余弦定理公式

建构知识网络1三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,CABCABcos=sin,sin=cos（2）面积公式：2222111S=absinC=bcsinA=casinB222S=pr=Jp(pa)(pb)(p阴|(其中p=（3）射影定理：abcrDOODOOa=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosAabc2D正弦定理：2RsinAsinBsinC外证明：由三角形面积111SabsinCbcsinAacsinB22abc得sinAsinBsinC画出三角形的外接圆及直径易得：abcsinAsinBsinC2Rb2c2a23D余弦定理:小心2驱曲cosA2bc；证明：如图DABC中，CHbsinA,AHbcosA,BHcbcosAa2CH2BH2b2sin2A(cbcosA)2b2c22bccosA当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题D4D利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinAvavbDODO；a=bsinA或a=b时有解；avbsinA时无解。5D利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。6D熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力双基题目练练手1(2006山东）在ABC中，角A,B,CODDODDa,b,c，已知A,a、3bl，则c(3A.1B.2C.ID.J3ABC中，AB=3,BC=j13,AC=4,则边AC上的高为（3迈AP3、；3BPC.|4A.等腰直角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等边三角形5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不4.（2006全国口）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的允许折断），能够得到的三角形的最大面积为()A.8J5cm2B.6、l0m2C.3；55cm2D.20cm25.(2006全国皿已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为6.(2006春上海）ABC中，已知BC8,AC5，三角形面积为12，则cos2C3DD2002年上海）在ABC中，若2cosBsinA=sinC,dUABC的形状一定是答案：14.BBCB;3.由2cosBsinA=sinC得a2C22Da=c,Da=b.ac4.组成边长6,7,7时面积最大;5.、込;6.2544【例1】（2006天津）如图，在ABC中，AC2,BCl,cosC3口4（1）求AB的值；（2）求sinaC*解叮）:由余弦定理，AB2AC2BC22AC.BC.cosCDAB、辽.3DDDO：OcosC-，且0C,得4sinC；1cos2C由正弦定理ABBCsinCsinA解得sinABCsinCAB空。所以，8cosA空。由倍角公式84Sin2ASin2AosA寻，且cos2A12sin2A，故16SinA航sm2AcosCcos2ASinC罟提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制【例2】在DABC中，已知a=p3,b=J2,B=45,求A,C及边cD解：由正弦定理得：asinBsinA=bv3in453，因为B=4590且ba,;22所以有两解A=60或A=120(1)当A=60时,C=180-(A+B)=75，bsinCc=sinB、辽in75。拓迈sin45。2(2)当A=120时,C=180-(A+B)=15，bsinC2in15。6-2c=sinBsin45提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论【例3】（2006上海）如图，当甲船位于甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西度的方向沿直线前往A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少解连接B处救援（角度精确到BC,由余弦定理得BC2=202+102Q2x20x10COS120=700于是，BC=10v/7sinACBsin12CH2010打BDSinDacb=y7DACBO,A、B、C都为锐角.答案：C5.2;6.若c最大，由cosC0.得cVi5.又cba=1,A1VcV.【解答题】7.（2004春北京）在ABC中，a、b、c分别是ZA、ZB、ZC的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求ZA的大小及in的值.c剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求ZA，需找ZA与三边的关系，故可用余弦定理由b2=ac可变形为竺=a，再用正弦定理可求业B的值.cc解法一：Ta、b、c成等比数列，Ab2=ac.又a2c2=acbc，Ab2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得b2c2a2bc1cosA=2bc2bc2AZA=60在ABC中，由正弦定理得sinB=竺空,aTb2=ac，ZA=60，.bsinBb2sin603.=sin60=cac2解法二：在ABC中，由面积公式得丄bcsinA=丄acsinB.22Tb2=ac，ZA=60，AbcsinA=b2sinB.bsinB3.=sinA=.c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理8.（2005春北京）在ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和ABC的面积.2解法*.*sinA+cosA2cos(A45.cos(A45)=.2又0VAV180，.A45=60，A=1051.3._tanA=tan(45+60)=2v3.1;3.sinA=sin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=込韶SZabc=2ACABsinA=12U3U2解法二皿sinA+cosA=,2DDsinA+cosA）2=.D2sinAcosA=D2D0DAD180,DsinAU0,cosAD0.D90DAD180.DDsinADcosAD2=1d2sinAcosA=3,2DsinA+得cosA=.22去sinA=得42二cosA=4DtanA=sinA込:6n=cosA44=D2Dv3.v2D以下同解法一D9.D2004全国皿已知锐角ABC中，sinDA+BD=3,sinD5ADBD1D求证：tanA=2tanB；2D设AB=3,求AB边上的高剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以D1D为铺垫，解决D2D.D1D证明：DsinDA+BD=3,sinDAD5BD=5，：inAcosBcosAsinB-D1SinAcosBcosAsinB5inAcosB-tanA=2.tanB5AsinB丄5tanA=2tanB.p2D解：DA+BD2p，DsinDA+BDtanDA+BD=D3,4tanAtonB=d3.将tanA=2tanB代入上式整理得1tanAtanB4得tanB=2,DtanA=2tanB=2+6.22tan2BD4tanBD1=0，解得tanB=D负值舍去D2设AB边上的高为CDCDCD,则AB=AD+DB=+3D.由tanAtanB26AB=3得CD=2+6，所以AB边上的高为2+.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC来证评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力10.ABC中，sinA=SinC，判断这个三角形的形状cosBcosC分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得bca=c2a2b2.a2b2c22ca2ab，所以c2a2b2a2b2c2.b.c,2c2b化简得a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键cosA=0.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出【探索题】已知A、B、CABC的三个内角，y=cotA+2sinAcosA.coSB.CD（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论（2D求y的最小值解：（1DDy=cotA+2sin占.CD.cos.B.CDcoSB.CD=cotA+2sinB.CDcosB.CD.cosB.CDsinBcosC.cosBsinC=cotA+sinBsinC=cotA+cotB+cotC，口任意交换两个角的位置，y的值不变化（2DDcos（BDCDD1,DyDcotA+2sinA1.cosA1.tan2A22tan2+2tan=(22cot+3tanDD22:吨Hot*3.故当A=B=C=-时，y.=：3.3min评述：本题的第（1D问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处际上是一道常见题：在口ABC中，求证：cotA+cotB+cotCDx3.第（2D问实可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC来证