（全国通用版）2022年高考数学一轮复习 高考达标检测（三十七）抛物线命题3角度——求方程、研性质、用关系 文

（全国通用版）2022年高考数学一轮复习 高考达标检测（三十七）抛物线命题3角度求方程、研性质、用关系 文一、选择题1若点P到直线x3的距离比它到点(2,0)的距离大1，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线 D抛物线解析：选D依题意，点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线2过抛物线y22px(p0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x3)2(y2)216，则p()A1 B2C3 D4解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1x26，x1x2p8，所以p2.3设F为抛物线y22x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为ABC的重心，则| | |的值为()A1 B2C3 D4解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1x2x33，则|(x1x2x3)3.4已知F是抛物线x28y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|()A4 B5C6 D7解析：选DF是抛物线x28y的焦点，F(0,2), 抛物线上的点A到x轴的距离为5，|AF|57.5已知抛物线y22x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为()A1 B2C3 D4解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23.由抛物线的定义可知，|AF|BF|x1x214.由图可知|AF|BF|AB|AB|4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.6已知O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，直线l：ym(x1)与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|3|FB|，则m的值为()A3 B.C. D.解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x，得my24y4m0，则y1y2，y1y24.由|AF|3|BF|，可得y13y2，所以2y2，3y4，解得m(m舍去)二、填空题7(2017天津高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(1，a)(a0)，则A(0，a)又F(1,0)，所以(1,0)，(1，a)，由题意得与的夹角为120，故cos 120，解得a，所以圆的方程为(x1)2(y)21.答案：(x1)2(y)218已知抛物线C：x22py(p0)，P，Q是C上任意两点，点M(0，1)满足0，则p的取值范围是_解析：过M点作抛物线的两条切线，设切线方程为ykx1，切点坐标为A(x0，y0)，B(x0，y0)，由y，得yx，则解得k .0恒成立，AMB90，即AMO45，|k|tan 451，即 1，解得p2，由p0，则0p2， p的取值范围为(0,2答案：(0,2 9已知点P在抛物线yx2上，点Q在圆C：(x4)221上，则|PQ|的最小值为_解析：点P在抛物线yx2上，设P(t，t2)，圆(x4)221的圆心C，半径r1，|PC|2(4t)22t42t28t，令y|PC|2t42t28t，则y4t34t8，由y0，可得t3t20，解得t1.当t1时，y0，当t1，y0，可知函数在t1时取得最小值，|PC|，|PQ|的最小值为1.答案：1三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x2)2y24的圆心恰是抛物线的焦点(1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|CD|的值解：(1)设抛物线方程为y22px(p0)，圆(x2)2y24的圆心恰是抛物线的焦点，p4.抛物线的方程为y28x.(2)依题意，直线AB的方程为y2x4.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，联立得x26x40，x1x26，|AD|x1x2p6410.|AB|CD|AD|BC|1046.11已知动点P到点的距离比它到直线x的距离小2.(1)求动点P的轨迹方程；(2)记P点的轨迹为E，过点S(2,0)，斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q(1,0)，延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值解：(1)动点P到点的距离比它到直线x的距离小2，动点P到点的距离与它到直线x的距离相等，动点P的轨迹是以点为焦点的抛物线，动点P的轨迹方程为y22x.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4), 则直线AB的方程为yk1(x2)，代入抛物线方程消去x，得y2y40, y1y2，y1y24.直线AC，BD过点Q(1,0)，同理可得y1y3y2y42, y3，y4，k22k1，2.12已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0)的左、右焦点，点P是双曲线上任一点，且|PF1|PF2|2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为E.(1)求双曲线C的渐近线方程和抛物线E的方程；(2)过抛物线E的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M，N两点，当直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线E的焦点？解：(1)由双曲线的定义可知，2a2，即a1.双曲线的方程为x21，双曲线的渐近线方程为y3x.又双曲线的右顶点坐标为(1,0)，即抛物线E的焦点坐标为(1,0)，抛物线E的方程为y24x.(2)抛物线y24x的准线与x轴的交点为(1,0)设直线MN的斜率为k，则其方程为yk(x1)由得k2x22(k22)xk20.直线MN与抛物线交于M，N两点，k0，且4(k22)24k40，解得1k1，且k0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线焦点为F(1,0), 以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，MFNF.1，即y1y2x1x2(x1x2)10.又x1x2，x1x21，yy4x14x216且y1，y2同号，y1y24， 6，解得k.即直线的斜率等于时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点1过抛物线C：y22px(p0)的焦点F作斜率为的直线l，与抛物线C及其准线分别相交于A，B，D三点，则的值为()A2或 B3或C1 D4或解析：选D抛物线C：y22px(p0)的焦点F，过A和B分别做准线的垂线，垂足分别为A，B，则直线AB的方程为y.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x，整理得y2pyp20，则y1y2p，y1y2p2， 设，则，即y1y2，由2，2，整理得421740，解得4或.当4时，如图所示，|AF|4|BF|，则|AB|5|BF|.由抛物线的定义可知：|BF|BB|，由直线AB的斜率为，得sinBDB，即sinBDB，|BD|BB|BF|，|AD|AB|BD|BF|，4.当时，如图所示，4|AF|BF|，则|AB|5|AF|，由抛物线的定义可知：|AF|AA|，由直线AB的斜率为，得sinADA，即sinADA，|AD|AA|AF|，|BD|AB|AD|AF|，. 2已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)过定点M(m,0)(m0)的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：，.当m时，求证：为定值；若点R是直线l：xm上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为kAR，kBR，kMR，是否存在常数s，使得kARkBRskMR恒成立？若存在求出s的值；若不存在，请说明理由解：(1)点D(1，y0)是抛物线上的点，且|DF|2，12，解得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当m1时，M(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为xty1(t0)，可得N.联立消去x，可得y24ty40，则y1y24t，y1y24.，y1(y1)，y2(y2)，1 1221.即为定值设A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(m，y3)，直线AB的斜率不等于0，可设直线AB的方程为xtym.联立消去x，可得y24ty4m0，y1y24t，y1y24m.则kAR，kMR，kBR，则kARkBR，又y4x1，y4x2，代入可得kARkBR，把y1y24t，y1y24m，代入化简可得kARkBR2kMR.综上可得，存在常数s2，使三条直线AR，BR，MR的斜率满足kARkBR2kMR.