（浙江专用）2018版高中数学 第四章 圆与方程习题课学案 新人教A版必修2

第四章 圆与方程习题课目标定位1.能根据条件求直线或圆的方程. 2.能利用坐标法解决一些简单的位置关系问题.3.通过研究圆上任意一点与直线上任意一点之间距离的最值问题及两圆关于直线对称问题，体会数形结合.化归的思想方法及解析法思想.自 主 预 习1.直线l：y1k(x1)和圆x2y22y0的位置关系是()A.相离 B.相切或相交C.相交 D.相切解析l过定点A(1，1)，1212210，点A在圆上，直线x1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，l与圆一定相交，故选C.答案C2.已知圆C：(xa)2(y2)24(a0)及直线l：xy30，当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a等于()A. B.2C.1 D.1解析因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即1，解得a1，因为a0所以a1，故选C.答案C3.与圆(x3)3(y2)24关于直线x1对称的圆的方程为()A.(x5)2(y2)24B.(x3)2(y2)24C.(x5)2(y2)24D.(x3)2y24解析已知圆的圆心(3，2)关于直线x1的对称点为(5，2)，所求圆的方程为(x5)2(y2)24.答案A4.已知半径为1的动圆与圆(x5)2(y7)216相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x5)2(y7)225B.(x5)2(y7)217或(x5)2(y7)215C.(x5)2(y7)29D.(x5)2(y7)225或(x5)2(y7)29解析设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则41，(x5)2(y7)225；若动圆与已知圆内切，则41，(x5)2(y7)29.答案D5(2016山东)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离解析圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得()2a2，解得a2.M(0，2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B.答案B6.两圆相交于点A(1，3)，B(m，1)，两圆的圆心均在直线xyc0上，则mc的值为_.解析由圆的几何性质得直线垂直平分AB，有解得mc3.答案3题型一与圆有关的最值问题【例1】 已知实数x，y满足方程(x2)2y23.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值；解(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.(2)设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.规律方法在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.【训练1】 过直线xy40上任意一点P(x，y)向圆x2y21引切线，求切线长的最小值.解如图，过O点向直线xy40引垂线，垂足为P，过P作圆x2y21的一条切线PA，A为切点，此时P点是直线上所有点中到O点的距离最小的点，又|PA|2|PO|2|PA|2，|AO|r，|PA|217，|PA|，切线长的最小值为.题型二与圆有关的轨迹问题【例2】 已知点P在圆C：x2y28x6y210上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.解法一设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则点P(x0，y0)在圆C：x2y28x6y210上，xy8x06y0210.(2x)2(2y)28(2x)6(2y)210.即点M的轨迹方程为x2y24x3y0.法二设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA.圆C的方程可化为(x4)2(y3)24，圆心C(4，3)，|CP|2.则点A的坐标为.如图，在OCP中，M，A分别是OP，OC的中点，则|MA|CP|，即|MA|1.又当O，C，P三点共线时，|MA|1.点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆.点M的轨迹方程为(x2)21.规律方法本题法一为代入法：它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可.本题法二为定义法：动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程.【训练2】 如图所示，已知P(4，0)是圆x2y236内的一点，A，B是圆上两动点，且满足APB90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解设AB的中点为R(x，y)，连接AO，RO.在RtARO中，|AR|2|AO|2|OR|236(x2y2).又|AR|PR|，(x4)2y236(x2y2)，即x2y24x100.点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点也在所求的轨迹上运动.