2022年高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 1-1 1-1-2 瞬时变化率——导数

2022年高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 1-1 1-1-2 瞬时变化率导数曲线上一点处的切线如图Pn的坐标为(xn，f(xn)(n1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)问题1：当点Pn点P时，试想割线PPn如何变化？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置问题2：割线PPn斜率是什么？提示：割线PPn的斜率是kn.问题3：割线PPn的斜率与过点P的切线PT的斜率k有什么关系呢？提示：当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率问题4：能否求得过点P的切线PT的斜率？提示：能1割线设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线2切线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为S83t2，其中S表示位移，t表示时间问题1：该质点在1,1t这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在1,1t这段时间内的平均速度为63t.问题2：t的变化对所求平均速度有何影响？提示：t越小，平均速度越接近常数6.1平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度2瞬时速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率3瞬时加速度一般地，如果当t无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在tt0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率导数1导数设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)2导数的几何意义导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率3导函数(1)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)，在不引起混淆时，导函数f(x)也简称f(x)的导数(2)f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值1利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值求曲线上某一点处的切线例1已知曲线yx上的一点A，用切线斜率定义求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程思路点拨先计算，再求其在x趋近于0时无限逼近的值精解详析(1)yf(2x)f(2)2xx，1.当x无限趋近于零时，无限趋近于，即点A处的切线的斜率是.(2)切线方程为y(x2)，即3x4y40.一点通根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，x无限趋近于0时，无限趋近的常数1曲线yx22在点P处的切线的斜率为_解析：设P，Q，则割线PQ的斜率为kPQx1.当x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于1，所以曲线yx22在点P处的切线的斜率为1.答案：12已知曲线y2x24x在点P处的切线的斜率为16，则P点坐标为_解析：设P点坐标为(x0，y0)，则4x042x.当x无限趋近于0时，4x042x无限趋近于4x04，因此4x0416，即x03，所以y023243181230.即P点坐标为(3,30)答案：(3,30)3已知曲线y3x2x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程解：设A(1,2)，B(1x,3(1x)2(1x)，则kAB53x，当x无限趋近于0时，53x无限趋近于5，所以曲线y3x2x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y25(x1)，即5xy30.瞬时速度例2一质点按规律S(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值思路点拨先求出质点在t2s时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解精解详析因为SS(2t)S(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat.当t无限趋近于0时，无限趋近于4a.所以t2 s时的瞬时速度为4a m/s.故4a8，即a2.一点通要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量t，求出相应的位移的改变量S，再求出平均速度，最后计算当t无限趋近于0时，无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度4一做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S3tt2，则此物体在t2时的瞬时速度为_解析：由于S3(2t)(2t)2(3222)3t4t(t)2t(t)2，所以1t.当t无限趋近于0时，无限趋近于常数1.故物体在t2时的瞬时速度为1.答案：15如果一个物体的运动方程S(t)试求该物体在t1和t4时的瞬时速度解：当t1时，S(t)t22，则2t，当t无限趋近于0时，2t无限趋近于2，所以v(1)2；t43，)，S(t)293(t3)23t218t56，3t6，当t无限趋近于0时，3t66，即6，所以v(4)6.导数及其应用例3已知f(x)x23.(1)求f(x)在x2处的导数；(2)求f(x)在xa处的导数思路点拨根据导数的定义进行求解深刻理解概念是正确解题的关键精解详析(1)因为4x，当x无限趋近于0时，4x无限趋近于4，所以f(x)在x2处的导数等于4.(2)因为2ax，当x无限趋近于0时，2ax无限趋近于2a，所以f(x)在xa处的导数等于2a.一点通由导数的定义知，求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)令x无限趋近于0，求得导数6函数yx在x1处的导数是_解析：函数yf(x)x，yf(1x)f(1)1x11，当x0时，0，即yx在x1处的导数为0.答案：07设f(x)ax4，若f(1)2，则a_.解析：a，f(1)a，即a2.答案：28将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：)为f(x)x27x15(0x8)求函数yf(x)在x6处的导数f(6)，并解释它的实际意义解：当x从6变到6x时，函数值从f(6)变到f(6x)，函数值y关于x的平均变化率为：5x.当x6时，即x0，平均变化率趋近于5，所以f(6)5，导数f(6)5表示当x6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5.1利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0)(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程2f(x0)与f(x)的异同区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值f(x)f(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数对应课时跟踪训练(二)一、填空题1一质点运动的方程为S53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度为_解析：当t无限趋近于0时，3t6无限趋近于常数6，该质点在t1时的瞬时速度为6.答案：62函数f(x)13x在x2处的导数为_解析：yf(2x)f(2)3x，3，则x趋于0时，3.故f(x)在x2处的导数为3.答案：33已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.解析：由题意知f(1)，f(1)2，所以f(1)f(1)3.答案：34曲线f(x)x22在点处的切线的倾斜角为_解析：x1.当x无限趋近于0时，无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.切线的倾斜角为.答案：5已知曲线y2ax21过点P(，3)，则该曲线在P点处的切线方程为_解析：y2ax21过点P(，3)，32a21，即a21.又a0，a1，即y2x21.P(1,3)又42x.当x无限趋近于0时，无限趋近于常数4，f(1)4，即切线的斜率为4.由点斜式可得切线方程为y34(x1)，即4xy10.答案：4xy10二、 解答题6已知质点运动方程是S(t)gt22t1(g是重力加速度，常量)，求质点在t4 s时的瞬时速度(其中s的单位是m，t的单位是s)解：gt4g2.当t0时，4g2，S(4)4g2，即v(4)4g2，所以，质点在t4 s时的瞬时速度为(4g2) m/s.7求过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程解：23x，当x0时，23x2，f(1)2，所以直线的斜率为2，所以直线方程为y22(x1)，即2xy40.8已知直线l：y4xa和曲线C：yx32x23相切求a的值及切点的坐标解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，(x)2(3x02)x3x4x0.当x0时，3x4x0，即f(x0)3x4x0，由导数的几何意义，得3x4x04，解得x0或x02.切点的坐标为或(2,3)，当切点为时，有4a，a，当切点为(2,3)时，有342a，a5，当a时，切点为；a5时，切点为(2,3)