2022届高考数学二轮复习第二篇专题通关攻略专题7解析几何专题能力提升练二十2.7.4与椭圆抛物线相关的定值定点及存在性问题

2022届高考数学二轮复习第二篇专题通关攻略专题7解析几何专题能力提升练二十2.7.4与椭圆抛物线相关的定值定点及存在性问题(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018蚌埠一模)已知F为双曲线C:-=1(a0,b0)的左焦点,直线l经过点F,若点A(a,0),B(0,b)关于直线l对称,则双曲线C的离心率为()A.B.C.+1D.+1【解析】选C.点A(a,0),B(0,b)关于直线l对称,可得直线l为AB的垂直平分线.AB的中点为,AB的斜率为-,可得直线l的方程为y-=.令y=0,可得x=a-,由题意可得-c=a-,即有a(a+2c)=b2=c2-a2,由e=,可得e2-2e-2=0.解得e=1+(1-舍去).2.(2018西宁一模)椭圆+=1(ab0)的一个焦点为F1,若椭圆上存在一个点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF1相切于点M,连接OM,PF2.因为M,O分别为PF1,F1F2的中点,所以|PF2|=2|MO|=2b.又因为线段PF1与圆O相切于点M,所以OMPF1,PF1PF2,则|PF1|=2,|PF1|+|PF2|=2a,代入化简得:2ab=a2-c2+2b2=3b2,所以b=a,c=a,则离心率为e=.3.已知焦点在x轴上的双曲线-=1的左右两个焦点分别为F1和F2,其右支上存在一点P满足PF1PF2,且PF1F2的面积为3,则该双曲线的离心率为 ()A.B.C.2D.3【解析】选B.记|PF1|=m,|PF2|=n,则m-n=2a,m2+n2=|F1F2|2=4c2,=mn=m2+n2-(m-n)2=c2-a2=b2=a2-1=3,则a2=4,从而e=.4.(2018郑州一模)已知椭圆C:+=1(ab0)的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2,则椭圆的离心率的平方为()A.B.C.D.【解析】选B.因为在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1PF2,所以以原点为圆心,以c为半径的圆与AB相切,则POAB,所以ab=c,又b2=a2-c2,代入化简可得e4-3e2+1=0.则e2=(另一个根已舍去).5.已知点A是抛物线y=x2的对称轴与准线的交点,点F为该抛物线的焦点,点P在抛物线上,且满足|PF|=m|PA|,当m取得最小值时,点P恰好在以A,F为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.B.C.+1D.+1【解析】选C.抛物线的标准方程为x2=4y,则抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|,因为|PF|=m|PA|,所以|PN|=m|PA|,则=m,设PA的倾斜角为,则sin =m,当m取得最小值时,sin 最小,此时直线PA与抛物线相切,设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,所以=16k2-16=0,所以k=1,所以P(2,1),所以双曲线的实轴长为|PA|-|PF|=2(-1),所以双曲线的离心率为=+1.6.已知点A在曲线P:y=x2(x0)上,A过原点O,且与y轴的另一个交点为M,若线段OM,A和曲线P上分别存在点B、点C和点D,使得四边形ABCD(点A,B,C,D顺时针排列)是正方形,则称点A为曲线P的“完美点”.那么下列结论中正确的是()A.曲线P上不存在”完美点”B.曲线P上只存在一个“完美点”,其横坐标大于1C.曲线P上只存在一个“完美点”,其横坐标大于且小于1D.曲线P上存在两个“完美点”,其横坐标均大于【解析】选B.如图1,如果点A为“完美点”,则有|AB|=|AD|=|AC|=|OA|,以A为圆心,|OA|为半径作圆(如图2中虚线圆)交y轴于B,B(可重合),交抛物线于点D,D,当且仅当ABAD时,在圆A上总存在点C,使得AC为BAD的角平分线,即BAC=DAC=45,利用余弦定理可求得此时|BC|=|CD|=|OA|,即四边形ABCD是正方形,即点A为“完美点”,如图,结合图象可知,点B一定是上方的交点,否则在抛物线上不存在D使得ABAD,D也一定是上方的点,否则,A,B,C,D不是顺时针,再考虑当点A横坐标越来越大时,BAD的变化情况:设A(m,m2),当m45,此时圆与y轴相离,此时点A不是“完美点”,故只需要考虑m1,当m增加时,BAD越来越小,且趋近于0,而当m=1时,BAD90;故曲线P上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于M,N两点,且|MN|=8,则线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为_.【解析】分别过点M,N作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,由抛物线的定义知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,则|MP|+|NQ|=|MN|=8.线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为梯形MNQP的中位线的长度,即(|MP|+|NQ|)=4.答案:48.(2018大连一模)已知抛物线C:y2=2x,过点(1,0)任作一条直线和抛物线C交于A,B两点,设点G(2,0),连接AG,BG并延长,分别和抛物线C交于点A和B,则直线AB过定点_.【解析】方法一:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线AB的方程为x=ky+1,由消x可得y2-2ky-2=0,所以y1+y2=2k,y1y2=-2,则直线AG的方程为y=(x-2),直线BG的方程为y=(x-2),将y=(x-2),代入y2=2x中,即y1y2-2(x1-2)y-4y1=0,解得yA=-,xA=,同理可得yB=-,xB=,所以kAB=-=,所以直线AB的方程为y+=,或y+=.由+可得y+2=.即y=(x-4).所以直线AB过定点(4,0).方法二:不妨令直线AB为x=1,由解得y=,所以A(1,),B(1,-),因为G(2,0),所以直线AG的方程为y=-(x-2),直线BG的方程为y=(x-2).将y=-(x-2)代入抛物线方程得2(x-2)2=2x,解得x=1或x=4.故A(4,-2),同理可得B(4,2),所以直线AB的方程为x=4,所以直线AB过定点(4,0).答案:(4,0)三、解答题(每小题10分,共40分)9.已知定圆C:x2+(y-3)2=4,定直线m:x+3y+6=0,过A(-1,0)的一条动直线l与直线m相交于N,与圆C相交于P,Q两点,M是PQ中点. (1)当l与m垂直时,求证:l过圆心C.(2)当|PQ|=2时,求直线l的方程.(3)设t=,试问t是否为定值,若为定值,请求出t的值;若不为定值,请说明理由.【解析】(1)由已知km=-,故kl=3,所以直线l的方程为y=3(x+1),将圆心C(0,3)代入方程y=3(x+1)成立,故l过圆心C.