设Q(x，y)，R(x1，y1)，由R为PQ中点，得x1，y1.将x1，y1代入方程x2y24x100，得4100.整理，得x2y256.即点Q的轨迹方程为x2y256.题型三过交点的圆系方程的应用【例3】 求过两圆C1：x2y24x2y10与C2：x2y26x0的交点且过点(2，2)的圆的方程.解设过两圆C1：x2y24x2y10与C2：x2y26x0的交点的圆系方程为x2y24x2y1(x2y26x)0，即(1)x2(1)y2(46)x2y10.把(2，2)代入，得4(1)4(1)2(46)410，解得.圆的方程为x2y22x8y40.规律方法当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0，然后用待定系数法求出即可.【训练3】 求过直线x3y70与圆x2y22x2y30的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为8的圆的方程.解设过直线与圆的交点的圆的方程为(x2y22x2y3)(x3y7)0，即x2y2(2)x(32)y370.令y0，得x2(2)x370，圆在x轴上的两个截距之和为2.令x0，得y2(32)y370，圆在y轴上的两个截距之和为23.由题意得2238，解得2.故所求圆的方程为x2y24x4y170.题型四利用坐标法解决直线与圆的问题【例4】 街头有一片绿地，绿地如图所示(单位：m)，其中ABC为圆弧，求此绿地面积(精确到0.1 m2).解如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A(0，7)，B(3，8)，C(7，6)，所以过A，B，C三点的圆弧方程为(x3)2(y3)225(0x7，y0).|AC|5，AEC90.故所求的面积为S梯形AODCS弓形ABCS梯形AODC(S扇形ACESACE)52523352.6 m2，所以绿地面积为52.6 m2.规律方法利用坐标法解决实际问题一般需要三个步骤：(1)建立坐标系，将实际问题转化为数学问题；(2)解决数学问题；(3)将数学问题还原成实际问题.【训练4】 如图所示，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一般圆弧，点M在点O正北方向，且|MO|3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于 km，求校址距离点O的最近距离.(注：校址视为一个点)解(1)以城市开发中心O为原点，分别以l2、l1为x轴、y轴，建立直角坐标系.根据题意，得M(0，3)，N(4，5)，故kMN，MN的中点为(2，4)，线段MN的垂直平分线方程为y42(x2).令y0，得x4，故圆心A的坐标为(4，0)，半径r5.圆A的方程为(x4)2y225，的方程为(x4)2y225(0x4，3y5).(2)设校址选在点B(a，0)(a4)，则对0x4恒成立，整理得(82a)xa2170，对0x4恒成立.令f(x)(82a)xa217，a4，82a0.f(x)在0，4上为减函数，要使恒成立，当且仅当时，即a5，即校址距离点O的最近距离为5 km.课堂小结1.求圆的方程时，当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时，一般用圆的标准方程比较方便；否则，用圆的一般方程较好，特别是当给出圆上三个点的坐标时，用一般方程可以得到关于D，E，F的三元一次方程组，这比用圆的标准方程简便得多.2.与圆有关的最值问题包含的情况(1)求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax|OP|r，dmin|OP|r|；(2)求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m，则dmaxmr，dminmr；(3)已知点的运动轨迹是(xa)2(yb)2r2，求；x2y2等式子的最值，一般是运用几何法求解.3.坐标法贯穿解析几何的始终，通过平面直角坐标系，研究了直线和圆的有关问题；通过建立坐标系，把点与坐标、曲线与方程等联系起来，将几何问题转化为代数问题，优化了思维的过程.基 础 过 关1.若圆C：x2y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：xyc0的距离为2，则c的取值范围是()A.2，2 B.(2，2)C.2，2 D.(2，2)解析圆C：x2y24x4y100可化为(x2)2(y2)2(3)2.由题意知，圆心到直线的距离应小于等于，所以d，所以|c|2，即2c2.答案C2.实数x，y满足x2y26x6y120，则的最大值为()A.3 B.32 C.2 D.解析设k，则ykx，代入x2y26x6y120得(1k2)x26x6kx120，即(1k2)x2(66k)x120.(66k)2412(1k2)0，32k32.的最大值为3.答案B3.设有半径为3公里的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东，而B向北前进，A离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A，B两人的速度都一定，且其比为31，问A，B两人在_相遇.解析如图所示，以村落中心为坐标原咪，以东西方向为x轴，建立平面直角坐标系，又设A向东走到D转向到C恰好与B相遇，设CD方程为1(a3，b3)，设B的速度为v，则A的速度为3v，依题意有.解得所以，B向北走3.75公里时相遇.答案B向北走3.75公里处4.