明。条件联系，因此如果知道解析函数的实部或虚部，则可求解该解析函数。下面以虚部已知证明。函数解析，则u,v可微并满足C-R条件1.1.证明证明：第23页/共33页数学物理方法 第一章252.2.方法方法第24页/共33页数学物理方法 第一章26例例1 1 已知解析函数的实部已知解析函数的实部 ，求虚部和这个解析函数，求虚部和这个解析函数22( , )u x yxy2,2vuvuyxxyyx ( , )(0,0)( ,0)( , )(0,0)( ,0)( , )( ,0)2222222222x yxx yxx yxydxxdyydxxdyCydxxdyydxxdyCxdyxyC 解：v方法一：方法一：22dvydxxdy所以（C为常数）（C为常数）（C为常数为常数）222( )(2)f zxyixyCziC第25页/共33页数学物理方法 第一章27方法二方法二：解：2,2vuvuyxxyyx 所以2vxyC22(2)dvydxxdydxy222( )(2)f zxyixyCziC第26页/共33页数学物理方法 第一章28方法三：方法三：2,2vuvuyxxyyx 将上面第二式对y积分，x视作参数，有2vxyx （ ）其中其中 为为x x的任意函数，将上式两边再对的任意函数，将上式两边再对x x求导求导x（ ）2( )vyxx由C-R条件得： ,( )0 x( )xC（常数）2vxyC所以222211( )(2)()()f zxyixyCxyiCizC C复常数第27页/共33页数学物理方法 第一章29例222( , )v x yxxy 2.已知解析函数的虚部 ，求实部和这个解析函数( )2cos( )2sin( )22( )0,( )uududduuduC 方法三提示：第28页/共33页数学物理方法 第一章30场在物理上和工程技术上得到广泛应用。当所研究的场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。本节对解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍。场在物理上和工程技术上得到广泛应用。当所研究的场在空间某方向上是均匀的，则只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。本节对解析函数在平面场研究中的应用作一简单介绍。解析函数，实、虚部是共轭调和函数，曲线族解析函数，实、虚部是共轭调和函数，曲线族u=u=常数与常数与v v常数是正交曲线族。常数是正交曲线族。1.5 平面标量场平面标量场1. 平面静电场平面静电场在无电荷区，静电场电势满足拉普拉斯方程，电场所在区域上的某一解析函数的实部（或虚部）就可以用来表示该区域上的静电场的电势。这个解析函数称为平面静电场的复势。其实部或虚部就是电势。在无电荷区，静电场电势满足拉普拉斯方程，电场所在区域上的某一解析函数的实部（或虚部）就可以用来表示该区域上的静电场的电势。这个解析函数称为平面静电场的复势。其实部或虚部就是电势。为叙述方便，这里说为叙述方便，这里说u u是电势。是电势。u=u=常数，是等势线族。常数，是等势线族。曲线族曲线族v(x,y)=v(x,y)=常量，垂直于等势线族，因而常量，垂直于等势线族，因而v=v=常量，是电场线族。常量，是电场线族。第29页/共33页数学物理方法 第一章31例例1. 1. 已知平面电场的电势为已知平面电场的电势为u=xu=x2 2y y2 2，求电场线方程，求电场线方程分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件解：设电场线方程为：v(x,y)=c2 ,222(2)2vuvuyxxyyxvvdvdxdyydxxdydxyxyvxyC 电场线方程为2xyC第30页/共33页数学物理方法 第一章322. 平面无旋液流平面无旋液流由于无旋，速度矢量可表为某标量的梯度，该标量称速度势。用一解析函数f的实部或虚部表示速度势，该解析函数称该平面无旋液流的复势，其虚部或实部即是流量函数，所代表的曲线族是流线族。3. 平面温度场平面温度场同样可用一解析函数，其实、虚部可分别代表温度分布和热流量函数，对应曲线族分别是等温线族和热流线族。第31页/共33页数学物理方法 第一章33P18：1, 2(1),(4),(7), (9), 3书面作业：书面作业：第32页/共33页