（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 5 第5讲 指数与指数函数教学案

第5讲指数与指数函数1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，且n1)2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象及性质函数yax(a0，且a1)图象0a1图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，)单调性减增函数值变化规律当x0时，y1当x1；当x0时，0y1当x0时，0y0时，y14.指数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数yax，ybx，ycx，ydx(a1，b1，0c1，0d1)的图象，如图所示作出直线x1，分别与四个图象自上而下交于点A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：ab1cd0.根据y轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函数yax是R上的增函数()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，)()(5)函数y2x1是指数函数()(6)若am0，且a1)，则mn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1(必修1P59A组T4改编)化简(x0，y0)_解析：因为x0，y0且a1)的图象恒过定点A，则A的坐标为_解析：令x20，则x2，f(2)3，即A的坐标为(2，3)答案：(2，3)易错纠偏(1)忽略n的范围导致式子(aR)化简出错；(2)不能正确理解指数函数的概念致错；(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错1计算_解析：(1)(1)2.答案：22若函数f(x)(a23)ax为指数函数，则a_解析：由题意知即a2.答案：23若函数f(x)ax在1，1上的最大值为2，则a_解析：当a1时，a2；当0a0且21.答案：(0，1)(1，)指数幂的运算 化简下列各式：(1)22(0.01)0.5；(2)ab2(a，b0)【解】(1)原式111.(2)原式ab3ab3ab.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一 化简下列各式：(1)(0.027)；(2).解：(1)原式0.32 .(2)原式.指数函数的图象及应用 (1)函数f(x)21x的大致图象为()(2)函数f(x)|axb|(a0，a1，bR)的图象如图所示，则ab的取值范围是_(3)若方程|3x1|k有一解，则k的取值范围为_【解析】(1)函数f(x)21x2，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求(2)因为根据图象得a1，f()0，b10.(3)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解【答案】(1)A(2)(0，)(3)01，)应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解 1函数y(a1)的图象大致是()解析：选B.y因为a1，依据指数函数的图象特征可知选B.2若函数y21xm的图象不经过第一象限，则m的取值范围为_解析：ym，函数y的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m2.答案：(，2指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现主要命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)解简单的指数方程或不等式；(3)复合函数的单调性；(4)函数的值域(最值)角度一比较指数式的大小 设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca【解析】因为函数y0.6x是减函数，00.60.60.60.61.5，即ba0，所以1.50.61.501，即c1.综上，bac.【答案】C角度二解简单的指数方程或不等式 设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3) B(1，)C(3，1) D(，3)(1，)【解析】当a0时，不等式f(a)1可化为71，即8，即，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a0，a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为()A. B1C3 D.或3【解析】令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)当0a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，则ymax214，解得a(负值舍去)综上知a3或a.【答案】D有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决提醒在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论 1已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1，0，则ab_解析：当a1时，函数f(x)axb在1，0上为增函数，由题意得无解当0a1时，函数f(x)axb在1，0上为减函数，由题意得解得所以ab.