（全国通用版）2022年高考数学一轮复习 第十二单元 空间向量 高考达标检测（三十三）空间向量2综合——翻折、探索 理

（全国通用版（全国通用版） 20222022 年高考数学一轮复习年高考数学一轮复习 第十二单元第十二单元 空间向量空间向量 高高考达标检测（三十三）空间向量考达标检测（三十三）空间向量 2 2 综合综合翻折、探索翻折、探索 理理1如图 1，在ABC中，C90，ACBC3a，点P在AB上，PEBC交AC于点E，PFAC交BC于点F.沿PE将APE翻折成APE，使得平面APE平面ABC；沿PF将BPF翻折成BPF，使得平面BPF平面ABC，如图 2.(1)求证：BC平面APE；(2)若AP2PB，求二面角APCB的正切值解：(1)证明：因为FCPE，FC 平面APE，PE平面APE，所以FC平面APE.因为平面APE平面ABC，且平面APE平面ABCPE，AEPE，所以AE平面ABC.同理BF平面ABC，所以BFAE，从而BF平面APE.又FCBFF，所以平面BCF平面APE.因为BC平面BCF，所以BC平面APE.(2)易知EC，EP，EA两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则C(a,0,0)，P(0,2a,0)，A(0,0,2a)，B(a,2a，a)所以AC(a,0，2a)，AP(0,2a，2a)，BC(0，2a，a)，BP(a,0，a)设平面ACP的一个法向量为m(x，y,1)，则mAC0，mAP0，即ax2a0，2ay2a0，解得x2，y1，所以平面ACP的一个法向量为m(2,1,1)设平面BCP的一个法向量为n(x，y，1)，则nBC0，nBP0，即2aya0，axa0，解得x1，y12，所以平面BCP的一个法向量为n1，12，1.设二面角APCB的大小为，易知为锐角，则 cos|mn|m|n|32|63266，从而可得 tan 5，即二面角APCB的正切值为 5.2.如图， 在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1， ABC60.EAFC，且FC平面ABCD，FC2，AE1，点M为EF上任意一点(1)求证：AMBC；(2)点M在线段EF上运动(包括两端点)，试确定M的位置，使平面MAB与平面FBC所成的锐二面角为 60.解：(1)证明：ABCD，ADDCCB1，ABC60，AB2，连接AC，在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos 602212221cos 603，AB2AC2BC2，BCAC.FC平面ABCD，FCBC.又ACFCC，BC平面AEFC，AM平面AEFC，BCAM.(2)以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，F(0,0,2)，E( 3，0,1)，AB( 3，1,0)，设M(x，y，z)，FM FE(01)，则(x，y，z2)( 3，0，1)，x 3，y0，z2，故M( 3，0,2)，AM( 3 3，0,2)设平面ABM的法向量m(x1，y1，z1)，则mAM0，mAB0，即31x12z10， 3x1y10，令x11，可得y1 3，z1312，m1， 3，312.易知平面FBC的一个法向量为n(1,0,0)，cos 60|mn|m|n|113312212，1，点M与点E重合时，平面MAB与平面FBC所成的锐二面角为 60.3如图，已知在长方形ABCD中，AB2，A1，B1分别是边AD，BC上的点，且AA1BB11，A1E垂直B1D于E，F为AB的中点把长方形ABCD沿直线A1B1折起，使得平面AA1B1B平面A1B1CD，且直线B1D与平面AA1B1B所成的角为 30.(1)求异面直线A1E，B1F所成角的余弦值；(2)求二面角FB1DA1的余弦值解：由已知条件可得A1A，A1B1，A1D两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，由已知AB2，AA1BB11，可得A1(0,0,0)，B1(2,0,0)，F(1,0,1)又A1D平面AA1B1B，所以B1D与平面AA1B1B所成的角为DB1A130， 又A1B1AB2，A1EB1D， 所以A1E1，A1D2 33，从而易得E12，32，0，D0，2 33，0.(1)因为A1E12，32，0，B1F(1,0,1)，所以 cos A1E，B1FA1EB1F|A1E|B1F|12224，所以异面直线A1E，B1F所成角的余弦值为24.(2)易知平面A1B1CD的一个法向量m(0,0,1)设n(x，y，z)是平面B1DF的法向量，易知B1D2，2 33，0，所以nB1F0，nB1D0，即xz0，2x2 33y0.令x1，得n(1， 3，1)所以 cosm，nmn|m|n|55.由图知二面角FB1DA1为锐角，所以二面角FB1DA1的余弦值为55.4(2018成都模拟)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD的中点， 点R在线段BH上， 且BRRH(0) 现将AED，CFD，DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B(该点记为P)，如图所示(1)若2，求证：GR平面PEF；(2)是否存在正实数，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为2 25？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：由题意，可知PE，PF，PD三条直线两两垂直PD平面PEF.在图中，E，F分别是AB，BC的中点，G为BD的中点，EFAC，GDGB2GH.在图中，PRRHBRRH2，且DGGH2，在PDH中，GRPD，GR平面PEF.(2)由题意，分别以PF，PE，PD所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.设PD4，则P(0,0,0)，F(2,0,0)，E(0,2,0)，D(0,0,4)，H(1，1,0)，EF(2，2,0)，DE(0,2，4)PRRH，PR1PH，R1，1，0，RF21，1，021，1，0.设平面DEF的一个法向量为m(x，y，z)，由EFm0，DEm0，得2x2y0，2y4z0.取z1，则m(2,2,1)直线FR与平面DEF所成角的正弦值为2 25，|cosm，RF|mRF|m|RF|413212122 232222 25，921870，解得13或73(不合题意，舍去)故存在正实数13，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为2 25.已知在三棱柱ABCA1B1C1中，B1B平面ABC，ABC90，B1BAB2BC4，D，E分别是B1C1，A1A的中点(1)求证：A1D平面B1CE；(2)设M是B1E的中点，N在棱AB上，且BN1，P是棱AC上的动点，直线NP与平面MNC所成角为，试问：的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出APAC的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：连接BC1交B1C于点O，连接EO，DO，在B1BC1中，DO綊12B1B，在四边形B1BA1A中，A1E綊12B1B，A1E綊DO，四边形A1EOD是平行四边形，A1DEOA1D 平面B1CE，EO平面B1CE，A1D平面B1CE.(2)假设存在符合题意的点P.以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，由已知得A(4,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,4)，E(4,0,2)，M(2,0,3)，N(1,0,0)，则MN(1,0，3)，NC(1,2,0)，AC(4,2,0)，NA(3,0,0)设平面MNC的一个法向量m(x，y，z)，则mMN0，mNC0，即x3z0，x2y0，取x6，得m(6,3，2)，设AP AC(01)，则NPNA AC(34，2，0)，由题设得 sin|cosNP，m|NPm|NP|m|6346|7342421817 202249，设t1(01)，则1t，且 0t1，sin18t7 20t216t5.当t0 时，sin0，当 0t1 时，sin1875t216t2018751t852365187653 57.当且仅当1t85，即t58时，sin取得最大值3 57，此时38.存在符合题意的点P，且APAC38.