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意,当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),因为|PQ|=2,所以|CM|=1,即=1,解得k=,此时y=(x+1),即4x-3y+4=0,故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.(3)当l与x轴垂直时,易得M(-1,3),N,又A(-1,0),则=(0,3),=,故=-5,即t=-5,当l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入圆的方程得:(1+k2)x2+(2k2-6k)x+k2-6k+5=0,则x1+x2=,xM=,yM=k(xM+1)=,即M,=,又由得N, 则=,故t=+=-5,综上所述,t的值为定值,且t=-5.10.已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P(2,),且它的离心率e=.(1)求椭圆的标准方程.(2)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M,N两点,若椭圆上一点C满足+=,求实数的取值范围.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(ab0),由已知解得所以椭圆的标准方程为+=1.(2)因为直线l:y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切,所以=1,2k=(t0),把y=kx+t代入+=1整理得(3+4k2)x2+8ktx+(4t2-24)=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=-,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,因为+=,所以=(x1+x2,y1+y2),所以C,又因为点C在椭圆上,所以+=12=,因为t20,所以+11,所以022,所以的取值范围为(-,0)(0,).11.已知过点P的直线l与抛物线x2=y交于不同的两点A,B,点Q(0,-1),连接AQ,BQ的直线与抛物线的另一交点分别为N,M,如图所示.(1)若=2,求直线l的斜率.(2)试判断直线MN的斜率是否为定值,如果是,请求出此定值,如果不是,说明理由.【解析】(1)设直线l的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得m2y2+(m-1)y+=0,因为=2,所以y2=2y1,由得y1=,=,解得m=-8+6,m=-8-60得,4k2+3m2,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.=(+)(+)=+=0,所以(x1+2)(x2+2)+y1y2=0,即(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+4+m2=0,4k2-16km+7m2=0,所以k=m或k=m均适合.当k=m时,直线l过点A,舍去,当k=m时,直线l:y=kx+k过定点.(建议用时:50分钟)1.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A.2-1B.2-2C.-1D.-2【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,Q,F三点共线时点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为|FC|-r=-1.2.已知点F是曲线C:y=x2的焦点,点P为曲线C上的动点,A为曲线C的准线与其对称轴的交点,则的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.由已知P,A(0,-1),F(0,1),则=,当且仅当x2=4时等号成立,又1.故选C.3.已知双曲线-=1(ba0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P使=,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,+1)B.(,+)C.(,+1)D.(+1,+)【解析】选C.由题意可设P在右支非x轴上,由正弦定理有=,为方便运算,设|PF1|=m,|PF2|=n,则=,又m-n=2a, 解得n=,m=,又sinPF1F20,则P,F1,F2不共线,则m+n2c,即+2c,整理得c2-a2-2ac0,两边同时除以a2得e2-2e-10,解得1-ea,则e,故e(,1+),故选C.4.(2018榆林一模)已知F1,F2是双曲线-=1(a0,b0)的左右两个焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则该双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(,)C.(,2)D.(2,+)【解析】选D.如图,由题意,直线MF2的方程为y=-(x-c),OM的方程为y=x,联立两直线方程,得M,因为点M在以线段F1F2为直径的圆外,所以+c2,b23a2,则e=2.5.(2018衡水一模)已知抛物线C:y2=2px(p0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为.(1)若M,过点M,P的直线l1与抛物线相交于另一点Q,求的值.(2)若直线l2与抛物线C相交于A,B两点,与圆M:(x-a)2+y2=1相交于D,E两点,O为坐标原点,OAOB,试问:是否存在实数a,使得|DE|的长为定值?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为点P(2,t),所以2+=,解得p=1,故抛物线C的方程为y2=2x,当x=2时,t=2,所以l1的方程为y=x+,联立可得xQ=,又因为|QF|=xQ+,|PF|=xP+,所以=.(2)设直线AB的方程为x=ty+m,代入抛物线方程可得y2-2ty-2m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2m,由OAOB得:(ty1+m)(ty2+m)+y1y2=0,整理得(t2+1)y1y2+tm(y1+y2)+m2=0,将代入解得m=2,所以直线l:x=ty+2,因为圆心到直线l的距离d=,所以|DE|=2,显然当a=2时,|DE|=2,|DE|的长为定值.6.(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:k-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:,成等差数列,并求该数列的公差.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k-.(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.又点P在C上,所以m=,从而P,|=.于是|=2-.同理|=2-.所以|+|=4-(x1+x2)=3.故2|=|+|,即|,|,|成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=|-|=|x1-x2|=.将m=代入得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入解得|d|=.所以该数列的公差为或-.