答案：2已知函数f(x)的值域是8，1，则实数a的取值范围是_解析：当0x4时，f(x)8，1，当ax0时，f(x)，所以8，1，即81，即3a1.73 B0.610.62C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1解析：选B.A中，因为函数y1.7x在R上是增函数，2.53，所以1.72.51.73.B中，因为y0.6x在R上是减函数，10.62.C中，因为0.811.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小因为y1.25x在R上是增函数，0.10.2，所以1.250.11.250.2，即0.80.11，00.93.10.93.1.4(2020宁波效实中学高三质检)若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解析：选B.由f(1)得a2.又a0，所以a，因此f(x).因为g(x)|2x4|在2，)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是2，)5已知函数yf(x)与yF(x)的图象关于y轴对称，当函数yf(x)和yF(x)在区间a，b同时递增或同时递减时，把区间a，b叫作函数yf(x)的“不动区间”，若区间1，2为函数y|2xt|的“不动区间”，则实数t的取值范围是()A(0，2 B.C. D.解析：选C.因为函数yf(x)与yF(x)的图象关于y轴对称，所以F(x)f(x)|2xt|，因为区间1，2为函数f(x)|2xt|的“不动区间”，所以函数f(x)|2xt|和函数F(x)|2xt|在1，2上单调性相同，因为y2xt和函数y2xt的单调性相反，所以(2xt)(2xt)0在1，2上恒成立，即1t(2x2x)t20在1，2上恒成立，即2xt2x在1，2上恒成立，即t2，故答案为C.6指数函数yf(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)f(m)_解析：设f(x)ax(a0且a1)，所以f(0)a01.且f(m)am3.所以f(0)f(m)1am1.答案：7(2020杭州中学高三月考)已知exx3x10，27y33y10，则ex3y的值为_解析：因为exx3x10，27y33y10等价于e3y(3y)3(3y)10，所以x3y，即x3y0，所以ex3ye01.答案：18若函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是_解析：依题意，a应满足解得a.答案：9当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_解析：原不等式变形为m2m，因为函数y在(，1上是减函数，所以2，当x(，1时，m2m恒成立等价于m2m2，解得1m0，a1，bR)(1)若f(x)为偶函数，求b的值；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，试求a，b应满足的条件解：(1)因为f(x)为偶函数，所以对任意的xR，都有f(x)f(x)，即a|xb|a|xb|，|xb|xb|，解得b0.(2)记h(x)|xb|当a1时，f(x)在区间2，)上是增函数，即h(x)在区间2，)上是增函数，所以b2，b2.当0a1且b2.综合题组练1已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2c D2a2c2解析：选D.作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，因为abf(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，所以02a1.所以f(a)|2a1|12a1，所以f(c)1，所以0c1.所以12cf(c)，所以12a2c1，所以2a2c0，且a1，b0)的图象经过点P(1，3)，如图所示，则的最小值为_，此时a，b的值分别为_解析：由函数yaxb(a0且a1，b0)的图象经过点P(1，3)，得ab3，所以1，又a1，则22，当且仅当，即a，b时取等号，所以的最小值为.答案：，4(2020绍兴一中高三期中)已知函数f(x)e|x|，将函数f(x)的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象，函数h(x)若对于任意的x3，(3)，都有h(x)g(x)，则实数的最大值为_解析：依题意，g(x)f(x3)2e|x3|2，在同一坐标系中分别作出g(x)，h(x)的图象如图所示，观察可得，要使得h(x)g(x)，则有4e6x2e(x3)2，故4e2x9，解得2x9ln 4，故xln 2，实数的最大值为ln 2.答案：ln 25已知函数f(x)2a4x2x1.(1)当a1时，求函数f(x)在x3，0上的值域；(2)若关于x的方程f(x)0有解，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)24x2x12(2x)22x1，令t2x，x3，0，则t.故y2t2t12，t，故值域为.(2)关于x的方程2a(2x)22x10有解，设2xm0，等价于方程2am2m10在(0，)上有解，记g(m)2am2m1，当a0时，解为m10，不成立当a0时，开口向下，对称轴m0时，开口向上，对称轴m0，过点(0，1)，必有一个根为正，综上得a0.6(2020宁波效实中学模拟)已知函数f(x)，x1，1，函数g(x)f(x)22af(x)3的最小值为h(a)(1)求h(a)；(2)是否存在实数m，n同时满足下列条件：mn3；当h(a)的定义域为n，m时，值域为n2，m2？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由解：(1)因为x1，1，所以f(x)，设t.则y(t)t22at3(ta)23a2.当a3时，yminh(a)(3)126a.所以h(a)(2)假设存在m，n满足题意因为mn3，h(a)126a在(3，)上是减函数，又因为h(a)的定义域为n，m，值域为n2，m2，所以两式相减得6(mn)(mn)(mn)，即mn6，与mn3矛盾，所以满足题意的m，n不存在16