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会计学1复变函数四复变函数四21.1.定义定义 , 时的极限时的极限当当称为复数列称为复数列那末那末 nn 记作记作.lim nn . 收敛于收敛于此时也称复数列此时也称复数列n , ), 2 , 1( 其中其中为一复数列为一复数列设设 nn ,nnniba , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba 第1页/共27页32.复数列收敛的条件复数列收敛的条件 ),2,1( 的充要条件是的充要条件是收敛于收敛于复数列复数列 nn.lim,limbbaannnn ,lim nn如果如果那末对于任意给定的那末对于任意给定的0 就能找到一个正数就能找到一个正数N, , 时时当当Nn ,)()( ibaibann证证第2页/共27页4,)()( bbiaaaannn从而有从而有.limaann 所以所以.limbbnn 同理同理.2,2 bbaann反之反之, 如果如果,lim,limbbaannnn , 时时那末当那末当Nn 第3页/共27页5从而有从而有)()(ibaibannn )()(bbiaann 定理一说明定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.lim nn所以所以证毕证毕, bbaann第4页/共27页6课堂练习课堂练习: :下列数列是否收敛下列数列是否收敛? 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz 第5页/共27页71.1.定义定义,), 2 , 1(为为一一复复数数列列设设 nbannn nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和第6页/共27页8收敛与发散收敛与发散,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列ns ,1收敛收敛那末级数那末级数 nn .lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn 说明说明:.lim ssnn 利用极限利用极限 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不收敛不收敛如果部分和数列如果部分和数列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn 第7页/共27页9:,0 nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z第8页/共27页102.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为nns 21)()(2121nnbbbiaaa ,nni )( 11收收敛敛的的充充要要条条件件级级数数 nnnnniba . 11都收敛都收敛和和 nnnnba定理二定理二第9页/共27页11 . 11 nnnnba都收敛都收敛和和级数级数于是于是 : 极限存在的充要条件极限存在的充要条件根据根据ns , 的极限存在的极限存在和和nn 说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二定理二)第10页/共27页12 )1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解; 1 11发散发散因为因为 nnnna . 1121收敛收敛 nnnnb所以原级数发散所以原级数发散. 课堂练习课堂练习第11页/共27页13 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 必要条件必要条件重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn 第12页/共27页14:,1 nine级数级数例如例如, 0limlim innnne 因为因为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示: 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断., 0lim nn 第13页/共27页153. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 . , 11也收敛也收敛那末那末收敛收敛如果如果 nnnn . 11成立成立且不等式且不等式 nnnn 注意注意 ,1的的各各项项都都是是非非负负的的实实数数 nn 应用正项级数的审敛法则判定应用正项级数的审敛法则判定.定理三定理三第14页/共27页16证证由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnnnbabbaa 根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则, 知知 , 11都收敛都收敛及及 nnnnba . 11也都收敛也都收敛及及故故 nnnnba第15页/共27页17由定理二可得由定理二可得. 1是收敛的是收敛的 nn , 11 nkknkk 又由又由 nkknnkkn11limlim 可知可知证毕证毕.11 kkkk 或或第16页/共27页18非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明, 22nnnnbaba 由由, 11122 nkknkknkkkbaba知知如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn 定义定义第17页/共27页19.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba ,11绝对收敛时绝对收敛时与与 nnnnba所以所以.1绝对收敛绝对收敛也也 nn 综上综上:第18页/共27页20nienn)11()1( 因为因为下列数列是否收敛下列数列是否收敛, 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.;)11()1(nienn .sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所以所以而而0lim,1lim nnnnba解解 例例1 1),sin)(cos11(ninn .cos)2(innn 第19页/共27页21)2(解解 innncos 由于由于,时时当当 n 故数列发散故数列发散.,)11(收敛收敛所以数列所以数列nienn .1lim nn 且且,coshnn , n 第20页/共27页22例例2 2 1 112是否收敛？是否收敛？级数级数 nnni解解 级数满足必要条件级数满足必要条件, , 01lim12 ninn即即但但 1112)1(11nnnnnini)31211()31211( i, 1 1发散发散级数级数因为因为 nn.原原级级数数仍仍发发散散,1)1(1收敛收敛虽虽 nnn 11nn 11)1(nnni第21页/共27页23 !)8( 1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnni例例3 3, !81收敛收敛 nnn故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.,!8!)8(nninn 因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解第22页/共27页24 ; )1( 1收敛收敛因为因为 nnn,211收收敛敛也也 nn故原级数收敛故原级数收敛.,)1(1收收敛敛为为条条件件但但 nnn所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛. 21)1( 1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnnin例例4 4解解第23页/共27页25 通过本课的学习通过本课的学习, 应了解复数列的极限概念应了解复数列的极限概念; 熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质收敛与条件收敛的概念与性质. 第24页/共27页26思考题思考题:,11问问均发散均发散和和如果复数项级数如果复数项级数 nnnn ?)(1也发散吗也发散吗级数级数 nnn 第25页/共27页27思考题答案思考题答案否否.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .第26页/共27页
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