已知点M(1，0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_.解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2y24x2y0的圆心为C(2，1)，kCM1，最短弦所在直线的方程为y0(x1)，即xy10.答案xy105.P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程为_.解析设P(4，2)与圆上任一点连线的中点坐标为(x，y)，则由题意可知圆上的点的坐标为(2x4，2y2).所以(2x4)2(2y2)24，整理得(x2)2(y1)21.答案(x2)2(y1)216.已知圆x2y24ax2ay20a200.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2y24相切，求a的值.(1)证明圆的方程可整理为(x2y220)a(4x2y20)0，此方程表示过圆x2y2200和直线4x2y200交点的圆系.由得已知圆过定点(4，2).(2)解圆的方程可化为(x2a)2(ya)25(a2)2.当两圆外切时，dr1r2，即2，解得a1或a1(舍去)；当两圆内切时，d|r1r2|，即|2|，解得a1或a1(舍去).综上所述，a1.7.求圆心在直线xy40上，且过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程.解法一设经过两圆交点的圆系方程为x2y24x6(x2y24y6)0(1)，即x2y2xy60，所以圆心坐标为.又圆心在直线xy40上，所以40，即.所以所求圆的方程为x2y26x2y60.法二由得两圆公共弦所在直线的方程为yx，由解得所以两圆x2y24x60和x2y24y60的交点分别为A(1，1)、B(3，3)，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y1(x1).由得所以所求圆的圆心为(3，1)，半径为4.所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.能 力 提 升8.若圆x2y2ax2y10与圆x2y21关于直线yx1对称，过点C(a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A.y24x4y80B.y22x2y20C.y24x4y80D.y22xy10解析由圆x2y2ax2y10与圆x2y21关于直线yx1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线yx1上，故可得a2，即点C(2，2)，所以过点C(2，2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x2)2(y2)2x2，整理得y24x4y80.答案C9.已知集合A，集合B(x，y)|x2y2r2，若AB，则实数r可以取的一个值是()A.1 B. C.2 D.1解析对于集合A，将式子x(x1)y(y1)r化简，得r1.当r1时，集合A表示空集；当r1时，集合A表示单元素集合；当r1时，集合A表示圆r1及其内部，圆心为C，半径为.对于集合B(x，y)|x2y2r2，当r0时，B(0，0)；当r0时，表示以原点O为圆心、半径为|r|的圆及其内部. 根据AB，可得A为空集或圆C在圆O的内部，因此r1，或者圆r1与圆x2y2r2内含或内切，即|r|，对照A、B、C、D各项，只有r1满足上述不等式.故选A.答案A10.(2015湖南高考)若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.解析如图，过O点作ODAB于D点，在RtDOB中，DOB60，DBO30，又|OD|1，r2|OD|2.答案211.如图所示，已知定点A(2，0)，点Q是圆x2y21上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.解过M作MNOQ交AO于N，设M点坐标为(x，y)，OM平分AOQ，|AM|MQ|OA|OQ|.又|AO|2，|OQ|1，|AM|MQ|21.|AM|MQ|AN|NO|，|AN|NO|212.N，|MN|OQ|AN|AO|23，|MN|OQ|，即M点到N点的距离为.M点的轨迹是以N为圆心，为半径的圆.动点M的轨迹方程为y2.探 究 创 新12.有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地的距离是10 km，顾客选A或B地购买商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.解如图，以A，B所确定的直线为x轴，A，B中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(5，0)，B(5，0).设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a 元/km，B地的运费为a 元/km，当P地居民到A，B两地购物的总费用相等时，有价格xA地运费价格xB地运费.3aa.a0，3，两边平方，得9(x5)29y2(x5)2y2，即y2.以点C为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线.圆C内的居民从A地购货便宜；圆C外的居民从B地购货便宜；圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此，可随意从A、B两地之一购货.12